人教B版高中数学(选修1-1)期末测试题

1、阶段性测试题五( 选修 1 1 综合能力检测 )时间 120 分钟，满分150 分。一、选择题 (本大题共12 个小题，每小题5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列命题错误的是()A命题“若 x23x 20，则 x1”的逆否命题为“若 x 1，则 x2 3x 2 0” B若命题 p：? x R， x2 x 1 0，则 ?p 为： ? x R， x2 x 1 0C若 p q 为假命题，则p， q 均为假命题D“ x2”是“ x2 3x 2 0”的充分不必要条件答案 C解析 p q 为假命题， 则 p，q 中至少有一个是假命题即可， 不一定 p，q 都是假

2、命题2设 p：大于90的角叫钝角， q：三角形三边的垂直平分线交于一点，则p 与 q 的复合命题的真假是 ()A “ p q”假B“ pq”真C“ ?q”真D“ p q”真答案 D解析 p 假， q 真，故 “ p q”真3已知 a， b，c， d 成等比数列，且抛物线yx2x 1 的顶点坐标为 (b， c)，则 ad 等于()55A. 8B 877C.4D 4答案 A1，b 2解析 抛物线 y x2 x1 的顶点坐标为 1，5 (b，c)，524c4.a， b， c， d 成等比数列，则有 ad bc 5，故选 A. 84平面内有一长度为2 的线段 AB 和一动点P，若满足 |PA| |PB

3、| 6，则 |PA|的取值范围是()A 1,4B 1,6C2,6D 2,4答案 D解析 因为 |PA| |PB| 62 ，所以 P 点的轨迹为椭圆，所以3 1 PA 3 1，即|PA| 2,4 5已知函数 f(x) x2 2xf(1) ，则 f( 1)与 f(1)的大小关系是 ()A f( 1) f(1)B f( 1) f(1)D 无法确定答案 C解析 f (x) 2x 2f (1)，令 x 1，得 f (1) 2 2f (1) ，所以 f (1) 2，因此f(x) x2 4x， f(1) 5， f(1) 3，即 f( 1) f(1) 6若曲线 Cy x3 2ax2 2ax 上任意点处的切线的

4、倾斜角都是锐角，那么整数a 的值等于 ()A 2B 0C 1D 1答案 D解析 曲线 C 上任意点处切线的倾斜角都是锐角，所以y 0 恒成立，即 3x2 4ax2a0 恒成立， 16a224a0 ，解得 0 a1”的否定是 (2x0 3A ? x0 R，1 1 B ? x0 R，12x0312x03C? x0 R ，11 D ? x0 R，12x0 30， b0) 的左、右焦点分别为F1，F 2，点 P 在双曲线的右ab支上，且 |PF 1| 4|PF2 |，则此双曲线的离心率e 的最大值为 ()54A. 3B.37C2D.3答案 A解析 e 2c|F1F2 | |PF 1| |PF 2| 5

5、|PF 2| 5.2a|PF1| |PF2| |PF1| |PF2| 3|PF2| 312下列四图都是同一坐标中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是()A B CD 答案 B解析 二次函数为导函数， 中 x0 ，f( x)在 ( ， 0)内应递增，故 为假，同理，知 也为假二、填空题 (本大题共 4 个小题，每小题4 分，共 16分，将正确答案填在题中横线上)13实数系方程 x2 ax b 0 的两个实根一个比1 大，一个比 1 小的充要条件是_答案 a b 10解析 实数系方程 x2 ax b 0 的两个实根一个比1 大，一个比 1 小的充要条件是 f(1)a b 1cb，且成

6、等差数列，若A( 1,0)， B(1,0)，则动点 C 的轨迹方程为 _答案 x2 y2 1(y 0，且 xcb，所以是椭圆的一部分15已知函数 y x3 ax2 bx 27 在 x 1 处有极大值，在x 3 处有极小值，则 a_，b _.答案 3 9解析 y 3x2 2ax b，则 1,3 是方程 3x2 2ax b 0 的两根， a 3，b9.16以下四个关于圆锥曲线的命题：设 A、 B 为两个定点， k 为非零常数，若 |PA| |PB| k，则动点 P 的轨迹为双曲线；过定圆 C 上一定点 A 作圆的动弦 AB，O 为坐标原点，若1OP (OA OB)，则动点 P2的轨迹为椭圆；方程

7、2x2 5x 2 0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；222双曲线 x y 1 与椭圆 xy21 有相同的焦点25935其中真命题的序号为_(写出所有真命题的序号)答案 解析 中当 k |AB|时，点 P 的轨迹是一条射线 中点 P 的轨迹是以 AC 中点为圆心，以定圆半径的一半长为半径的圆三、解答题 (本大题共 6 个小题， 共 74 分，解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 )17 (本题满分 12分 )已知 px2 4x 10， q2 150，试判断 ?p 是 ?q 的什么x 4x条件？解析 由 5x24x 10 ，得 x1，5即 p x1；由 21x1 ，容易判断 p 是 q

8、 的必要不充分0，得 x1，即 qx 4x 5条件，从而 ?p 是 ?q 的充分不必要条件1 218 (本题满分12 分)已知 x R，求证： cosx 1 2x .1 2解析 令 F(x)cosx 1 2x ，则 F (x) sinxx，当 x 0 时 F (x) 0， F(x)在 0， )上是增函数，又 F(0) 0，即 x 0， )时，恒有F(x) 0，2即 cosx 1 x . 2又 F(x) cos(x) 1 ( x)2 22cosx 1x 2F(x)，F(x)是 R 上的偶函数，当 x0 时，恒有 F(x) 0，x2即 cosx 1 2 ，2综上所述，对一切x R，都有 cosx1

9、 x .219(本题满分 12分 )设 f(x) ex(ax2 x 1)，且曲线 y f(x)在 x1 处的切线与 x 轴平行求 a 的值，并讨论f(x)的单调性x2解析 f (x) e (ax x 12ax 1)，f (1) 0，故 a3 2a0? a 1.x2于是 f (x) e ( x x2) ex(x 2)(x1) ，故当 x( ， 2) (1， )时， f (x)0，从而 f(x)在 ( ， 2)，(1， )上单调递减，在 ( 2,1)上单调递增20 (本题满分12 分 )(2018 全国文， 21)设函数 f(x) 1x3 (1 a)x2 4ax 24a，其中3常数 a1.(1)讨

10、论 f(x)的单调性；(2)若当 x 0 时， f(x)0 恒成立，求a 的取值范围解析 本题考查函数、导数、不等式等基础知识，以及利用导数求函数的最值解： (1)f (x)x22(1 a)x 4a (x 2)(x 2a)由 a1 知，当 x0 ，故 f(x) 在区间 ( ， 2)上是增函数；当 2x2a 时， f (x)2a 时， f (x)0 ，故 f(x)在区间 (2a， )上是增函数综上，当 a1 时， f(x)在区间 ( ， 2) 和(2a， )上是增函数，在区间(2,2a)上是减函数(2)由 (1) 知，当 x 0 时， f(x) 在 x 2a 或 x0 处取得最小值f(2a) 1

11、3(2a)3 (1 a)(2a)2 4a2a24a4 32 a 4a 24a，f(0) 24a.a1 ，由假设知f(2a)0 ，f(0)0 ，a1 ，4即 3a(a 3)(a 6)0 ，解得 1a0.故 a 的取值范围是 (1,6)22xy21(本题满分12 分 )一条斜率为1 的直线 l 与离心率为3的双曲线 a2 b2 1(a0 ，b0)交于 P， Q 两点，直线 l 与 y 轴交于 R 点，且 OPOQ 3， PQ 4RQ，求直线与双曲线的方程解析 由 e3，所以 c2 3a2，所以 b2 2a2，所以双曲线方程为2x2 y22a2，设直y x m，x2 2mx m2 2a2线 l y

12、x m， R(0， m)， P(x1， y1)， Q(x2， y2)，则?2x2 y2 2a2，x1 x2 2m，0，所以 x1x2 m2 2a2. 2又因为 OPOQ 3， PQ4RQ，则有 x1x2 y1y2 3，所以 2x1x2 m(x1x2)m 30， x2 x1 4x2，?x1 3x2，y2 y1 4(y2 m)，3y2 y1 4m.由 ， 得 x2 m，x1 3m，m2 a2，代入 得 m2 1，a2 1，所以 m 1，a2 1，222yb 2，所以所求的直线与双曲线方程分别是y x1， x 1.22 (本题满分 14 分)已知 f(x) x31x2bx c.2(1)若 f(x)的图象有与