在数学发展中ppt课件

1、： 86647： 授课: 68学分：4 在数学开展中，实际和计算是严密联络的。现代计算机的出现为大规模的数值计算发明了条件，集中而系统的研讨适用于计算机的数值方法变得非常迫切和必要。数值计算方法正是在大量的数值计算实际和实际分析任务的根底上开展起来的，它不仅仅是一些数值方法的简单积累，而且提示了包含在多种多样的数值方法之间的一样的构造和一致的原理。数值算法是进展科学计算必不可短少的起码常识；更为重要的是经过对它们的讨论，可以使人们掌握设计数值算法的根本方法和普通原理，为在计算机上处文科学计算问题打下根底。因此，计算方法曾经成为工科大学生必修课程。为什么要开设这个课呢？1. 认识建立算法和对每个

2、算法进展实际分析是根本 义务，自动顺应“公式多的特点；2. 注重各章建立算法的问题的提法，搞清问题的基 本提法，逐渐深化；3. 了解每个算法建立的数学背景，数学原理和根本 线索，对最根本的算法要非常熟习；4. 仔细进展数值计算的训练，学习各章算法完全是 为用于实践计算，必需真会算。如何进展学习？科学素质：拓宽对21世纪科学的了解； 加深对数学思想的了解； 培育用数学思索世界的习惯数学才干：数学知识的运用才干； 对专业中问题建立数学求解方法与 实践计算才干 运用问题中数学发明性才干计算知识：常用算法的数学实际； 在“误差、存贮、速度之下的实 际计算方法； 对结果的数值分析方法 记好课堂笔记 保证

3、课堂纪律 按时完成作业 按时上课，不迟到早退几点要求数值分析讲述的根本内容如何把数学模型归结为数值问题如何制定快速的算法如何估计一个给定算法的精度分析误差在计算过程中的积累和传播如何构造精度更高的算法如何使算法较少的占用存储量如何分析算法的优缺陷本课程的根本要求掌握数值方法的根本原理掌握常用的科学与工程计算的根本方法能用所学方法在计算机上算出正确结果 本章内容1 引言2 误差的来源及分类 3 误差的度量 4 误差的传播 5 减少运算误差的原那么 第一章计算方法与误差小结 要求掌握的内容第一章计算方法与误差概念 包括有效数字、绝对误差、绝对误差限、相对误差、相对误差限等误差截断误差、舍入误差的详

4、细内容，误差种类等分析运算误差的方法和减少运算误差的假设干原那么1.1 引言 数值分析又称计算方法, 它是研讨各种数学问题的数值解法及其实际的一门学科。数值分析的义务实践问题数学模型数值计算方法程序设计上机计算数值结果 根据数学模型提出求解的数值计算方法直到编出程序上机算出结果，这一过程边是数值分析研讨的对象1. 对于要处理的问题建立数学模型2. 研讨用于求解该数学问题近似解的算法和过程3. 按照2进展计算，得到计算结果建立数学模型转化为数值公式进展计算数值方法解题的普经过程 数值计算以及计算机模拟包括当前流行的虚拟现实的方法，曾经是在工程技术研讨和经济、社会科学中广泛运用的方法，带来宏大的经

5、济效益天气预告与亿次计算机波音777的无纸设计与有限元CT、核磁共振计算流膂力学与爆炸工程能源问题与大型计算第一章计算方法与误差计算作为工程技术研讨方法计算方法课程主要讨论如何构造求数学模型近似解的算法，讨论算法的数学原理、误差和复杂性，配合程序设计进展计算实验并分析实验结果。与纯数学的实际方法不同，用数值计算方法所求出的结果普通不是解的准确值或者准确的解析表达式，而是所求真解的某些近似值或近似曲线。第一章计算方法与误差 例如方程 x2=2sinx，在区间(1,2)内有独一根, 但找不出求根的解析式, 只能用数值计算方法求其近似解。有些数学问题虽有实际上的准确的公式解, 但不一定适用, 例如行

6、列式解法的Cramer法那么原那么上可用来求解线性方程组,用这种方法解一个n元方程组,要算n+1个阶行列式的值,总共需求n!(n-1)(n+1)次乘法,当n=20时,其乘除法运算次数约需1021次方,即使用每秒千亿次的计算机也得需求上百年,而用高斯Guass消去法约需2660次乘除法运算,并且愈大,相差就愈大。可见研讨和选择好的算法是非常重要的。 算法(数值算法):是指有步骤地完成解数值问 题的过程。数值算法的特点 目的性，条件和结论、输入和输出数据均要有明 确的规定与要求。 确定性，准确地给出每一步的操作(不一定都是运 算)定义, 不允许有歧义。 可执行性，算法中的每个操作都是可执行的 有穷

7、性，在有限步内可以终了解题过程计算机上的算法，按面向求解问题的不同， 分为数值算法和非数值算法。第一章计算方法与误差1.2 误差的来源及分类 早在中学我们就接触过误差的概念，如在做热力学实验中，从温度计上读出的温度是23.4度，就不是一个准确的值，而是含有误差的近似值。现实上，误差在我们的日常生活中无处不在，无处不有。如量体裁衣，量与裁的结果都不是准确无误的，都含有误差。在用数值方法解题过程中能够产生的误差归纳起来有如下几类：1. 模型误差2. 观测误差3. 截断误差4. 舍入误差第一章计算方法与误差用数学方法处理一个详细的实践问题，首先要建立数学模型，这就要对实践问题进展笼统、简化，因此数学

8、模型本身总含有误差，这种误差叫做模型误差数学模型是指那些利用数学言语模拟现实而建立起来的有关量的描画数学模型的准确解与实践问题的真解不同实践问题的真解数学模型的真解为减化模型忽略次要要素定理在特定条件下建立与实践条件有别1. 模型误差在数学模型中通常包含各种各样的参变量，如温度、长度、电压等，这些参数往往是经过观测得到的，因此也带来了误差，这种误差叫观测误差数学模型中的参数和原始数据，是由观测和实验得到的由于丈量工具的精度、观测方法或客观条件的限制,使数据含有丈量误差,这类误差叫做观测误差或数据误差根据实践情况可以得到误差上下界数值方法中需求了解观测误差,以便选择合理的数值方法与之顺应2. 观

9、测误差准确公式用近似公式替代时,所产生的误差叫截断误差 例如, 函数f(x)用泰勒(Taylor)多项式 3. 截断误差介于0与x之间近似替代，那么数值方法的截断误差是 截断误差的大小直接影响计算结果的精度和计算 任务量，是数值计算中必需思索的一类误差在数值计算中只能对有限位字长的数值进展运算需求对参数、中间结果、最终结果作有限位字长的处置任务，这种处置任务称作舍入处置用有限位数字替代准确数，这种误差叫做舍入误差，是数值计算中必需思索的一类误差4. 舍入误差第一章计算方法与误差 例如在计算时用3.14159近似替代，产生的误差R= -3.14159=0.0000026就是舍入误差。 上述种种误

10、差都会影响计算结果的准确性，因此需求了解与研讨误差，在数值计算中将着重研讨截断误差、舍入误差，并对它们的传播与积累作出分析1.3 误差的度量 1.3.1 绝对误差和绝对误差限 定义1.1 设准确值x的近似值 x* ，称差 e(x*) =x-x* 近似值x*的绝对误差，简称误差。 e(x*)又记为e* 当e*0时，x*称为弱近似值，当e*0时，x*称为强近似值|e*|越小， x*的精度越高 由于准确值普通是未知的,因此e* 不能求出来, 但可以根据丈量误差或计算情况设法估计出它的取值范围，即误差绝对值的一个上界或称误差限。1.3 误差的度量 定义1.2 设存在一个正数，使那么称为近似值的绝对误差

11、限，简称误差限或精度。 实践运用中经常运用这个量来衡量误差限, 这就是说, 假设近似数 的误差限为 , 那么阐明准确值 x 必落在 上, 常采用下面的写法来表示近似值的精度或准确值x所在的范围。1.3 误差的度量a-a+aA例1 设x =3.1415926 近似值x* =3.14,它的绝 对误差是 0.001 592 6，有 x-x*=0.0015926 0.002=0.210-2例2 又近似值x* =3.1416，它的绝对误差是 0.0000074，有 x-x*=0.0000074 0.000008=0.810-5例3 而近似值x* =3.1415，它的绝对误差是 0.0000926，有 x

12、-x*=0.0000926 0.0001=0.110-3可见，绝对误差限*不是独一的，但*越小越好1.3.2 相对误差和相对误差限 只用绝对误差还不能阐明数的近似程度,例如甲打字每100个错一个,乙打字每1000个错一个,他们的误差都是错一个,但显然乙要准确些,这就启发我们除了要看绝对误差外,还必需顾及量的本身。定义1.3 绝对误差与准确值x的比值 称为相对误差。 简记为1.3.2 相对误差和相对误差限 相对误差越小,精度就越高,实践计算时,x通常是不知道的,因此可用以下公式计算相对误差定义1.4 设存在一个正数 ，使 那么称 为近似值 的相对误差限。 简记为 1.3.2 相对误差和相对误差限

13、例4. 甲打字每100个错一个，乙打字每1000个 错一个，求其相对误差解： 根椐定义:甲打字时的相对误差 乙打字时的相对误差 1.3.3 有效数字定义1.5 设x的近似值 其中 是0到9之间的任一个数,但n是正整数, m是整数,假设 那么称 为x的具有n位有效数字的近似值， 准确到第n位， 是 的有效数字。 1.3.3 有效数字例5. 3.142作为的近似值时有几位有效数字解： 3.141592= 0.3141592 3.142 = 0.3142 m = 1 |-3.142 |=|0.3141592 -0.3142 | 0.000041 0.0005= m n =1n =-3 所以 n =4

14、，具有4位有效数字例6. 当取3.141作为的近似值时 -3.141=0.3141592101 -0.3141101 0.0000592 101 0.005=1/2 10-2 m-n=1-n=-2 所以n=3具有3位有效数字推论 假设近似数x*误差限是某一位的半个单位, 由该位到x*的第一位非零数字一共有n位 x*就有n位有效数字,也就是说准确到该位再如3.1416作为的近似值时 -3.1416 = 0.3141592101-0.31416101 0.00000074 101 0.00000740.00005 0.5 10-4 m-n=1-n=-4 所以 n=5x*= 3.1416有5位有效数

15、字关于有效数字阐明 用四舍五入取准确值的前n位x*作为近似值,那么 x*必有n位有效数字。如3.142作为 的近似值 有4位有效数字，而3.141为3位有效数字 有效数字一样的两个近似数，绝对误差不一定 一样。例如，设x1*=12345,设x2*=12.345,两者 均有5位有效数字但绝对误差不一样 x- x1* =x- 12345 0.5= 1/2 100 x- x2* =x- 12.3450.0005=1/210-3 把任何数乘以10p(p=0,1,)不影响有效位数 准确值具有无穷多位有效数字,如三角形面积 S=1/2ah=0.5ah 由于0.5是真值,没有误差 *=0,因此n,准确值具有

16、无穷位有效数字1.3.4 有效数字与相对误差定理1.1 假设近似数x*=0.x1x2xn10m具有 n 位 有效数字，那么其相对误差证: x* = 0.x1x2xn10m x* x110 m-1 又 x*具有n位有效数字,那么x- x*1/210 m - n 普通运用中可以取r*=1/2x1 10-(n-1),n越大,r*越小, 有效数字越多，相对误差就越小例7 取3.14作为的四舍五入的近似值时，求其 相对误差解：3.14=0.314 101 x1=3 m=1 四舍五入的近似值,其各位都是有效数字 n=3 r*=1/2x1 10-(n-1)=1/2*3 10-2=17%1.3.4 有效数字与

17、相对误差例8 知近似数x*有两位有效数字，试求其相 对误差限解：知 n=2 代入公式 r*=1/2x1 10-(n-1)得 r*=1/2x1 10-1 x*的第一位有效数字x1没有给出，可进展如下讨论：当 x1=1 r*=1/2x1 10-1=1/2*1 10-1=5% x1=9 r*=1/2x1 10-1=1/2*9 10-1=0.56% 取 x1=1 时相对误差为最大，即 5%1.3.4 有效数字与相对误差1.3.4 有效数字与相对误差定理1.2 假设近似数x*=0.x1x2xn10m相对误差 那么该近似数具有n位有效数字证: x*=0.x1x2xn10m x* (x1+1) 10m-1由

18、有效数字定义可知,x*具有n位有效数字。证毕例9 知近似数x*的相对误差限为0.3%，问x* 有几位有效数字？解：由得当x1=1时,310-3=1/410-(n-1)1210-3=10-(n-1) 上式两边取以10为底的对数得 lg22+lg3+(-3)=-n+1 lg2=0.3010 lg3=0.4771 20.3010+0.4771-4=-n n=2.9209 当x1=9时,310-3=1/2010-(n-1) 610-3=10-n 上式两边取以10为底的对数得 lg2+lg3+(-3)=-n n=2.2219 x*至少有3位有效数字 例10 为使 的近似数的相对误差小于0.1%， 问查开

19、方表时，要取几位有效数字？解： 8 9 x1=8 -(n-1)lg2+2lg3+(-3) -n1.2552-4 -n2.7448 取 n =3即查平方表时 8.37取三位有效数字 留意: 知有效数字,求相对误差用公式 知相对误差,求具有几位有效数字公式 1.4.1 函数运算误差 函数运算误差可用泰勒展开式来分析 设一元函数f(x)，自变量x的近似值x*，f(x)的近似值f(x*)，其误差限记为f(x*) ，对f(x) 在近似值x* 附近泰勒展开1.4 误差的传播介于x,x*之间其中*为近似数x*的绝对误差限，设f(x* )与f (x* )相差不大,可忽略*的高次项,于是可得出函数运算的误差和相

20、对误差多元函数亦类似，用泰勒展开即可推导出来例11 已测得某场地长L的值L*=110m,宽d的值 d*=80m,知 L-L* 0.2m, d-d*0.1m 求场地面积S=Ld的绝对误差限和相对误差限解：其中 (d*)=0.1m , (L*)=0.2m绝对误差限 (s*)(800.2+110 0.1)m2=27m2相对误差限1.4.2 算术运算误差 计算机的数值运算主要是加、减、乘、除四那么运算，带有误差的数在多次运算过程中会进展传播。使计算结果产生误差。 误差的变化可以用微分简单描画。留意到准确值x与其近似值通常很接近，其差可以为是较小的增量，即可以把差看作微分，由此可得误差的微分近似关系式。

21、 dx 即x的微分表示x的绝对误差，dlnx的微分表示x的相对误差，利用这两个关系式及微分运算可以得到一系列有关四那么运算的误差结果。 1.4.2 算术运算误差 由d( xy)=dxdy 可得两数之和(差的误差等于两数的误差之和差； 由 可得两数之积的相对误差等于两数的相对误差之和； 由 可得两数商的相对误差可看作是被除数与除数的相对误差之差。 例12 正方形的边长约为100cm,怎样丈量才干使其 面积误差不超越1cm2 ?解： 设正方形边长为x cm,丈量值为x*cm,面积 y=f(x)=x2 由于 f (x)=2x 记自变量和函数的绝对误差分别是e*、e(y*),那么 e*=x-x* e(

22、y*)=y-y* f (x*)(x-x*)=2x*e*=200e* 现要求 e(y*) 200e* 1 ,于是 e* 1/200cm=0.005cm 要使正方形面积误差不超越1cm2，丈量边长时绝对误差应不超越0.005cm。1.5 减少运算误差原那么 误差是用来衡量数值方法好与坏的重要标志 为此对每一个算法都要进展误差分析(1)两个相近的数相减，会严重损失有效数字 例如x =1958.75，y =1958.32都具有五位 有效数字，但x-y=0.43只需两位有效数字 通常采用的方法是改动计算公式,例如当与 很接近时,由于用右端替代左端公式计算,有效数字就不会损失 1.5 减少运算误差原那么当

23、x很大时可作相应的变换 那么用右端来替代左端。 1.5 减少运算误差假设干原那么当x接近0时 普通情况，当f(x)f(x*)时，可用泰勒展开 取右端的有限项近似左端。 假设计算公式不能改动，那么可采用添加有效位数的方法保证精度 2防止大数“吃掉小数例 求二次方程x2-105x+1=0的根 解：按二次方程求根公式 x1=(105+(1010-4)1/2)/2 x2=(105-(1010-4)1/2)/2 在8位浮点数计算得 x1=(105+105 )/2=105 (正确, x2=(105-105 )/2=0 (错误产生错误的缘由 出现大数1010吃掉小数4的情况 分子部分出现两个相近数相减而丧失

24、有 效数位常称为灾难性的抵消3绝对值太小的数不宜做除数当分母为两个相近数相减时,会丧失有效数字这里分子的误差被扩展104倍,再如假设将分母变为0.0011,即分母只需0.0001的变化时,计算结果却有了很大变化 1.5 减少运算误差假设干原那么例1.8 计算 解: 分子分母分别计算后相除(取9位小数)A=0.0005*0.0143*0.0012=0.00000715*0.0012 =0.000000009(有舍入)B=0.0003*0.0125*0.0=0.00000375*0.0 =0.000000051(有舍入)D=A/B=0.17647真值为0.16948148，所以D只准确到小数后一位1.5 减少运算误差假设干原那么例： 计算 算法2。分成三组因子。每组只取六位小数计算 a=0.0005/0.0003=1.666667(有舍入) b=0.0143/0.0125=1.144000 c=0.0012/0.0=0.088889 (有舍入) D=a*b*c=1. 666667* 1.144000* 0.088889 =0.169482,准确到小数后5位。bca1.5 减少运算误差假设干原那么4简化计算步骤，减少运算次数 x255