第三章向量与向量空间

1、PAGE PAGE 20第三章 向量与向量空间 n维向量在平面几何中,坐标平面上每个点的位置可以用它的坐标来描述,点的坐标是一个有序数对.一个元方程可以用一个元有序数组来表示.矩阵和矩阵也可以看作有序数组.一个企业一年中从1月到12月每月的产值也可用一个有序数组来表示.有序数组的应用非常广泛,有必要对它们进行深入的讨论.定义 1 个数组成的有序数组 （.）或 （.）称为一个维向量,简称向量.一般,我们用小写的粗黑体字母,如等来表示向量,(3.1)式称为一个行向量,(3.2)式称为一个列向量.数称为这个向量的分量.称为这个向量的第个分量或坐标.分量都是实数的向量称为实向量;分量是复数的向量称为复

2、向量.实际上,维行向量可以看成矩阵,维列向量也常看成矩阵.下面我们只讨论实向量.设和为两个任意的常数.,和为三个任意的维向量,其中, .定义 2 如果和对应的分量都相等,即就称这两个向量相等,记为.定义 3 向量(a1+b1,a2+b2,an+bn)称为与的和,记为.称向量(ka1,ka2,kan)为与k的数量乘积,简称数乘,记为k.定义 4 分量全为零的向量(0, 0, , 0)称为零向量,记为0.与-1的数乘(-1)(-a1,-a2,-an)称为的负向量,记为-.向量的减法定义为（）.向量的加法与数乘具有下列性质：（）；（交换律)（） （）（）；（结合律）（）0；（）（）0；（）k(+)=

3、k+k；（） （k+l)=k+l；（）k(l)=(kl)；（）；（）00；（）k00.在数学中,满足() ()的运算称为线性运算.我们还可以证明：（）如果k0且0, 那么k0.显然,n维行向量的相等和加法、减法及数乘运算的定义,与把它们看作行矩阵时的相等和加法、减法及数乘运算的定义是一致的.对应地,我们也可以定义列向量的加法、减法和数乘运算,这些运算与把它们看成列矩阵时的加法、减法和数乘运算也是一致的,并且同样具有性质()().例1 设,求.解 例2 设,且,求.解 由,得 通常把维数相同的一组向量简称为一个向量组,n维行量组,s可以排列成一个sn分块矩阵,其中i为由A的第i行形成的子块,s称

4、为的行向量组.n维列向量组,s可以排成一个ns矩阵（,s）,其中j为的第j列形成的子块,s称为B的列向量组.这样,矩阵就与其列向量组或行向量组之间建立了一一对应关系.向量组之间的关系可用矩阵来研究；反过来,矩阵的问题也可用向量组来研究. 2线性相关与线性无关定义 5 向量组,s称为线性相关的,如果有不全为零的数k,k,ks, 使=k+k+kss0. （3.3）反之,如果只有在k= k = =ks =0时(3.3)才成立,就称,s线性无关.换言之,当,s是行向量组时,它们线性相关就是指有非零的1s矩阵(k,k,ks)使.当,s为列向量组时,它们线性相关就是指有非零的s1矩阵(k,k,ks)使.显

5、然,单个零向量构成的向量组是线性相关的.例3 判断向量组的线性相关性.解 对任意的常数k,k,kn都有k1+k2+knn(k,k,kn).所以k1+k2+knn =0当且仅当k1=k2=kn=0.因此1,2,n线性无关.1,2,n称为基本单位向量.例4 判断向量组（,）,（,）,3（,）的线性相关性.解 对任意的常数k,k, k3都有k+k+ k33=(k+k3,k+2k+3k3,k+5k+6k3).所以k+k+ k33=0当且仅当由于k1=1,k2=1,k3=-1满足上述的方程组,因此+1+(-1)3=+-3=0.所以,3线性相关.例5 设向量组,3线性无关,+,+3,33+, 试证向量组,

6、3也线性无关.证 对任意的常数都有k+k+k33=(k+k3)（k+k)+(k+k3)3 .设有k,k,k3使k+k+k33=0.由,3线性无关, 故有由于满足此方程组的k,k,k3的取值只有k=k=k3=0,所以,3线性无关.定义 6 向量称为向量组,t的一个线性组合,或者说可由向量组,t线性表出(示),如果有常数k,k,kt使kk+ktt.此时,也记.例6 设=(1,1,1,1),=(1,1,-1,-1),3=(1,-1,1,-1),4=(1,-1,-1,1),=(1,2,1,1).试问能否由,3,4线性表出？若能,写出具体表达式.解 令=k+k+k33+k44于是得线性方程组因为,由克莱

7、姆法则求出所以即能由,3,4线性表出.例7 设=(2,-3,0),=(0,-1,2),=(0,-7,-4),试问能否由,线性表出?解 设 =k+k于是得方程组由第一个方程得k=0,代入第二个方程得k=7,但k不满足第三个方程,故方程组无解.所以不能由,线性表出.定理 1 向量组,s (s2) 线性相关的充要条件是其中至少有一个向量能由其余向量线性表出.证 设,s中有一个向量能由其余向量线性表出,不妨设=k+k33+kss,那么-+k+kss=0,所以,s线性相关.反过来,如果,s线性相关,就有不全为零的数k,k,ks, 使kkkss=0.不妨设k, 那么即能由,3,s线性表出.例如,向量组（,

8、）,（,）,3（,）是线性相关的,因为3-.显然,向量组,线性相关的充分必要条件是存在常数k,使得两向量的对应分量成比例.在三维的情形,这就表示向量与共线.三个向量,3线性相关的几何意义就是它们共面.定理 2 设向量组,t线性无关,而向量组,t,线性相关,则能由向量组,t线性表出,且表示式是惟一的.证 由于,t,线性相关,就有不全为零的数k,k,kt,k使k+k+ktt+k=0.由,t线性无关可以知道k0. 因此,即可由,t线性表出.设l+l+ltth+hhtt为两个表示式.由（l+ltt)-(h+hhtt)=（l-h）（l-h）（lt-ht）t0和,t线性无关可以得到l=h, l=h, ,

9、lt=ht.因此表示式是惟一的.定义 7 如果向量组,s中每个向量都可由,t线性表出,就称向量组,s可由,t线性表出,如果两个向量组互相可以线性表出,就称它们等价.显然,每一个向量组都可以由它自身线性表出.同时,如果向量组,t可以由向量组,s线性表出,向量组,s可以由向量组线性表出,那么向量组,t可以由向量组线性表出.事实上,如果 那么.这就是说,向量组,t中每一个向量都可以由向量组线性表出.因而,向量组,s可以由向量组线性表出.由上述结论,得到向量组的等价具有下述性质：(1) 反身性：向量组,s与它自己等价.(2) 对称性：如果向量组,s与,t等价,那么,t也与,s等价.(3) 传递性：如果

10、向量组,s与,t等价,而向量组,t又与等价,那么,s与等价. 3线性相关性的判别定理利用定义判断向量组的线性相关性往往比较复杂,我们有时可以直接利用向量组的特点来判断它的线性相关性,通常称一个向量组中的一部分向量组为原向量组的部分组.定理 3 有一个部分组线性相关的向量组一定线性相关.证 设向量组,s有一个部分组线性相关.不妨设这个部分组为,r .则有不全为零的数k,k,kr使因此,s也线性相关.推论 含有零向量的向量组必线性相关.定理 4 设p1,p2,pn为1, 2, ,n的一个排列,s和,s为两向量组,其中,即,s是对,s各分量的顺序进行重排后得到的向量组,则这两个向量组有相同的线性相关

11、性.证 对任意的常数k,k,ks注意到列向量和只是各分量的排列顺序不同,因此k+k+kss=0当且仅当k+k+kss=0.所以,s和,s有相同的线性相关性.定理4 是对列向量叙述的.对行向量也有相同的结论.类似这样的情形,今后不再说明.定理 5 在r维向量组,s的各向量添上n-r个分量变成n维向量组,t.（1）如果,st线性相关,那么,s也线性相关.(2) 如果,s线性无关,那么,s也线性无关.证 我们对列向量来证明定理,设（,s）,(,s）,如果,s线性相关,就有一个非零的s1矩阵使（,s）.从而（,s）X.因此,s也线性相关,即(1)成立.利用(1),用反证法容易证明(2)也成立.定理6

12、设是一个n阶方阵,则的行（列）向量组线性相关的充分必要条件是.证 设, ,是矩阵的列到向量组.令 . 则线性相关的充分必要条件是,存在一组不全为零的实数使得式成立,即齐次线性方程组 有非零解存在.由第一章定理5的推论及其注解知,式存在非零解的充分必要条件是.从而定理得证. 推论 n阶方阵可逆的充分必要条件是的行（列）向量组线性无关.例8 试证明n维列向量组,n线性无关的充分必要条件是行列式证 令矩阵A=,n则向量组,n线性无关行列式|A|0.由于在上式两端取行列式,得|A|2=|A|A|=D故|A|0D0,所以,n线性无关D0.定理 7 n+1个n维向量,n+1必线性相关.证 对每个s添加等于

13、零的第n+1个分量,得到n+1维向量,n+1.易见,由,n+1构成的方阵的行列式等于零,因而,n+1线性相关,由定理5,易知,n+1也线性相关.推论 当时,m个n维向量线性相关.例9 讨论下列矩阵的行向量组的线性相关性：解 由于,因此的行(列)向量组线性无关； 由于,所以C的行(列)向量组线性相关.定理 8 如果向量组,s可由,t线性表出且st,那么,s线性相关.证 我们不妨假定讨论的是列向量,如果,s可由,t线性表出,那么. 其中,.令（,s),则(,s)（,t）.由于,s为由s个向量组成的t维向量组.且,根据推论知,它们必线性相关.因此有非零s1矩阵（k1,k2,ks）使.从而.即有,s线

14、性相关.推论 1 如果向量组,s可由向量组,t线性表出,且,s线性无关,那么.推论 2 两个等价的线性无关的向量组必含有相同个数的向量.4 向量组的秩定义 8 设存在向量组的一个部分组,满足（1）部分组线性无关；（2）对任意的,都有线性相关.则称部分组是向量组的一个极大线性无关组（简称为极大无关组）.例10 在向量组（,）,（,）,（,）中,1,2为它的一个极大线性无关组.首先,由与的分量不成比例,所以1,2线性无关,再添入3以后,由331-2可知所得部分组线性相关,不难验证2,3也为一个极大线性无关组.我们容易证明定义8与下列定义8等价.定义 8 若向量组的一个部分组,满足：（1）线性无关；

15、（2）对任意的,可由线性表出.则称部分组是向量组的一个极大无关组.由此,向量组的极大线性无关组具有以下性质：性质 1 一向量组的极大线性无关组与向量组本身等价.从例10 我们发现：向量组的极大线性无关组可能不是唯一的,但是我们有下面的结论.性质 2 一向量组的任意两个极大线性无关组都等价.性质 3 一向量组的任意两个极大线性无关组都含有相同个数的向量.性质3表明向量组的极大线性无关组所含向量的个数与极大线性无关组的选择无关,它反映了向量组本身的特征.定义 9 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩,记为.例如,例10中向量组1,2,3的秩为2.线性无关向量组本身就是它的极大线性

16、无关组,所以我们有：一向量组线性无关的充要条件为它的秩与它所含向量的个数相同.我们知道每个向量组都与它的极大线性无关组等价,由等价的传递性可知任意两个等价的向量组的极大线性无关组也等价,根据定理8的推论1就有等价的向量组必有相同的秩.如果向量组1,2,s能由向量组,t线性表出,那么1,2,s的极大线性无关组可由,t的极大线性无关组线性表出.因此1,2,s的秩不超过,t的秩.定理 9 向量组的任意线性无关的部分组都可扩充为一个极大线性无关组.证 设是向量组1,2,s中的一个线性无关的部分组,如果1,2,s中每个向量都可由这个部分组线性表出,那么这个部分组就是一个极大线性无关组,如果还有某向量ik

17、+1不能被这个部分组线性表出,那么由就有lk+1=0.再由原部分组线性无关就可得lllk=lk+1=0.这样,我们就得到了一个含k+1个向量的线性无关的部分组.重复这个过程,最后必可得到1,2,s的一个线性无关的部分组使向量组中每个向量都可由这个部分组线性表出,这个部分组就是一个极大线性无关组.推论 秩为r的向量组中任意含r个向量的线性无关的部分组都是极大线性无关组.例11 求向量组1(1,-1,0,3),2(0,1,-1,2),3(1,0,-1,5),4(0,0,0,2)的一个极大线性无关组及秩.解 1是1,2,3,4的一个线性无关的部分组,显然2不能由1线性表示,所以1可以扩充为一个线性无

18、关的部分组1,2,容易证明31+2,但4不能由1,2线性表出,所以1,2又可扩充为一个线性无关的部分组1,2,4,从而1,2,3,4的秩为3,1,2,4是它的一个极大线性无关组.在第二章中,我们给出了矩阵的秩的定义和计算方法,那么向量组的秩与矩阵的秩有什么关系呢？首先,我们建立一个引理.引理 设是r个n维列向量,则线性无关的充分必要条件是矩阵至少存在一个r阶子式不为零.证 充分性由本章的定理5与定理6的推论可立即得到.下面证必要性.对向量的个数r用数学归纳法证明.当时,由线性无关知,从而至少有一个1阶子式不为零.假设 时,结论成立.当时,设 ,且线性无关,则亦线性无关.由归纳假设,矩阵至少存在

19、一个k阶子式不为零.不妨设 . 令 .由式知,线性无关.而个维向量线性相关,由本章的定理2,则可由线性表出,即存在一组确定的数,使得.从而有 . 令 ,这里 .则由知：.但因线性无关,则,因此必存在某个.于是阶子式 .下面,我们建立向量组的秩与矩阵的秩的关系.定理10 设为矩阵,则矩阵的秩等于它的列向量组的秩,也等于它的行向量组的秩.证 只讨论列向量组的情况,类似可讨论行向量组的情况.设 是的列向量组,.首先,由,则矩阵中至少存在一个阶子式,由本章定理5和定理6的推论知,所在的中的r个列向量一定线性无关,从而；另一方面,由,则必有s个列向量构成的列向量组的极大线性无关组.由引理知这s个列向量构

20、成的矩阵中至少存在一个s阶子式不为零,从而.于是有.矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩,矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩.推论 矩阵的行秩与列秩相等.由定理10的证明知,若是矩阵的一个最高阶非零子式,则所在的r个行和r个列就分别是矩阵的行向量组和列向量组的一个极大线性无关组.求向量组的秩,只需要将向量组中各向量作为列向量组成矩阵后,只作初等行变换将该矩阵化为行阶梯形矩阵,则可直接写出所求向量组的秩和极大无关组.同理,也可以将向量组中的各向量作为行向量组成矩阵,通过作初等列变换来求向量组的秩和极大无关组.例12 求向量组,的秩和一个极大无关组,并把不属于极大无关组的其余向量用该极大无关组线性表出.

21、解 把向量组作为列向量组成矩阵,利用初等行变换将化为最简行矩阵：. 易见 ,的第1,2,3列线性无关,由于的列向量与的对应的列向量组有相同的线性组合关系,故与其对应的的第1,2,3列线性无关,即是该向量组的一个极大无关组. 又由矩阵,易得 . 例13 已知向量组,的秩为2,确定的值. 解 考察矩阵 .由条件知,从而的所有3阶子式均为0.故 由 ,得 .5 向量空间定义10 设V为n维向量组成的集合.如果V非空,且对于向量加法及数乘运算封闭,即对任意的,V和常数k都有,就称集合V为一个向量空间.例14 n维向量的全体R构成一个向量空间.特别地,三维向量可以用有向线段来表示,所以R也可以看作以坐标

22、原点为起点的有向线段的全体.例15 n维零向量所形成的集合构成一个向量空间.例16 集合V（,）,R构成一个向量空间.例17 集合V(1,2,）1+不构成向量空间.例18 设,为一个n维向量组,它们的线性组合22+kmmk,k,kmR构成一个向量空间.这个向量空间称为由,所生成的向量空间,记为L(,).例19 证明由等价的向量组生成的向量空间必相等.证 设,和,s是两个等价的向量组.对任意的L(,)都可由,线性表出.而向量组,又可由,s线性表出可以知道也能由,s线性表出,即有L(,s).由的任意性,得L(,)L(,s).同理,L(,s)L().于是L(,)L(,s).定义11 如果V和都是向量

23、空间且V,就称1是的子空间.任何由n维向量所组成的向量空间都是R的子空间.R和称为R的平凡子空间,其他子空间称为R的非平凡子空间.定义12 设V为一个向量空间.如果V中的向量组,r满足(1),r线性无关；(2) V中任意向量都可由,r线性表出.那么,向量组,r就称为V的一个基,r称为V的维数,记作,并称V为一个r维向量空间.如果向量空间V没有基,就说V的维数为0,0维向量空间只含一个零向量.如果把向量空间V看作向量组,那么V的基就是它的极大线性无关组,V的维数就是它的秩.当V由n维向量组成时,它的维数不会超过n.定义 13 设 是r维向量空间的一个基,则对于任一向量,有且仅有一组数,使 ,有序

24、数组称为在基下的坐标,记为.例20 设,验证,3是R的一个基并将,用这个基线性表出.解 由0可以知道,3线性无关.由于,因此,3是R的一个基.设1121233,212222323,即(,）（,),那么.下面,我们给出求的一个简单方法：如果P,为初等矩阵,使,则 故有 .因此只需对矩阵（）作初等行变换,当把A变为E时,B就变成了.（）因此 .所以.即和在基下的坐标分别是和. 本章小结与补充向量是线性代数中最简单的数组,是矩阵的特殊情形.所谓向量的线性运算与矩阵的线性运算实质上是一致的.在本章中,我们要理解向量组的线性相关、线性无关的概念,了解其有关的重要结论,会判定向量组的线性相关(无关)性；理

25、解向量组的极大无关组与向量组的秩的定义;了解向量组等价的概念及有关性质;了解向量空间、子空间、基与维数的概念;熟练掌握极大无关组、向量组的秩的计算方法.为此,我们进一步强调如下几点：1.如何正确理解向量组的线性相关(无关)的定义过去在学习二、三维直角坐标空间的过程中接触过向量共线、共面的概念,而向量组的线性相关实际上可以看成是对向量共线、共面的概念在向量空间的推广.线性相关与线性无关是两个相互对立的概念,它们之间的不同之处主要在于：(1)线性相关的向量组存在系数不全为零的线性组合是零向量,而线性无关的向量组只有系数全为零的线性组合是零向量;(2)线性相关的向量组中至少有一个向量可由其余向量线性

26、表示,而线性无关的向量组中任何一个向量都不能由其余向量线性表示；(3)以线性相关的向量组为系数矩阵的齐次线性方程组存在非零解,而以线性无关的向量组为系数矩阵的齐次线性方程组只有零解.2.怎样判断向量组的线性相关性方法1：利用定义判断.这是判定向量组的线性相关的基本方法,既适用于分量已知的向量组,也适用于分量未知的向量组.方法2：利用行列式判断.这种方法仅适用于向量组中向量的个数与向量的维数相等的情形.设是n个n维向量,以为列（行）向量组成矩阵,则线性相关的充分必要条件是.方法3：利用向量组的秩(或矩阵的秩)判断. 一个向量组线性无关当且仅当它的秩等于向量组所含向量的个数(即向量组构成的矩阵是满

27、秩的).特别地,如果向量组所含向量的个数多于向量的维数,则该向量组是线性相关的.3.向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量组的秩定义为它的极大线性无关组所含向量的个数,然而,直接利用定义来求向量组的秩往往是比较麻烦的,我们通常是将向量组的秩转化为矩阵的秩来求.如果我们将向量组的每个向量作为行(或列)向量构成矩阵,则该向量组的秩与矩阵是相等的.4极大线性无关组的求法方法1：逐个删去法.即对于所给向量组的向量,按自左至右的顺序逐个删去可由其前面的向量线性表出的向量,则所剩向量组即为所给向量组的一个极大线性无关组.方法2：初等变换法.将向量组作为列向量组成矩阵,用初等行变换将矩阵化为行阶梯形矩阵,则其首

28、非零元所在的列所对应的矩阵的列向量组即为所给向量组的一个极大线性无关组.习 题 三1. 设（,）,2（0,1）,3（3,4,）.求及3.2. 设3(）（）（）,其中（,）,（,）,（,）.求.3. 判断下列命题是否正确：(1) 若向量组,线性相关,那么其中每个向量可经其他向量线性表示.(2) 如果向量,s可经向量组,线性表示且,m线性相关,那么,s也线性相关.(3) 如果向量可经向量组,线性表示且表示式是惟一的,那么,线性无关.(4) 如果当且仅当时才有22+mm+,那么,线性无关且,m也线性无关.(5) ,线性相关,m也线性相关,就有不全为0的数,使22+mm.4. 判别下列向量组的线性相关

29、性.（1）1=(2,5), 2=(-1,3);(2) 1=(1,2), 2=(2,3), 3=(4,3);(3) 1=(1,1,3,1),2=(4,1,-3,2),3=(1,0,-1,2);(4) 1=(1,1,2,2,1),2=(0,2,1,5,-1),3=(2,0,3,-1,3),4=(1,1,0,4,-1).5. ,223,334,441,证明向量组,线性相关.6. 设向量组,r线性无关,证明向量组,r也线性无关,这里.7. 作一个以(1,0,1,0)和(1,-1,0,0)为行向量的秩为4的方阵.8. （,）,i,.证明：如果0,那么,n线性无关.9. 设,是互不相同的数,.证明：（,）,是线性无关的.10. 设,s的秩为r且其中每个向量都可经,r线性表出.证明：,r为,s的一个极大线性无关组.11. 求向量组1=(