《第章二次函数分知识点精练

1、同步作业（ 1）二次函数的定义（考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式）s=5t2+2t ，则 t 4 秒时，该物体所经过的路程1、下列函数中，是二次函数的是 . y=x24x+1；y=2x2；y=2x2+4x；y=3x；y= 2x1；y=mx 2+nx+p；y = ；y=5x。2、在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t （秒）的关系式为为。3、若函数 y=(m2+2m7)x2+4x+5 是关于 m的二次函数，则m的取值范围为4、已知函数y=(m+3)xm 27+1 是二次函数，则m。5、若函数 y=(m2)xm22+5x+1 是关于 x 的二次函数，则m的值为

2、6、已知函数y=(m1)xm +1+5x3 是二次函数，求m的值。同步作业（ 2）二次函数 y=ax 2(a 0) 的图象与性质1. 二次函数 y= 12 x 2 的顶点坐标是，对称轴是。2. 二次函数 y= 14 x 2 的图象开口，当 x0 时，y 随 x 的增大而；当 x 0 时，y 随 x 的增大而；当 x0 时，函数 y 有最 值是。3. 二次函数 y=3x 2的图象开口，当 x0 时，y 随 x 的增大而；当 x0 时，y 随 x 的增大而；当 x0 时，函数 y 有最 值是。4. 已知点 A（2，y 1），B（4，y 2）在二次函数 y=3x 2的图象上，则 y1 y 2. 5.

3、 已知点 A（ 2，y1），B（4， y2）在二次函数 y=ax 2(a0) 的图象上，则 y1 y 2. 6. 在函数 y=x,y= 4 x ,y= x 2,y= 1 2 x 2+3,y=(x 1) 2 中，其图象的对称轴是 y 轴的有（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个7. 抛物线 y=12 x 2 不具有的性质是（）A开口向下； B对称轴是 y 轴；C当 x0 时， y 随 x 的增大而减小； D 函数有最小值8. 抛物线 y=1 4 x 2,y= 5x 2,y=8x 2 共有的性质是（）A开口方向相同 B开口大小相同 C当 x0 时， y 随 x 的增大而增大 D 对称轴相同9.

4、 已知抛物线 y=ax 2经过点 A（1， 4），求（ 1）x4 时的函数值；（ 2）y 8 时的 x 的值。10. 已知抛物线 y=(m1) x m 2 2的开口向下，则 m的值为。11. 已知抛物线 y=4x 2与直线 y=kx1 有唯一交点，求 k 的值。12. 已知 P（ x，y）是抛物线 y=x 2第三象限内的一点，点 A 的坐标为（ 4，0），求三角形 OPA的面积 S与 x 的函数关系式。同步作业（ 3）1抛物线 y=2x23 的开口，对称轴是函数 y=ax2+c 的图象与性质，当 x 时， y 随 x 的增大而，顶点坐标是增大，当 x 时， y 随 x 的增大而减小 . 2将抛

5、物线 y= 13 x 2 向下平移 2 个单位得到的抛物线的解析式为，再向上平移 3 个单位得到的抛物线的解析式为，并分别写出这两个函数的顶点坐标、。3二次函数 y=ax 2+c(a 0) 中，若当 x 取 x 1、x2（x1 x 2）时，函数值相等， 则当 x 取 x 1x 2时，函数值等于。4任给一些不同的实数 k，得到不同的抛物线 y=x 2+k，当 k 取 0，1时，关于这些抛物线有以下判断：开口方向都相同；对称轴都相同；形状相同；都有最低点。其中判断正确的是。5将抛物线 y=2x 21 向上平移 4 个单位后，所得的抛物线是，当 x时，该抛物线有最（填大或小）值，是。1 1 16已知

6、函数： y=2 x 2,y= 2 x 2+3,y= 2 x 21。（1）分别画出它们的图象；（2）说出各个图象的开口方向，对称轴和顶点坐标；（3）说出函数y=1 2 x2+6 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；y=1 2 x2 作怎样的平移才能得到（4）试说明函数y=1 2 x2+3,y= 1 2 x21,y= 1 2 x2+6 的图象分别有抛物线同步作业（ 4）函数 y=a(x h) 2 的图象与性质1填表：2已知函数y=2x抛物线开口方向对称轴顶点坐标y3 x22y1x3222,y=2(x 4)2，和 y=2(x+1)2。（1）分别说出各个函数图象的开口方、对称轴和顶点坐标。（2）分析分

7、别通过怎样的平移。可以由抛物线y=2x2得到抛物线y=2(x 4)2和 y=2(x+1)2？。3试写出抛物线y=3x2 经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。（1）右移 2 个单位；（2）左移2 3个单位；（3）先左移 1 个单位，再右移4 个单位。4试说明函数y=1 2 (x 3)2 的图象特点及性质（开口、对称轴、顶点坐标、增减性、最值）5二次函数y=a(x h)2的图象如图：已知1 a= 2，OAOC，试求该抛物线的解析式。同步作业（ 5）1 已知函数 y=3(x 2)2+9。函数 y=a(x h)2+k 的图象与性质（ 1） 确定该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标

8、；（2） 当 x时，抛物线有最值，是。（3） 当 x 时， y 随 x 的增大而增大；当x 时，y 随 x 的增大而减小。（4） 求出该抛物线与（5） 求出该抛物线与（6） 该函数图象可由 2 已知函数 y=(x+1)x 轴的交点坐标；y 轴的交点坐标；y=3x 2 的图象经过怎样的平移得到的？24。（1） 指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2） 若图象与 x 轴的交点为 A、B 和与 y 轴的交点 C，求 ABC的面积；（3） 指出该函数的最值和增减性；（4）若将该抛物线先向右平移2 个单位，在向上平移4 个单位，求得到的抛物线的解析式；（5） 该抛物线经过怎样的平移能经过原点。（

9、6）画出该函数图象，并根据图象回答：当x 取何值时，函数值大于0；当 x 取何值时，函数值小于0。同步作业（ 6）1抛物线 y=x2+4x+9 的对称轴是函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质。2抛物线 y=2x212x+25 的开口方向是，顶点坐标是。3试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x 2，且与 y 轴的交点坐标为 （0，3）的抛物线的解析式4通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：（1）y=1 2 x22x+1 ；（2）y=3x2+8x2；（3）y=1 4 x2+x4 y=x23x+5，试求 b、c5把抛物线y=x2+bx+c 的图象向右平移3 个单位，在向下平移2 个

10、单位，所得图象的解析式是的值。6把抛物线y=2x2+4x+1 沿坐标轴先向左平移2 个单位，再向上平移3 个单位，问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由。7某商场以每台 2500 元进口一批彩电。如每台售价定为 2700 元，可卖出 400 台，以每 100 元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则会少卖出 50 台，那么每台定价为多少元即可获得最大利润？最大利润是多少元？同步作业（ 7）函数解析式的求法一、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式y=ax2+bx+c，然后解三元方程组求解；y=a(x h)2+k 1已知二次函数的图象经过A（0，3）、B（1

11、，3）、C（ 1，1）三点，求该二次函数的解析式。 2已知抛物线过A（1，0）和 B（ 4，0）两点，交y 轴于 C点且 BC5，求该二次函数的解析式。二、已知抛物线的顶点坐标，或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式求解 。 3已知二次函数的图象的顶点坐标为（1， 6），且经过点（ 2， 8），求该二次函数的解析式。 4已知二次函数的图象的顶点坐标为（1， 3），且经过点P（2，0）点，求二次函数的解析式。三、 已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为交点式y=a(x x 1)(x x 2) 。 5二次函数的图象经过A（ 1，0）， B（3，0），函数有最小值8

12、，求该二次函数的解析式。5已知 x1 时，函数有最大值5，且图形经过点（0， 3），则该二次函数的解析式。6抛物线 y=2x 2+bx+c 与 x 轴交于（ 2，0）、（ 3，0），则该二次函数的解析式。7若抛物线 y=ax 2+bx+c 的顶点坐标为（1， 3），且与 y=2x 2 的开口大小相同，方向相反，则该二次函数的解析式。8抛物线 y=2x2+bx+c 与 x 轴交于（ 1,0 ）、（3,0 ），则 b，c . 9若抛物线与x 轴交于 (2 ， 0) 、（3，0），与 y 轴交于 (0 ， 4) ，则该二次函数的解析式10根据下列条件求关于x 的二次函数的解析式（1）当 x=3 时，

13、 y最小值=1，且图象过（ 0，7）（2）图象过点（ 0， 2）（1，2）且对称轴为直线x=32（3）图象经过（ 0，1）（ 1，0）（ 3，0）（4）当 x=1 时， y=0; x=0 时 ,y= 2，x=2 时， y=3 （5）抛物线顶点坐标为（1， 2）且通过点（ 1，10）11当二次函数图象与 x 轴交点的横坐标分别是 x 1= 3，x 2=1 时，且与 y 轴交点为（ 0， 2），求这个二次函数的解析式12已知二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象与 x 轴交于 (2 ，0) 、（4，0），顶点到 x 轴的距离为 3，求函数的解析式。1 1113知二次函数图象顶点坐标（3，2）且图

14、象过点（2，2），求二次函数解析式及图象与 y 轴的交点坐标。14已知二次函数图象与 x 轴交点 (2,0) ， ( 1,0) 与 y 轴交点是 (0, 1) 求解析式及顶点坐标。15若二次函数 y=ax 2+bx+c 经过（ 1，0）且图象关于直线 x= 1 2对称，那么图象还必定经过哪一点？16y= x 2+2(k 1)x+2k k 2，它的图象经过原点，求解析式 与 x 轴交点 O、A 及顶点 C组成的OAC面积。17抛物线 y= (k 22)x 2+m 4kx 的对称轴是直线 x=2，且它的最低点在直线 y= 1 2 +2 上，求函数解析式。同步作业（ 8）二次函数的对称轴、顶点、最值

15、（技法：如果解析式为顶点式y=a(x h)2+k，则最值为k；如果解析式为一般式y=ax2+bx+c 则最值为4ac-b24aA 1抛物线 y=2x2+4x+m 2m经过坐标原点，则m的值为。( ) 2抛物 y=x2+bx+c 线的顶点坐标为（1，3），则 b，c .3抛物线 yx23x 的顶点在 ( ) A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限（6）4若抛物线yax26x 经过点 (2 ，0) ，则抛物线顶点到坐标原点的距离为A.13 B.10 C.15 D.145若直线 yaxb 不经过二、四象限，则抛物线yax2bxc( ) A. 开口向上，对称轴是y 轴 B.开口向下，

16、对称轴是y 轴 C. 开口向下，对称轴平行于y 轴 D. 开口向上，对称轴平行于y 轴6已知抛物线yx2(m1)x 1 4的顶点的横坐标是2，则 m的值是_ .7抛物线 y=x 2+2x3 的对称轴是。8若二次函数 y=3x 2+mx3 的对称轴是直线 x1，则 m。9当 n_，m_时，函数 y (mn)x n(mn)x 的图象是抛物线， 且其顶点在原点， 此抛物线的开口 _. 10已知二次函数 y=x 2 2ax+2a+3，当 a 时，该函数 y 的最小值为 0？11已知二次函数的最小值为 1，那么 m。12( 易错题 ) 已知二次函数 y=mx 2+(m1)x+m1 有最小值为 0，则m。

17、13已知二次函数 y=x 2 4x+m3 的最小值为 3，则 m。B1. 心理学家发现，学生对概念的接受能力 y 和提出概念所用的时间 x（单位：分）之间大体满足函数关系式：y= 0.1x 2+2.6x+43 （0 x30）。 y 的值越大，表示接受能力越强。试根据关系式回答：(1) 若提出概念用 10 分钟，学生的接受能力是多少？(2) 概念提出多少时间时？学生的接受能力达到最强？2. 某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子 OA，O恰在水面中心，安置在柱子顶端 A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过 OA的任一平面上，抛物线形状如图（

18、1）所示。5图（ 2）建立直角坐标系，水流喷出的高度 y（米）与水平距离 x（米）之间的关系是 y= x 2+2x+ 4。请回答下列问题：(1) 柱子 OA的高度是多少米？(2) 喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？(3) 若不计其他因素，水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于落在池外？3. 体育测试时， 初三一名高个学生推铅球，已知铅球所经过的路线为抛物线y= 1x2+x+212的一部分，根据关系式回答：(1) 该同学的出手最大高度是多少？(2) 铅球在运行过程中离地面的最大高度是多少？(3) 该同学的成绩是多少？4. 如图，正方形EFGH的顶点在边长为a 的正方形 ABCD的边上，

19、若AEx，正方形 EFGH的面积为 y。(1) 求出 y 与 x 之间的函数关系式；(2) 正方形 EFGH有没有最大面积？若有，试确定E点位置；若没有，说明理由。同步作业（ 9）二次函数的增减性1. 二次函数 y=3x 2 6x+5，当 x1 时，y 随 x 的增大而；当 x 2 时,y 随 x 的增大而增大；当 x 2 时， y 随 x 的增大而减少；则 x1 时,y 的值为。3. 已知二次函数 y=x 2(m+1)x+1 ，当 x1 时， y 随 x 的增大而增大，则 m的取值范围是 .1 54. 已知二次函数 y=2 x 2+3x+ 2的图象上有三点 A(x1,y1),B(x 2,y

20、2),C(x 3,y 3) 且 3x 1x20,b0,c0 B.a0,b0,c=0 C.a0,b0,b0,c 0 Bb -2a Ca-b+c 0 Dc0；a+b+c 0 a-b+c 0 b 2-4ac0 abcc；其中正确的为（）A B C D 图 3 4. 当 bbc，且 abc0，则它的图象可能是图所示的( ) y1xyyyy( ) 6. 如图所示，当 O 1 xb0 ，b0 B.a0，c0 D C.b0 ，c0 D.a A B、b、c 都小于 0 4 所示，则有 ( ) 图 4 8. 二次函数yax2bx c 的图象如图5 所示，那么abc，b 24ac， 2ab，abc 这四个代数式中

21、，值为正数的有( ) A.4个B.3 个C.2 个D.1 个图 5 -1O9. 在同一坐标系中，函数y= ax2+c 与 y= c x (a0 ，b 24ac0 B.a0 C.a0，b 24ac0 D.a0，b 24ac0 8. 若二次函数 y-x 2+4x-2 的图象全在 x 轴的下方，则 m的取值范围为。9. 若二次函数 y(m+5)x 2+2(m+1)x+m 的图象全部在 x 轴的上方，则 m 的取值范围是10. 已知抛物线 yx 2-2x-8 ，（1）求证：该抛物线与 x 轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与 x 轴的两个交点为 A、B，且它的顶点为 P，求 ABP的面积。B 11.已

22、知二次函数yx22(m1)x m 22m3，其中 m为实数 . . (1)求证 : 不论 m取何实数，这个二次函数的图象与x 轴必有两个交点; (2)设这个二次函数的图象与x 轴交于点 A(x 1，0) ，B(x 2，0) ，且 x 1、x2 的倒数和为2 3，求这个二次函数的关系式12.已知二次函数y= 1 2 x2+3x+2 的图像与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 D点，顶点为C，求四边形ACBD的面积。13.已知抛物线y=x2-2x+3 与直线 y=2x 相交于 A、B，抛物线与y 轴相交于 C点，求 ABC的面积。14.已知抛物线y=x2+bx+c 与 x 轴交于点 A、B

23、，其对称轴为直线x=-2 ，顶点为M，且 S ABM=8，求它的解析式15.已知抛物线y=x2-mx+m-2, (1) 求证：不论m为何实数，抛物线与x 轴总有两个交点；(2) 若以抛物线与x 轴、 y 轴三交点为顶点的三角形面积为4，求 m的值同步作业（ 13）二次函数应用(一）经济策略性A 1. 某商店购进一批单价为 16 元的日用品， 销售一段时间后， 为了获得更多的利润，商店决定提高销售价格。经检验发现，若按每件 20 元的价格销售时， 每月能卖 360 件若按每件 25 元的价格销售时， 每月能卖 210 件。假定每月销售件数 y( 件）是价格 X 的一次函数 . (1) 试求 y

24、与 x 的之间的关系式 . (2) 在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润，每月的最大利润是多少？（总利润 =总收入总成本）2. 有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去， 假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变，现有一经销商， 按市场价收购了这种活蟹 1000 千克放养在塘内，此时市场价为每千克 30 元，据测算， 以后每千克活蟹的市场价每天可上升 1 元，但是放养一天需各种费用支出 400 元，且平均每天还有 10 千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克 20 元。（

25、1）设 X天后每千克活蟹的市场价为 P 元，写出 P 关于 X的函数关系式。（2）如果放养 X 天后将活蟹一次性出售，并记 1000 千克蟹的销售额为 Q元，写出 Q关于 X 的函数关系式。（2）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润（利润 =销售总额收购成本费用），最大利润是多少？3. 某商场批单价为 25 元的旅游鞋。为确定 一个最佳的销售价格，在试销期采用多种价格进性销售，经试验发现：按每双 30 元的价格销售时， 每天能卖出 60 双；按每双 32 元的价格销售时， 每天能卖出 52 双，假定每天售出鞋的数量 Y（双）是销售单位 X 的一次函数。 (1) 求 Y 与 X 之间的

26、函数关系式； (2) 在鞋不积压，且不考虑其它因素的情况下，求出每天的销售利润 W（元）与销售单价 X 之间的函数关系式； (3) 销售价格定为多少元时，每天获得的销售利润最多？是多少？B 1.某公司生产的A 种产品，它的成本是2 元，售价是3 元，年销售为100 万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，每年投入的广告费是x 万元时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且 y 是x 的二次函数，它们的关系如表所示： (1) 求 y 与 x 的函数的关系式 ; (2) 如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费 , 试写出年利润 S( 十万元 ) 和 x( 十万元 )

27、的函数关系式 ? (3) 如果投入的年广告费为 10 万至 30 万元 , 问广告费在范围内 , 公司获得的年利润随广告费的增大而增大 ? 2. 某公司推出了一种高效环保洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二产供销函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润 s（万元）与销售时间 t （月）之间的关系（即前 t 个月的利润总和 s 与 t 之间的关系） 。根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）（2）（3）3.（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与销售时间t （月）之间的关系式；求截止到几个月末公司累积利润可达到30 万元；求第 8 个月公司所获利润是多少万

28、元？启明公司生产某种产品，每件产品成本是3 元，售价是4 元，年销售量是10 万件。为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，每年投入的广告费是x( 万元 ) 时，产品的啊销售量将是原销售量的y 倍，且y1x27x7，如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费：101010试写出年利润S（万元）与广告费x（万元）的函数关系式，并计算广告费是多少元时，公司获得的年利润最大，最大年利润是多少万元；（2）把（ 1）中的最大利润留出3 万元作广告，其余的资金投资新项目，现有6 个项目可供选择，各项目每股投资额和预计年收益如下表：项目A B C D E F 每股（万元）5 2 6 4

29、6 8 收益（万元）0.50.0.0.0.1 5 4 6 5 9 如果每个项目只能投一股，且要求所有投资项目的收益总额不得低于 种投资方式所选的项目。（二）压轴题1.6 万元，问有几种符合要求的投资方式？写出每1.已知抛物线y=ax2+bx+c 经过 A（ 1,0 ）、B（ 3,0 ）、C（0,3 ）三点，B重合）交 x 轴于点 Q，四边形 AQPC（1）求抛物线的解析式和顶点M的坐标，并在给定的直角坐标系中画出这条抛物线。（2）若点（ x0,y0）在抛物线上，且0 x04, 试写出 y0 的取值范围。（3）设平行于 y 轴的直线x=t 交线段 BM于点 P（点 P 能与点 M重合，不能与点的

30、面积为 S。2.求 S 关于 t 的函数关系式以及自变量t 的取值范围；P的坐标；若不存在，请说明理由。求 S 取得最大值进点 P 的坐标；设四边形 OBMC 的面积 S / , 判断是否存在点P，使得 SS / , 若存在，求出点已知ABC，BAC90，ABAC4，BD是 AC 边上的中线，分别以AC，AB所在直线为 x 轴， y 轴建立直角坐标系（如图） （1）在 BD 所在直线上找出一点 P，使四边形ABCP为平行四边形，画出这个平行四边形，并简要叙述其过程；（2）求直线 BD 的函数关系式；（3）直线 BD 上是否存在点 M ，使AMC 为等腰三角形？若存在，求点 M 的坐标； 若不存

31、在，y 说明理由B3.如图，已知二次函数y=ax 2 bxc 的象经过 A( 1， 0) 、B(3 ，0) 、N(2 ，3) 三点，且与y轴交于点 C。4.(1) 求这个二次函数的解析式，并写出顶点M及点 C的坐标；(2) 若直线 y=kxd 经过 C、M两点，且与 x 轴交于点 D，试证明四边形CDAN是平行四边形；ADC 的圆x(3) 点 P 是这个二次函数的对称轴上一动点，请探索：是否存在这样的点P，使以点 P 为圆心经过 A、B两点，并且与直线CD相切，如果存在，请求出点P的坐标；如果 y M 不存在，请说明理由。如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC为菱形， 点 C的坐标为 (4,0)，C N AOC=60 ，垂直于x 轴的直线 l 从 y 轴出发， 沿 x 轴正方向以每秒1 个单位长度的速度运动，设直线 l 与菱形 OABC的两边分别交于点 M、N(点 M在点 N的上方 ). (1) 求 A、B 两点的坐标；(2) 设 OMN的面积为 S，直线 l 运动时间为t 秒(0 t 6) ，试求 S与 t 的函数表达式；(3) 在题 (2) 的条件下， t 为何值时， S 的面积最大？最大面积是多少？5. 如图，二次函数 y ax 的图