2022年《集合的含义与表示》教学设计 2

1、学习好资料 欢迎下载1.1.1 集合的含义与表示教案【教学目标】1.了解集合、元素的概念，体会集合中元素的三个特征；2. 理解元素与集合的“ 属于” 和“ 不属于” 关系；3. 掌握常用数集及其记法；4.了解集合的表示方法；5.能正确选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用 .【导入新课】一、实例引入：军训前学校通知：8 月 20 日 8 点，高一年级在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？在这里， 集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象

2、，为此，我们将学习一个新的概念集合，即是一些研究对象的总体 . 二、问题情境引入：我们高一（一）班一共 52 人，其中班长张三，现有以下问题： 52 人组成的班集体能否组成一个整体？ 张三和 52 人所组成的班集体是什么关系 ? 假设李四是相邻班的学生，问他与高一 一班是什么关系？新授课阶段（一）集合的有关概念1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体 . 2. 一般地，我们把研究对象统称为 元素（ element ），一些元素组成的总体叫 集合（set ），也简称 集. 3. 思考 1：判断以下元素的全体是否

3、组成集合，并说明理由：（1）大于 3 小于 11 的偶数；（2）学习好资料欢迎下载我国的小河流；（3）非负奇数；2（4）方程 x 1 0 的解；（5）某校 20XX 级新生；（6）血压很高的人；（7）著名的数学家；（8）平面直角坐标系内所有第三象限的点；（9）全班成绩好的学生 . 对学生的解答予以讨论、点评，进而讲解下面的问题 . 4. 关于集合的元素的特征（1）确定性： 设 A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是 A 的元素，或者不是 A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立 . （2）互异性： 一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不

4、应重复出现同一元素 . （3）无序性：给定一个集合与集合里面元素的顺序无关 . （4）集合相等：构成两个集合的元素完全一样 . (二) 元素与集合的关系1. （1）如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于（ belong to）A，记作： aA；（2）如果 a 不是集合 A 的元素，就说 a 不属于（ not belong to ） A，记作： a A，例如，我们 A 表示“120 以内的所有质数” 组成的集合，则有 3A ， 4 A ，等等. 2集合与元素的字母表示：集合通常用大写的拉丁字母A，B，C 表示，集合的元素用小写的拉丁字母a,b,c, 表示 . 3常用的数集及记法：非负整数集

5、（或自然数集），记作 N；正整数集，记作 N*或 N+；整数集，记作 Z；有理数集，记作 Q；实数集，记作 R. 学习好资料 欢迎下载例 1 若集合 A 为所以大于 1 二小于 3 的实数组成的集合，则下面说法正确的为（）A 0A.1AC. 0.2AD. 1A解析： 根据元素与集合的关系可得，答案C. 答案：C例 2 用“ ” 或“” 符号填空：（ 1）8N；（ 2）0N；（ 3）-3Z；（4）2 Q；（ 5）设 A 为所有亚洲国家组成的集合，则中国 答案 ： ; ; ; ; , , 例 3 判断下列各句的说法是否正确：A，美国 A ，印度 A，英国 A. (1) 所有在 N 中的元素都在N*

6、 中() 0 () (2) 所有在 N 中的元素都在Z 中() (3) 所有不在 N* 中的数都不在Z 中() (4) 所有不在 Q 中的实数都在R 中() (5) 由既在 R 中又在 N 中的数组成的集合中一定包含数(6) 不在 N 中的数不能使方程4x8 成立() 答案： ， ， ，例 4 已知集合 P 的元素为2 1, m m3 m3, 若 3P且 -1P，求实数 m 的值3,解得解：根据 3P，得若m3,2 则m3 m33此时不满足题意；若m3 m3此时m0或m3（舍），综上符合条件的m0. . 点评： 本题综合运用集合的定义和元素与集合的关系解题，注意集合的性质的运用（三） 集合的表

7、示方法我们可以用自然语言和图形语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合(1) 列举法： 把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“的方法叫列举法 . ” 括起来表示集合如： 1 ，2，3， 4，5 ， x2，3x+2 ，5y3-x，x2+y2 ，说明： 1集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序 . 学习好资料 欢迎下载2各个元素之间要用逗号隔开；3元素不能重复；4集合中的元素可以数，点，代数式等；5对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号，象自然数集用列举法表示为1,2,3,4,5,.

8、例 5 用列举法表示下列集合：(1)x24 的一次因式组成的集合 . (2) yy x22x3，x R,yN. (3)方程 x 2 6x90 的解集 . (4)20 以内的质数 . (5) （ x，y） x 2y21，x Z,yZ . (6) 大于 0 小于 3 的整数 (7) xRx 25x140. (8) （ x，y） xN，且 1x4，y2x0. (9) （ x，y） xy6，xN，yN. 分析： 用列举法表示集合的关键是找出集合中的所有元素，要注意不重不漏，不计次序地用“ ，” 隔开放在大括号内. 解： (1)因 x24（ x2）（x2），故符合题意的集合为 x2，x2. (2)y x

9、22x3（ x1） 24，即 y4，又 yN， y0，1，2，3，4. 故yy x22x3，xR,yN 0 ，1， 2，3，4. (3)由 x 26x 90 得 x1x2 3，方程 x 26x9 0 的解集为 3. (4)20 以内的质数 2 ， 3，5，7，11，13，17， 19. (5)因 xZ, yZ ，则 x 1，0，1 时， y0，1， 1. 那么 ( x，y) x2 y2 1，xZ ,yZ （ 1，0），（0，1），（0， 1），（1，0）. (6) 大于 0 小于 3 的整数 1 ，2. (7)因 x25x 140 的解为 x1 7，x22，则 x R x2 5x140 7，2

10、. (8)当 xN 且 1x4 时， x1，2，3，此时 y2x，即 y 2，4，6. 那么 （ x，y） xN 且 1x4，y2x0 （1，2），（2，4），（3，6）. (9) （ x，y） xy6，xN，yN （ 0，6）（ 1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），（6，0） . （2）描述法： 把集合中的元素的公共属性描述出来，写在花括号 内. 学习好资料 欢迎下载具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征 . 一般格式：x A p x ( )如： x|x-32 ，(x,y)|y=

11、x 说明 ：1课本 P5 最后一段话；2+1 ， x直角三角形 ， ；2描述法表示集合应注意集合的 代表元素 ，如(x,y)|y= x2+3x+2 与 y|y= x2+3x+2 是 不同的两个集合，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如： x整数 ，即 代表整数集 Z. 的意思， 所以不必写 全体整数 . 下列写法 实数集 ，辨析： 这里的 已包含 “ 所有”R 也是错误的 . 说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法. . 3 的点的集合 . 例 6 用描述法表示下列集合：(1)方程 2xy5 的解集

12、. (2)小于 10 的所有非负整数的集合(3)方程 axby0（ab 0）的解 . (4)数轴上离开原点的距离大于(5)平面直角坐标系中第、象限点的集合. (6)方程组x+ y1 x y1的解的集合 . (7)1 ，3，5，7， .(8)x 轴上所有点的集合. (9)非负偶数 . (10)能被 3 整除的整数 . 分析： 用描述法表示集合的关键是找出集合中元素的公共属性，. 确定代表元素， 公共属性可以用文字直接表述，也可用数学关系表示，但要抓住其实质解： (1) （x， y） 2x y5. (2)小于 10 的所有非负整数的集合用描述法表示为 (3)方程 axby0（ab 0）的解用描述法

13、表示为 x0 x10，xZ. （x，y） axby0（ab 0）. (4)数轴上离开原点的距离大于3 的点的集合用描述法表示为 xx3. (5)平面直角坐标系中第、象限点的集合用描述法表示为 （x，y） xy0. (6)方程组x+ y1 x y1的解的集合用描述法表示为 （x，y）x+ y1 xy1 . (7)1 ，3，5， 7， 用描述法表示为 xx2k1，kN* . 学习好资料 欢迎下载(8)x 轴上所有点的集合用描述法表示为（ x，y） xR，y0. (9)非负偶数用描述法表示为 xx2k，kN. (10)能被 3 整除的整数用描述法表示为 xx 3k，kZ. （3）文恩图法：集合的表示

14、除了列举法和描述法外，还有恩韦图(文氏图 )叙述如下：画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合 .如图：表示任意一个集合 A表示 3 ，9，27 表示 4 ，6，10 边界用直线还是曲线，用实线还是虚线都无关紧要，只要封闭并把有关元素和子集统统包含在里边就行，但不能理解成圈内每个点都是集合的元素. 例 7 设集合 A xx2k，kZ ，B xx2k 1，kZ，C xx4k1，kZ ，又有 aA，bB，判断元素ab 与集合 A、 B 和 C 的关系 . 解：因 A xx2k，kZ ，B xx2k1，kZ ，则集合 A 由偶数构成，集合 B 由奇数构成 . 即 a 是偶数， b 是奇数 则 ab

15、2（mn） 1 是奇数，那么设 a2m，b2n1（mZ , nZ）ab A，abB. 又 C xx4k1，kZ 是由部分奇数构成且x4k122k1. 故 mn 是偶数时， abC；mn 不是偶数时， abC 综上 ab A，abB，a bC. 课堂小结1.集合的概念中， “ 某些指定的对象”，可以是任意的具体确定的事物，例如数、 式、点、形、物等 . 2.集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性，要能熟练运用之 . 3. 集合的常用表示方法，包括列举法、描述法 . 作业1习题 1.1，第 1- 2 题；学习好资料 欢迎下载2预习集合的表示方法 . 拓展提升1.用集合符号表示下列集合，并写出集

16、合中的元素：(1) 所有绝对值等于8 的数的集合A；）(2)所有绝对值小于8 的整数的集合B. 2.下列各组对象不能形成 集合的是（A. 大于 6 的所有整数 B.高中数学的所有难题C.被 3 除余 2 的所有整数D.函数 y1 x图象上所有的点3.下列条件能形成集合的是（）B.爱好飞机的一些人A. 充分小的负数全体C.某班本学期视力较差的同学D.某校某班某一天所有课程4.集合 A 的元素由kx23x20 的解构成，其中kR，若 A 中的元素至多有一个，求k值的范围 . 5.若 xR，则 3 ， x，x22x 中的元素 x 应满足什么条件? 6.方程ax2 5xc 0 的解集是 1 2，1 3

17、 ，则 a_，c_.7.集合 A 的元素是由xab2 （ aZ, bZ ）组成，判断下列元素x 与集合 A 之间的关系：0，1，2112. 3参考答案1. 分析：由集合定义：一组确定对象的全体形成集合，所以能否形成集合，就看所提学习好资料 欢迎下载对象是否确定；其次集合元素的特征也是解决问题依据所在 . 解： (1)A 绝对值等于 8 的数 其元素为： 8， 8 (2)B 绝对值小于 8 的整数 其元素为： 7， 6， 5， 4， 3， 2， 1，0，1，2，3，4，5，6，7. 2. 解：综观四个选择支，A、C、D 的对象是确定的，惟有 B 中的对象不确定，故不能形成集合的是 B. 3 解：

18、综观该题的四个选择支，A、 B、 C 的对象不确定，惟有 D 某校某班某一天所有课程的对象确定，故能形成集合的是 D. 4. 解：由题 A 中元素即方程kx 2 3x2 0(kR)的根若 k0，则 x2 3，知 A 中有一个元素，符合题设若 k 0，则方程为一元二次方程 . 当 98k0 即 k9 8时，kx23x20 有两相等的实数根，此时 A 中有一个元素 .又当 9 8k0 即 k9 8时,kx23x20 无解 . 此时 A 中无任何元素，即 A也符合条件综上所述 k0 或 k9 8评述：解决涉及一元二次方程问题，先看二次项系数是否确定，若不确定，如该题，则须分类讨论 .其次至多有一个元素，决定了这样的集合或者含一个元素，或者不含元素，分两种情况 . 5. 解：集合元素的特征说明3 ，x， x 2 2x中元素应满足关系式x 3即x 3也就是x 3x x 22xx 2 3xx 03 x 22xx 22x3 0 x 1即 x 1， 0，3 满足条件 . 6. 解：方程 ax