2022年《随机信号处理》重点题目题型及相关知识点简介

1、第一组上台讲解题目（第 2、7 题）2. 复随机过程 Z t ( ) e j ( 0 t )，式中 0为常数，是在 (0, 2 ) 上均匀分布的随机变量。求： (1) E Z t ) Z ( ) 和 E Z t ) Z t ( )；(2) 信号的功率谱。解：(1) E Z t)Z( )ej0(t)ej0tj1d2E Z t)Z t ( )201d0te0ej201 2d0(tejej)2ej0(2t)21d02j e0(2t)2ej21d020(2) S Z ( ) F R Z ( ) F E Z t ) Z ( )F e j 0 2 ( 0 )备注 : 主要考察第二章 P37,功率谱计算 ,

2、 第一步求期望用数学积分方法 , 得到E Z t ) Z ( ) 即输出的自相关 , 对其进行傅里叶变换就得信号的功率谱。7. 一零均值 MA(2)过程满足 Yule-Walker 方程：试求 MA 参数：2 b 02 b 12 b 23b b 0 1bb 1 22b ，0b b 211b ，b 2解：由于对于零均值MA(q)过程而言，均值为0，令方差为1，其自相关函数rx(0)2qb2kk0rx(0)rx2kq0b（公式： 3.2.5）qr l ( )rx(l),ql1（公式： 3.2.6）( )2qb b k l,0lk l0,lq则可得：b b 0 12 b 0b 12b q2r x(0

3、)b b 2b q1 b qr x(1)b b qr q ( )故由题意知， MA(2)过程的自相关函数为rx(0)3, (1)r x( 1)2,r x(2)rx( 2)1k2由此不难求得 MA(2)过程的功率谱s z ( )k22rx( ) k zkz22z32z1z2（公式： 2.4.14）其因式分解为：1 2 2xs z ( ) (1 z z )(1 z z )根据功率谱分解定理 xs ( ) 2Q z Q *(1/ Z *)（公式： 2.5.2a），1 2比较得传输函数：Q z ( ) 1 z z即 b 0 1, b 1 1, b 2 1备注：本题主要考察 MA模型满足 Yule-Wa

4、lker 方程的模型参数求解，根据 P54页 3.2.6 求得自相关函数值，由 P38 页 2.4.14 求得复功率谱密度，因式分解，与 P39页 2.5.2a 比较得出结果。第二组上台讲解题目（第1、2、5、7 题）1. 某离散时间因果LTI 系统，当输入x(n)(1)n(n )1(1)n1(n)1时，输出343y(n )(1)n(n )2（1）确定系统的函数H(Z) （2）求系统单位序列相应（3）计算系统的频率特性h（n）H（e j）（4）写出系统的差分方程解：（1）H(Z)Y(Z)ZZ1ZZ11ZZ1(ZZ(Z1)1)|Z|123X(Z)11 2)(2ZZ4433(2) H(Z)( ZZ

5、11)29 179 1|Z| 131 )(2ZZ2ZZ424h(n)2(1)n(n)7(1)n(n)9294(3) 因为 H（z）收敛域为|Z| 1 ，包含单位圆 ,所以 H（ej ）存在 : 22ej17ej1H( ej)H(Z)| Zej99ejej（4）H( Z)Y(Z)Z2241 Z31 Z-4111-1Z1Z23X( Z)Z2111Z1-848= Y(z)1Y(z )z11Y(z )z2X(Z)1X(Z)Z1483y(n)1y(n1 )1y (n2 )x(n)1x(n1 )483备注 :考察第一章数字信号基础,比较完整。,该随机信号的功2. 一个方差为 1 的白噪声激励一个线性系统产

6、生一个随机信号 率谱为 : ，求该系统的传递函数，差分方程。解：由给定信号的功率谱，得（公式： 2.5.8）其中，因此 与之对应的最小相位系统为：（公式： 2.5.7）系统的传递函数为：差分方程为：（公式： 2.5.9）备 注 ： 参 考 P41 页 例 2.5.1。 题 目 会 有 改 动 ， 谱 分 解 + 一 个 系 统2h n ( ) x n ( ) h n ( ) y n ( ) 再对输出求功率谱，h n ( )：P39页，新息滤波器去噪。h n 1( )：最优线性滤波器或最小二乘滤波等。再根据 P38页 2.4.22 式对输出求功率谱。5. 有一个自相关序列为sr l ( )0.8

7、l的信号 s(n) ，被均值为零、噪声方差为1的加性白噪声 v(n) 干扰，白噪声与信号不相关。用维纳滤波器从被污染的信号x(n) = s(n)+v(n) 中尽可能恢复 s(n) ，求出一阶 FIR 滤波器的系数和最小均方误差。解：由白噪声与信号不相关，因此有rx( )rs( )rv( )0.8l( )并且有r xd( )E x n s nl)r l ( )l 0.8对于一阶 FIR 维纳滤波器，自相关矩阵和互相关分量分别为R xr x(0)r x(1)20.8(1)(0)0.82（公式： 5.3.12）r xrxr xdr xd(0)1(1)（公式： 5.3.11）0.435r xd0.8解

8、 Wiener-Hopf方程，得hoptRx1rxd0.238（公式： 5.3.13）维纳滤波器的最小均方误差：Jmin2T r h xd opt110.80.43510.65240.3746（公式： 5.2.16）d0.238备注：典型例题，本题出自第五章。考察最优线性滤波器设计方法。参考 P97页例 5.3.1 。根据 P97页 5.3.12,5.3.13。计算上有点麻烦，复习数学逆阵算法。可能改动：需求解自相关序列，白噪声方差。系 统评估：从均分误差和信噪比分析。7. 已知信号的 4 个样值为x n ( )（2,4,1,3）,试用自相关法估计AR(1)模型参数。解：AR(1)的参数a(1

9、)就是一阶预测误差滤波器的预测系数。 一阶预测误差滤波器的结构如图所示。一阶预测误差滤波器滤波器的输出是预测误差 e n ( ) x n ( )* a n ，其中 x n 的长度是 N=4, a n 的长度是 2，所以 e n 的长度是 4+2-1=5(n=0,1,2,3,4)，有1e n ( ) x n ( )* a n ( ) a m x n m = (0) ( ) a (1) ( x n 1) = ( ) a (1) ( x n 1)m 0e (0) x (0) x ( 1) (1)e (1) x (1) x (0) (1)e (2) x (2) x (1) (1)e (3) x (3)

10、 x (2) (1)e (4) x (4) x (3) (1)上面各式中，x (0), (1), (2), (3) 2,4,1,3 为已知数据，x ( 1) 和 (4) 是未知数据。a (1) 的选择应使预测误差功率达最小。自相关法：自相关法认为假定已知数据段之外的数据为0，预测误差功率为：( ) n =42 e( ) n =2 e(0)2 e(1)2 e(2)2 e(3)2 e(4)a2 (1)2 3 (1)n0=2 242 2 (1)12 4 (1)3=3030 (1)30 a2(1)。+AR模型 +自相关法（ P137 页令( )0，得 3060 (1)0，所以a(1)0.5a(1)备注

11、：主要考察第5，7 章。线性预测误差滤波器式 7.2.2 ）。改动：将题中使用到的自相关法换成协方差法（P139页）第三组上台讲解题目（第 2、6 题）2. 已知随机信号X tAsin0t，0为常数，是 0,2)的均匀分布随机变量，讨论当 A 满足系列条件时， X t 的广义平稳性。（1）A 为常数；（2）A 为时间常数 A A t ；解：（1） 当 A 为常数时：2 E X t E A sin 0 t A sin 0 t 1 d 0；（公式： 2.2.1）0 22R x t t 2 E A sin 0 1 t sin 0 t 22A E cos 0 t 1 t 2 cos 0 1 t 0 t

12、 2 2 2（公式： 2.2.2）2Acos 02其中 t 1 t 2，故此时 X t 是广义平稳的；（广义平稳 =宽平稳，指随机过程的 1 阶矩和 2 阶矩与起始参考时间无关）（2）当 AA t 为时间函数时：21d0；EX tE A tsin0tA t2sin0t20R xt t2EA t 1A t2sin0 1 tsin0 2 tA t 1A t2Ecos0t1t2cos0 1 t0 2 t2A t 1A t2cos02其中t 1t2，此时 Xt 不是广义平稳的。备注：本题出自第二章随机信号分析基础，主要考查的是该章第二节（随机过程） 中的随机信号平稳性问题。 其中用到的公式（2.2.1

13、/2 ）在书上 P30 页。其中用到的概念主要来自式 2.2.4以及 P31 页中的内容。 判断平稳性的两个关键性指标是：信号均值等于常数， 与时间无关； 信号的自相关主要取决于时间间隔，与长短和起始位置无关。6. 用下列的数据矩阵和期望响应信号解LS 问题：1 111x221y23 134已知101和3。解：首先计算正则方程的系数矩阵和互相关向量：15 8 13 20R ? 8 6 6 d ? 9（公式： 6.2.12/13）13 6 12 18接 着对 ?R 进 行 L DL 分 解 （ 参 考 例 6.4.1）。利 用 MATLAB函数 L ,D = l d l ( R)，可以得到：1

14、0 0 15 0 0L 0.5333 1 0 D 0 1.733 00.8667 0.5385 1 0 0 0.2308由LDk r 式（公式： 6.4.26）可得解向量 k 和 LSE为：3.0k 1.5 E ls 1.5 w=？（公式： 6.4.25）1.0备注：本题出自第六章最小二乘滤波和预测，主要考查的是该章第四节（最小二乘线性预测） 的相关问题。 其中用到的公式分布在书上 P117-P130页。本题参考的是P131 页的例 6.4.2 题。本题的主要难点在于，求解正则方程、对系数矩阵进行LDL分解。其中正则方程的式 例题 6.4.1 在 P130页。6.2.14 在 P117 页，三

15、角分解的第四组上台讲解题目（第 2、3 题）2. 一个广义平稳随机信号 x (n) 的自相关函数 xr k 0.8 |k|，该信号通过一个系统函数为 H (z) 11 的LTI系统，其输出为 y (n)。1 0.9 z试求：（1） 输入随机信号 x (n) 的功率谱 S x (w) 和复功率谱 S x (z)。（2） 输出随机信号 y (n) 的功率谱 S y (z)解：（1）功率谱：（公式： 2.4.13）S x(w)=S x(ejw)r x(k)ejwk=kk0|k| 0.8ejwkk00.8 kejwkjwkkjwk0.8 kejwk00.8ke0.8kek1k01110.8 ejw0.

16、8 ejw复功率谱：（公式： 2.4.14）xs(z)=krx(k)zk=k|k| 0.8 zk11z11z10.80.8(2) 功率谱：（公式： 2.4.18）S y(z)=H(z)H*(1)S (z)=1111(11z11z1)Z*10.9z0.9z0.80.8备注：本题出自第二章随机信号分析基础率谱的计算问题。其中用到的公式（，主要考查的是关于功 2.4.13/14/18 ）都在书上P38页。3. 一个 AR（2）过程满足如下的差分方差：。其中，是一个均值为 0，方差为 0.5 的白噪声。（1）写出该过程的 Yule-Walker方程（2）求解自相关函数值 和（3）求出 的方差解：（1）

17、由于，实二阶 AR（2）过程的 Yule-Walker方程为：（公式： 3.1.27、3.1.32）；（可扩展点：（2）解上述 Yule-Walker方程可得：依照已知模型对自相关函数进行递推求解，如求、等。此时用到的公式是P53页的 3.1.30 式中 L0 的情况。）（3）因为 均值为 0，所以 的均值为零 （因为 AR 模型为线性模型，其输入与输出的均值满足线性关系） ，其方差等于平均功率， 即。备注：本题出自第三章随机信号的线性模型AR 模型的计算问题。其中用到的公式（，主要考查的是关于 3.1.27/32 ）在书上P52-53 页。该类题目还可以衍变为简答题，如“ 对经典谱估计和现代谱估计这两种方法进行比较”“ 现代谱估计相比于经典谱估计的优点”（该类谱估计问题的解答请关注P62/P134页的章节简介部分）第五组上台讲解题目（第 6 题）6. 我们希望从观察矢量e。和中估计序列。