2022年《集合与常用逻辑用语,函数》知识总结大全

1、第一章 集合与常用逻辑用语知识结构【知识概要 】一、集合的概念、关系与运算1. 集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性. 在应用集合的概念求解集合问题时，要特别注意这三个性质在解题中的应用，元素的互异性往往就是检验的重要依椐。如2. 集合的表示方法：列举法、 描述法 . 有的集合还可用Venn 图表示， 用专用符号表示，N N,N,Z R Q,等。3. 元素与集合的关系：我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，若元素 x 是集合 A 的元素，则xA ，否则 xA 。4. 集合与集合之间的关系：子集：若xA ，则 xB ，此时称集合A 是集合 B 的子集，记作AB 。A B.

2、真子集：若AB ，且存在元素x B ，且 xA ，则称 A 是 B 的真子集，记作：相等：若AB ，且 AB，则称集合A 与 B 相等，记作AB.。5. 集合的基本运算：交集： AIBx xA 且x B并集：AUBx xA 或xB 补集：C A | x x U,且xA ，其中 U 为全集，AU 。6. 集合运算中常用结论：AIAA,AI,AIBBIA， AIBAAB。互逆若 q，则 pAUAA,AUA,AUBBUA， AUBABA。AU( C A )U， ( C A )IA，CU(AB )(CU(U C，B )CU(A B)( C A )I( C B )。由 n 个元素所组成的集合，其子集个数

3、为2n 个。空集是任何集合的子集，即A 。在解题中要特别留意空集的特殊性，它往往若 p，则 q就是导致我们在解题中出现错误的一个对原命题逆命题象，避免因忽视空集而出现错误。 7.含参数的集合问题是本部分的一个互q互为逆否互p重要题型，应多根据集合元素的互异性挖掘题目的隐含条件，并注意分类讨论思想、数否互为逆否否形结合思想在解题中的运用。二、命题及其关系否命题互逆逆否命题1命题的概念：用语言、符号或式子若,p则若q,则表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。2四种命题的相互关系： 3. “ 若 p 则 q” 是真命题，即 p q ；“ 若 p 则 q ” 是假命题，则 p q 。 4. 在判断命题

4、真假的问题中，一方面可以直接写出命题进行判断，也可以通过命题的等价性进行判断，即原命题与逆否命题等价，否命题与逆命题等价。 5. 充分必要条件的判断是本部分的一个重要题型，在解题中应注意：（1）注意问题的设问方式，我们知道， p 是 q的充分不必要条件是指 p q 且 p q ； p 的必要不充分条件是 q 是指 p q 且 q p 。这两种说法是在充分必要条件推理判断中经常出现且容易混淆的说法，在解题中一定要注意问题的设问方式，弄清它们的区别， 以免出现判断错误。（2）要善于举出恰当的反例来说明一个命题是错误的。（3）恰当地进行转化，由原命题与逆否命题等价可知：若p 是 q 的充分不必要条件

5、，则p 是q 的必要不充分条件；若p 是 q 的必要不充分条件，则p 是q 的充分不必要条件。 6. 证明 p 是 q的充要条件（1）充分性：把p 当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q ；（2）必要性：把q 当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p 。三、逻辑联结词与量词 1含有“ 且（）” “ 或 ()” “ 非（）” 命题的真假性：p 真、 q 真pqpqp真真假p 真、 q 假假真假p 假、 q 真假真真假假真p 假、 q 假2全称量词与存在量词：命题中的“ 对所有”、“ 任意一个” 等短语叫做全称量词，用符号“” 表示，“ 存在” 、“ 至少有一个” 等短语叫做存在量词，用符号“”

6、 表示。含有全称量词的命题叫做全称命题，全称命题：“ 对 M 中任意一个 x ，有 p x 成立” 可用符号简记为 x M , p x 。含有存在量词的命题叫做特称命题，特称命题：“ 存在 M 中任意一个 x ，使 p x 成立”可用符号简记为 x M , ( ) p x 。3全称命题与特称命题的关系：全称命题：P p的否定,p x ( )特称命题：x Mx M p x , ( )特称命题：xM p x , ( )全称命题：x M,p x ( )第二章函数知识结构一.函数的概念及其表示（ 1）函数的概念设 A 、 B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个数x，在集合B

7、中都有唯一确定的数 f x ( ) 和它对应， 那么这样的对应 （包括集合 A ，B 以及 A 到 B 的对应法则 f）叫做集合 A 到 B 的一个函数，记作 f : A B函数的三要素 : 定义域、值域和对应法则只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数（ 2）区间的概念及表示法设 a b 是两个实数，且 a b ，满足 a x b 的实数 x 的集合叫做闭区间，记做 , ；满足a x b 的实数 x 的集合叫做开区间，记做 ( , ) a b ；满足 a x b ，或 a x b 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做 , ) a b，( , a b；满足 x a x a

8、 x b x b的实数x的集合分别记做 , ),( a , ),( , ,( , ) b 注意： 对于集合 x a x b 与区间 ( , ) a b，前者a可以大于或等于b，而后者必须a b （ 3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：f x ( )是整式时，定义域是全体实数1f x ( )是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数f x ( )是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于ytanx 中，xk2(kZ)零（负）指数幂的底数不能为零若f x ( )是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数

9、时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集对于求复合函数定义域问题，一般步骤是： 若已知f x的定义域为 , a b，其复合函数f g x ( )的定义域应由不等式ag x ( )b解出对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义（ 4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同求函数值域与最值的常用方法：观察法：对于比较简单的函

10、数，我们可以通过观察直接得到值域或最值配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值判别式法：若函数 y f x 可以化成一个系数含有 y的关于x的二次方程a y x 2 b y x c y ( ) 0，则在 a y ( ) 0 时，由于 ,x y 为实数，故必须有b 2( ) 4 ( ) c y ( ) 0，从而确定函数的值域或最值不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值

11、域或最值数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值函数的单调性法（ 5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种解析法： 就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系（ 6）映射的概念设 A 、 B 是两个集合，如果按照某种对应法则 f，对于集合A中任何一个元素，在集合 B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应 （包括集合 A ，B 以及 A 到 B 的对应法则 f）叫做集合A到 B 的映射，记作 f : A B给定一个集合 A到集合B的映射，且 a A b B如果元

12、素a和元素b对应，那么我们把元素b 叫做元素 a 的象，元素 a 叫做元素 b 的原象二函数的基本性质1. 单调性函数的单调性是研究函数在定义域内某一范围的图象整体上升或下降的变化趋势，是研究函数图象在定义域内的局部变化性质。函数单调性的定义一般地，设函数 y f x 的定义域为 A，区间 I A 如果对于区间 I内的 _两个值 1x ，x ，当 1x 2x 时，都有 f x 1 ) _ f x 2 )，那么 y f x 在区间 I 上是单调增函数， I 称为 y f x 的单调 _区间 . 如果对于区间 I 内的 _两个值 1x ，2x ，当1x x 时，都有 f x 1 ) _ f x 2

13、 )，那么 y f x 在区间 I 上是单调减函数，I 称为y f x 的单调 _区间 . 如果函数 y f x 在区间 I 上是单调增函数或单调减函数，那么函数 y f x 在区间 I 上具有 _.点评 单调性的等价定义： f (x ) 在区间 M 上是增函数 x 1 , x 2 M , 当 x 1 x 2 时，有 f ( x 1 ) f ( x 2 ) 0( x 1 x 2 ) f ( x 1 ) f ( x 2 ) 0 f ( x 1 ) f ( x 2 ) 0 y 0；x 1 x 2 xf(x)在区间 M 上是减函数0 x 1,x2M,当x 1x2时，有f(x 1)f(x 2)0(x

14、1(x 2yf(x 1)f)x2)f(x 1)f(x2)00；x 1x2x函数单调性的判定方法定义法；图像法；复合函数法；导数法；特值法（用于小题），结论法等 .注意 ：定义法 （取值作差变形定号结论）)：设x 1，x 2a，b且x 1x ，那么(x 1x2)f(x 1)f(x 2)0f(x 1)f(x 2)0f(x)在区间a ,b 上是增函x 1x 2数；(x 1x 2)f(x 1)f(x2)0f(x 1)f(x 20f(x)在区间a,b上是减函x 1x 2数。导数法（选修） ：在 f x 区间 ( a，b ) 内处处可导，若总有 f ( ) 0（f ( ) 0），则f x 在区间 ( a，

15、b ) 内为增（减）函数；反之，f x 在区间 ( a，b ) 内为增（减）函数，且处处可导，则 f ( ) 0（f ( ) 0）。请注意两者之间的区别，可以“ 数形结合法” 研究。点评 判定函数的单调性一般要将式子 f ( x 1 ) f ( x 2 ) 进行因式分解、配方、通分、分子（分母）有理化处理，以利于判断符号；证明函数的单调性主要用定义法和导数法。提醒 求单调区间时，不忘定义域；多个单调性相同的区间不一定能用符号“” 连接；单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示。判定函数不具有单调性时，可举反例。与函数单调性有关的一些结论若 f x 与 g x 同增（减），则 f x g

16、x 为增（减）函数，f g x ( ) 为增函数；若 f x 增，g x 为减， 则 f x g x 为增函数，g x f x 为减函数，f ( ( )为减函数；若函数yf x 在某一范围内恒为正值或恒为负值，则yf x 与y1 f x ( )在相同的单调区间上的单调性相反；yf x ( )函数yf x 与函数yf x ( )k k0)具有相同的单调性和单调区间；函数yf x 与函数ykf x ( )(k0)具有相同的单调性和单调区间，函数与函数ykf x k0)具有相同单调区间上的单调性相反。y 轴成轴2. 奇偶性 函数的奇偶性是研究函数在定义域内的图象是否关于原点中心对称，还是关于对称，是

17、研究函数图象的结构特点；函数奇偶性的定义一般地，设函数 y f x 的定义域为 A如果对于 _的 x A ，都有 f ( x ) _，那么函数 y f ( ) x 是偶函数 . 一般地，设函数 y f x 的定义域为 A如果对于 _的x A，都有 f ( x ) _，那么函数 y f x 是奇函数 . 如果函数 y f x 是奇函数或偶函数，那么函数 y f x 具有 _. 注意 具有奇偶性的函数的定义域一定关于原点对称，因此， 确定函数奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。图象特征函数yf( ) x 的图象关于原点（y 轴）成中心（轴）函数yf x 为奇（偶）函数对称图形。注意定义

18、域含 0 的偶函数图象不一定过原点；定义域含0 的奇函数图象一定过原点；利用函数的奇偶性可以把研究整个函数问题转化到一半区间上，简化问题。点评函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的x).ff(x)1.1.f(x)是奇函数f(x)f x ( )f(f x ( )0f x ( )f(x)是偶函数f(x)f x ( )f(x)f x ( )0(x)f x ( )奇函数f(x)在原点有定义，则f(0 )0.在关于原点对称的单调区间内：（）奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；（）奇函数有相反的最值（极值），偶函数有相同的最值（极值）。 f (x ) 是偶函数 f (| x |) f x .

19、奇偶性的判定方法若所给函数的解析式较为复杂，应先考虑其定义域并等价变形化简后，再判断其奇偶性.如判断函数f x ( )|x1x2的奇偶性。判定函数奇偶性方法如下：定义（等价定义）2 | 2法；图像法；结论法等.点评定义法判定函数的奇偶性先求定义域，看其是否关于原点对称，若对称，再求f(x ，接着考察f(x 与f x 的关系，最后得结论. 判断函数不具有奇偶性时，可用反例。与函数的奇偶性有关的一些结论若f x 与g x 同奇（偶），则f x g x 为奇（偶）函数，ff x ( )g x 和f x ( )为g x ( )偶函数，f g x ( ( )为奇（偶）函数；f x ( )g x 和f x

20、 ( )为奇函数，( ( )为偶函数；若f x 与g x 一奇一偶，则g x ( )定义域关于原点对称的函数可以表示为一个奇函数与一个偶函数和的形式。函数按奇偶性分类1奇函数非偶函数，偶函数非奇函数，既是奇函数又是偶函数，非奇非偶函数。f x 点评既奇又偶的函数有无数个。如f x ( )0定义域关于原点对称即可。如函数2 xx21。3. 周期性函数的周期性是研究一些函数图象在定义域内具有某种一定的周期变化规律；函数周期性的定义f x ，如果存在一个_的常数 T ，使得定义域内的_ 一般地，对于函数x值，都满足f xT)_这个函数的周期。如果一个周期函数，那么函数 f x 称为周期函数，_常数

21、T 叫做f x 的所有的周期中存在一个 _的_数，那么这个数叫做函数 f x 的最小周期正周期。如没有特别说明， 遇到的周期都指最小正周期。点评 非零常数 T 是周期函数本身固有的性质，与自变量 x的取值无关； 若非零常数 T 是函数 f x 的周期，则非零常数 T 的非零整数倍（nT，n Z，且 n 0) 也是函数f x 的周期；若函数 f x 的周期为 T ，则函数 y Af ( x )（其中 A ，为常数，且 A 0，0 ）的周期为 T；定义中的等式 f x T ) f x 是恒等式；函| |数 f x 的周期是 T f ( x T ) f ( ) x 。三角函数的周期ysinx:T2；

22、ycosx:T2；ytanx:T；yAsin(x),yAcos(x):T|2|；ytanx:T|；函数周期的判定定义法（试值）图像法公式法（利用（2）中结论）结论法。a 。与周期有关的一些结论f(xa)f(xa)或f(x2a)f(x)(a0 )f( x)的周期为2a；f x 是偶函数 , 其图像又关于直线xa 对称f x 的周期为 2 |a ；f x 奇函数 , 其图像又关于直线xa对称f x 的周期为 4|a ；f x 关于点 ( ,0), ( ,0)(ab 对称f x 的周期为 2|ab ；f x 的图象关于直线xa ,xb ab 对称函数f x 的周期为 2 |ab ；f x 的图象关于

23、点(a,0)中心对称，直线xb轴对称f(x)周期为 4ab；f x 对 xR 时,f xa)f x 或f xa)1f x 的周期为 2|a ；f x ( )函数f x 满足f xa )1f x ( )，且 a为非零常数f x 的周期为 4|a ；1f x ( )函数f x 满足fx2 afxafx （ a 为非零常数）f( ) x 的周期 6|点评注意对称性与周期性的关系。4. 对称性函数的对称性是研究函数图象的结构特点（即函数图象关于某一点成中心对称图形或关于某一条直线成轴对称图形）；函数对称性的定义如果函数 y f x 的图象关于直线 x a成_对称或点 ( a，b ) 成_对称，那么y

24、f x 具有对称性。注意 利用函数的对称性可以把研究整个函数问题转化到一半区间上，简化问题。函数图象对称性的证明证明函数yf x 图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；与对称性性有关的一些结论f ax 。特别地，当函数yf x 的图象关于直线xa 成轴对称f ax)a0时，函数yf( ) x 为偶函数。)f ax)2b。特别函数yf x 的图象关于点(a，b )成中心对称f ax地，当a0且b0时，函数yf x 为奇函数。f x 图像关于直线点评函数奇偶性是函数对称性的特殊情况。若yf x 对 xR时,f ax )f bx 恒成立 , 则yxa2b对称；函数

25、ybxkak0的图象关于点a，b中心对称。5. 有界性函数的有界性是研究函数图象在平面直角坐标系中的上下界情况，重点是通过研究函数的最大（小）值（值域）来研究有界性问题。函数最大（小）值的定义一般地，设函数 y f x 的定义域为 A如果存在 0 x A ，使得对于 _的 x A，都有 f x _ f x 0 )，那么称 f x 0 ) 为 y f x 的最大值，记为 _；如果存在0 x A ，使得对于 _的 x A，都有 f x _ f x 0 )，那么称 f x 0 ) 为 y f x 的最小值，记为 _. 注意 函数最大（小）值应该是某一个函数值；函数最大（小）值应该是所有函数值 中最大

26、（小）的，最大（小）值不同于极大（小）值。值域与最值注意函数的最值与函数的值域的区别和联系，与函数最值有关的几个结论理解值域和最值是考察函数的有界性问题。若函数yf x 在区间 a，b上为单调增函数，则y minf a ，y maxf b ；若函数yf x 在区间 a，b上为单调减函数，则y minf b ，y maxf a ；若函数yf x 在区间 a，c上为单调增函数，在区间c，b上为单调减函数，则上为单调减函数，在区间y maxf c ；f x 在区间 a，cc，b上为单调增函数，则若函数yy minf c 。恒成立问题的处理方法恒成立问题的处理方法：分离参数法 ( 最值法 ) ；转化为

27、一元二次方程根的分布问题。如：方程 k f x 有解 k D ( D 为 f x 的值域 )；不等式 a f x 恒成立 a f x ( ) 最大值, 不等式 a f x 恒成立 a f x ( ) 最小值。 6. 极值函数的极值是研究函数在其定义域内的某一局部上的性质。这与函数的最值所研究的问题角度有所不同。极值的定义设函数yf x 在x)x 及其附近有定义， 如果f x 0)的值比x 附近的所有各点的函数值都大（小），则称f x 0是函数yf x 的一个极大（小）值。极大值和极小值统称为极值。取得极值的点称为函数的极值点，极值点是自变量的取值，极值是指函数值。极值的求法图像法；导数法。 7

28、.零点与不动点yf( ) x 的值为 _的实数 x 称为函数yf x 的零7.1 函数的零点定义一般地，我们把使函数点. 点评函数 y f x 的零点就是方程 f ( ) 0 的实数根。从图象上看，函数 y f x 的零点，就是它的图象与 x轴交点的横坐标。利用函数的零点、方程的根、函数的图象与 x 轴交点的横坐标这三者之间的联系，可以解决很多函数与方程的问题。这就是高考的热点内容函数与方程的思想运用。函数零点的存在性一般地，若函数yf x 在区间 a，b上的图象是一条连续不间断的曲线，且f a ( )f b _，则至少存在一个实数c(a，b )，使得f c ( )0，此时实数 c 为函数yf

29、 x 的零点 . 点评若函数yf x 在区间 a，b上的图象是一条连续不间断的单调曲线，且f a ( )f b ( ) 0，则有惟一的实数c(a，b )，使得f c ( )0。7.2 不动点方程 f x ( ) x 的根叫做函数 y f x 的不动点，也是函数 y f x ( ) x 的零点。7.3 函数、方程与不等式三者之间的关系一般地，不等式 f x ( ) 0 的解集为函数 y f ( ) x 的图象在 x 轴上方部分的点的横坐标组成的集合；不等式 f x ( ) 0 的解集为函数 y f x 的图象在 x 轴下方部分的点的横坐标组成的集合；点评可求不等式f x ( )0或f x ( )

30、0的解集； 利用函数图利用函数图象并结合函数的零点，象并结合相应方程的解，可求不等式f x ( )g x 或f x ( )g x 的解集等；74 基本方法 求函数零点和不动点的方法直接法（通过解方程（组）；图像法；二分法。点评 注意函数上述几大性质相互之间的联系。三基本初等函数的图像与性质1. 指数函数（1）根式的概念na 叫做根式，这里 n 叫做根指数， a 叫做被开方数当 n 为奇数时， a 为任意实数；当 n 为偶数时，a0nan|a|aa ( a0)根式的性质： (n a)na；当n为奇数时，nana；当n为偶数时， ( a0) （ 2）分数指数幂的概念mN,且n1)0 的正分数指数幂

31、等于0正数的正分数指数幂的意义是：annam(a0,m n正数的负分数指数幂的意义是：am1 ( )amn1 m( ) (anna0,m nN,且n1) 0 的负分数指数幂没有意义注意口诀： 底数取倒数，指数取相反数（ 3）分数指数幂的运算性质(r as aars(a0,0, , r sR )( ar)srs a(a0, , r sR )ab )rbr ra b a0,rR )（ 4）指数函数函数名称yay1函数yx a(a指数函数1)叫做指数函数ay1定义0且aax0yax图象y1y1(0,1)(0,1)定义域OxROx值域过定点奇偶性 单调性函数值的 变化情况a变化对 图象的影 响（ 0,

32、+ ）图象过定点（ 0,1 ），即当 x=0 时， y=1非奇非偶在 R 上是增函数在 R 上是减函数y1(x 0), y=1(x=0), 0y1(x 0) y 1(x 0), y=1(x=0), 0y1(x 0)在第一象限内， a 越大图象越高，越靠近 在第二象限内， a 越大图象越低，越靠近y 轴；在第一象限内， a 越小图象越高，越靠近 在第二象限内， a 越小图象越低，越靠近y 轴；x 轴x 轴2. 对数函数（1）对数的定义若axN a0, 且a1)，则 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作xlogaN ，其中 a 叫做底数，N 叫做真数对数式与指数式的互化：x log a N a

33、xN a 0, a 1, N 0)（ 2）常用对数与自然对数：常用对数：lg N，即 log 10 N ；自然对数：ln N ，即 log e N （其中e 2.71828 , ） （ 3）几个重要的对数恒等式 : log 1 a 0， log aa 1， log aa bb（ 4）对数的运算性质 如果 a 0, a 1, M 0, N 0，那么M加法： log a M log a N log ( a MN ) 减法：log a M log a N log aN数乘：n log a M log a M n ( n R ) a log a N N log a b M n n log a M b

34、0, n R ) 换 底 公 式：blog a N log b N ( b 0, 且 b 1)log b a（ 5）对数函数函数名称a函数yloga对数函数1)叫做对数函数a1定义x a0且a图象10yx1ylog axyx1ylogax(1,0)定义域O(1, 0)x(0,)Ox值域图Rx 轴过定点图象过定点 (1,0) ，即当x1时，y0奇偶性非奇非偶单调性在 (0,)上是增函数在 (0,)上是减函数函数值的logax0 (x1)logax0 (x1)logax0 (x1)logax0 (x1)变化情况a 变化对logax0 (0 x1)logax0 (0 x1)在第一象限内， a 越大图象越靠低，越靠近x 轴在第一象限内， a 越小图象越靠低，越靠近在第四象限内， a 越大图象越靠高，越靠近y 轴在第四象限内， a 越小图象越靠高，越靠近y 轴象的影响(6) 反函数的求法确定反函数的定义域，即y原函数的值域 ；从原函数式yf x ( )中反解出xf1( )；将xf1( ) y 改写成f1( ) x ，并注明反函数的定义域（7）反函数的性质原函数yf x与反函数yf1( ) x 的 图象关于直线yx 对称即， 若P a b 在原函数y在反函数yf1( ) x 的图象上f x 的图象上，则P b a ( , )函数yf