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1、难题解题示范1已知函数,aR(1)若对任意,都有恒成立,求a的取值范围;(2)设若P是曲线y=F(x)上异于原点O的任意一点,在曲线y=F(x)上总存在另一点Q,使得POQ中的POQ为钝角,且PQ的中点在轴上,求a的取值范围解:(1)由,得由于,且等号不能同时取得,所以从而恒成立, 4分设求导,得6分,从而,在上为增函数所以,所以8分(2)设为曲线上的任意一点假设曲线上存在一点,使POQ为钝角,则10分若t-1,=由于恒成立, 当t=1时,恒成立当t1时,恒成立由于,所以a0. 12分若,则=,对,恒成立 14分 当t1时,同可得a0综上所述,a的取值范围是 16分2.已知,是方程x2x1=0
2、的两个根,且数列an,bn满足a1=1,a2=,an+2=an+1+an,bn=an+1an(nN*). (1)求b2a2的值; (2)证明:数列bn是等比数列; (3)设c1=1,c2=-1,cn+2+cn+1=cn(nN*),证明:当n3时,an=(-1)n1(cn-2+cn)解:因为,是方程x2x1=0的两个根,所以+=1,=-1,2=+1. (1)由b2= a3a2= a1+a2a2=1+ a2=2+ a2,得b2a2=2. 4分 (2)因为 eq f(bn+1,bn)= eq f(an+2an+1, an+1an)= eq f(an+1+anan+1, an+1an)= eq f(1
3、)an+1+an, an+1an)= eq f(an+1+an, an+1an)= eq f(an+1an, an+1an)=, 8分 又b1= a2a1=0,所以bn是首项为,公比为的等比数列 10分 (3)由(2)可知 an+1an=()n1 同理, an+1an=(anan-1)又a2a1=0,于是an+1an=0 由,得 an= n1.13分下面我们只要证明:n3时, (-1) n1(cn-2+cn)= n1因为 eq f(-1)n(cn-1+cn+1), (-1)n-1(cn-2+cn)= eq f(cn-1cn+cn-1, cn-2+cn)= eq f(cn-1cn, cn-2+cn)= eq f(cn-2cncn, cn-2+cn)= eq f(cn-2(1+)cn, cn-2+cn)= eq f(cn-22cn, cn-2+cn)=又c1=1,c2=-1,c3=2,则当n=3时,(-1)2(c1+c3)= (+2)=1+=2,所以(-1) n1 (cn-2+cn)是以2为首项,为公比的等比数列 (-1)
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