复变函数课件：chapter3 复变函数的积分

1、第三章 复变函数的积分2光滑曲线: 由有限条光滑曲线依次相接成的曲线称为逐段光滑曲线.特点 (1) 各点都有切向量. (2) 可求弧长.复变函数的积分 1 柯西定理3闭曲线正向: 当曲线上的点P沿此方向前进时, 曲线所围的区域总在P点的左侧. 曲线方向:正方向指从起点到终点的方向.终点到起点的方向就是曲线C的负向,记为C-41. 函数在曲线上的积分:分割 取点 作和 求极限5说明:62 . 积分的本质7在形式上可以看成是81. 必要条件2. 充分条件 定理 如果f(z)=u(x,y)+iv(x,y)沿曲线C连续，则f(z)沿C可积，且9例1 设C表示连接点 a及b任一曲线,证明:证:(1) f

2、(z)=1 10(2) f(z)=z，由于f(z)连续,上式极限存在，与点的选取无关.两式相加,得参数计算法设C的参数方程为:z(t)=x(t)+iy(t) t 12复积分的性质13例1 解14这两个积分都与路线C 无关15例2 解(1) 积分路径的参数方程为y=x16(2) 积分路径的参数方程为y=x17y=x(3) 积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为1到1+i直线段的参数方程为18例3 解积分路径的参数方程为19例4 解积分路径的参数方程为20例5解这两个积分都为第二类曲线积分几个引理23格林公式:24柯西积分定理该定理的主要部分是Cauchy于1825年建立；是整个复变函数

3、理论的基础. 引理1 设 f (z) 是单连通区域 D 上的解析函数，设 C 是 D 内的一个多边形的边界，则 证明：首先证明 C 是 三角形的边界的情形. 设 下面证明M=0.所以至少有一项不小于 . 不妨假设： 下面对 再继续分割为更小的四个三角形，则其中至少有一个三角形 满足：把这种作法一直做下去，得到一列三角形： 设 的周长为U, 于是 的周长为 .证证毕. 引理2 设 f (z) 是凸区域 D 上的解析函数，则 f(z) 在 D 内有原函数. 证明： 引理3 设 f (z) 是区域 D 上的连续函数，且 f (z) 在 D 内有原函数 F (z) . 如果 a,b为区域 D内两点，

4、曲线C 为连接a,b 的曲线，则 证明：柯西积分定理的证明：37推论38定理证利用导数的定义来证.定理39由于积分与路线无关,40证毕.41(1) 积分与路径无关,定理(1) f(z)在D内积分与路径无关,在上述证明过程中只用到了两个性质:例1解根据柯西定理, 有例2解46多连通区域的柯西定理47证明思路A1A2A3A448解例14950例2 解圆环域的边界构成一条复闭路,根据多连通区域的柯西定理,例3解 解：令 ，则从而因为所以 2 柯西公式55问题的提出:由多连通区域的Cauchy定理： 该积分值不随闭曲线 C 的变化而改变. 如何求这个值？57一、Cauchy积分公式Cauchy积分公式 60例1解由Cauchy积分公式61例2解由Cauchy积分公式62例3解63根据Cauchy积分公式根据Cauchy定理64例4解由Cauchy积分公式65例 5 下列的推导是否正确？如果不正确，将它改正： 66正确解法:Cauchy积分公式68平均值定理Cauchy积分公式:二、解析函数的高阶导数Cauchy公式证明： 现在来估计以上积分. 77例1计算积分解：由高阶导数公式78例 2解由Cauchy定理得由Cauchy积分公式得79由Cauchy高阶导数公式得80例3解82于是83小结柯西定理柯