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文档简介

1、3.2 ARMA过程1一、定义：若离散随机过程x(n)服从差分方程式中e(n)是一离散白噪声，则称x(n)为ARMA过程。而上式所示差分方程称为ARMA模型（自回归滑动平均模型）。系数ai和bi分别称为自回归参数(AR)和滑动平均参数(MA)，而p和q分别叫做AR阶数和MA阶数。 具有AR阶数p和MA阶数q的ARMA过程用符号ARMA（p,q）简记之。2二、ARMA过程的两个特例ARMA过程还可以写成：A(z)x(n)=B(z)e(n),式中 A(z)=1+a1z-1+apz-p (AR多项式) B(z)=1+b1z-1+bqz-q (MA多项式)且： Zi是后向移位算子3(1)若B(z)=1

2、，则ARMA(p,q)过程可化为：x(n)+a1x(n-1)+apx(n-p)=e(n)这一过程为阶数为p的自回归过程，简记为AR(p)过程。(2)若A(z)=1,则ARMA(p,q)过程可化为：x(n)=e(n)+b1e(n-1)+bq(n-q)这一过程为阶数为q的滑动平均过程，简记为AR(q)过程。ARMA模型的传函为： A(z)x(n)=B(z)e(n)4三、ARMA过程的性质（1）因果性：定理3.2.1（充要条件）：令x(n)是一个A(z)和B(z)无公共零点的ARMA(p,q)过程则x(n)是因果的，当且仅当|z|1,有A(z)0。（2）可逆性：定义：若存在一个常数序列i,使得：其中定理3.2.2（充要条件）：当且仅当所有|z|1的复数z,恒有B(z)0,则x(n)是可逆的。5定理3.2.3：若对于所有|z|=1,有A(z)0,则ARMA过程具有唯一的平稳解：其中hi为Laurent级数：定理3.2.3（Wold分解定理）任何一个具有有限方差的ARMA或MA过程都可以表示成唯一的，阶数有可能无穷大的AR过

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