八年级数学期中复习与考前模拟华东师大版知识精讲

1、13/13初二数学期中复习与考前模拟华东师大版一. 教学内容：期中复习与考前模拟复习内容：分式、函数与其图象二. 教学重点、难点： 1. 重点：分式的概念，分式的值为零的条件；会利用分式的基本性质进行通分和约分；分式方程的概念，会用科学记数法表示绝对值小于1的数；分清常量与变量、自变量与函数的概念，会确定函数自变量的取值范围；初步认识函数的图象，会用列表法、图象法、解析法表示函数关系式，会通过列表、描点、连线画出简单的函数图象 2. 难点：分式的加、减、乘、除与混合运算；可化为一元一次方程的分式方程的解法与其运用；一次函数与反比例函数图象的性质与其实际应用；用待定系数法求一次函数与反比例函数的

2、解析式，从图表中获取数学信息从而解决实际问题三. 知识梳理：（一）分式1. 分式的基本概念形如（A、B是整式，且B中含有字母，B0）的式子叫做分式最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式有理式：整式和分式统称为有理式说明：要使分式有意义，必须保证分母不为02. 分式的基本性质基本性质：分式的分子或分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变用符号表示为：（M是整式，M0） 应用： = 1 * GB3 分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分 = 2 * GB3 分式的通分：把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母的分式叫做分式的通分 = 3 *

3、 GB3 分式的值为零：分式的值为零是指分式的分子为零且分母不等于零 = 4 * GB3 分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变3. 分式的运算法则乘法：；除法：；乘方：（n为正整数）；加减法：混合运算：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里的注意：分式的运算结果应是最简分式或整式4. 解分式方程的一般步骤去分母，将分式方程化为整式方程 解这个整式方程验根，把整式方程的根代入最简公分母中，若值不为零，则是原方程的根，若值为零，则是原方程的增根，原方程无解注意：解分式方程一定要验根5. 分式方程的应用 分式方程应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是

4、要注意检验：检验所求的解是否是方程的解检验所求的解是否符合题意（二）函数与其图象1. 平面直角坐标系平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴，构成平面直角坐标系，该平面就是坐标平面坐标平面内的任意一点与有序实数对（x，y）是一一对应的2. 特殊点的坐标的特征：设点P（ x，y）各象限内的点坐标轴上的点：x轴上的点，y0y轴上的点，x0关于原点和坐标轴对称的点的坐标：（a，b）关于x轴对称的点；关于y轴对称的点；关于原点对称的点只要记住一句话即可：关于什么轴对称什么轴的坐标就不变关于原点对称的点两坐标都要改变3. 函数的概念常量与变量：在某问题的研究过程中，可以取不同数值的量，叫做变量数值保持不变的

5、量，叫做常量函数：设在某个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x（在取值范围内）的每一值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数4. 函数自变量的取值范围的确定使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做函数的自变量的取值范围确定自变量的取值范围的方法：自变量的取值应使函数解析式有意义当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数当自变量是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数当解析式是偶次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于0的实数自变量取值应使实际问题有意义5. 函数的表示法解析法：最常见的表达形式，表达简洁用解析法表示函数时，确定自变量的取值范围应使解析式有意义列表

6、法：不常用的表达形式，关系明确图象法：常见的表达形式，直观形象在解决一些与函数有关的应用题时，有时可以通过数形结合的方法来解决6.画函数图象的一般步骤：对于一个函数，如果把自变量x和函数y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出相应的点，这些点组成的图形就是这个函数的图象根据函数的解析式，用描点法画出函数的图象，一般可分为三个步骤：列表描点连线7.一次函数的定义：一次函数：如果ykxb （k，b是常数，k0），那么y叫做x的一次函数正比例函数：当b0时，一次函数ykxb就成了ykx（k是常数且 k0），这时y叫做x的正比例函数（或称y与x成正比例）8.一次函数的图象：一次函数的

7、图象特征：一次函数ykxb （k，b是常数，k0）的图象是经过点和点（0，b）的一条直线正比例函数ykx （k是常数，k0）的图象是经过点（0，0）和（1，k）的一条直线一次函数图象的性质：k0时，y随x的增大而增大； k0时，反比例函数的图象分布在一三两个象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；k0时，反比例函数的图象分布在二四两个象限，在每一象限内，y随x的增大而增大12. 反比例函数y （k0）中k的意义过双曲线y（k0）上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为k如果已知双曲线上一点的坐标（a，b），则kab13. 反比例函数的应用反比例函数解析式的确定仍是待定系数法，因只有一个待定系

8、数，所以只需要一个点的坐标即可反比例函数经常与一次函数、图形的面积等知识相结合典型例题例1. 如果分式的值为零，那么x等于（ ）A. 1 B. 1 C. 1或1 D. 1或2分析：要求分式值为零应该考虑两个条件：分式的分子为零；分式的分母不为零在做题时一定要注意检验分母的值是否为零解： 当x10，即x1时，分式的分子为零，但当x1时，分式的分母为零，分式无意义，所以x1选A例2. 若方程有增根，则它的增根是（ ）A. 0 B. 1 C. 1 D. 1和1 分析：本题应直接由增根的定义得出答案，而不是化为整式方程来求解，而且即使化为整式方程也不能得到方程的根，因为方程中有未知系数m解：由增根的定

9、义可知，使得最简公分母的值为零的即是原分式方程的增根，所以本增根应为1和1选D例3. 某市为处理污水需要铺设一条长为4000米的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成任务设原计划每天铺设管道x米，则可得方程（ ） A. B. C. D.分析：做应用题，要注意分析的方法，我们建议用一个简单的表格来分析（平时做题打草稿时不用画表格线），把未知数、已知数、要表达的关系式分别表示出来例如本题可表示为：原来后来V（速度）xx10T（时间）S（工作量）40004000然后由时间关系得到即，借助表格分析的好处就是搭起了一个未知和已知之间的桥梁解：设原

10、计划每天铺设管道x米，则后来每天铺设管道（x10）米原计划时间为：，后来所用的时间为：后来所用时间原计划时间20，即原时间后来时间20所以正确方程为选项D例4. 先化简，再求值：（），其中x2005分析：分式的化简求值题，只要掌握好相关运算法则就不难解决解：按照分式的运算法则进行运算：原式例5. 函数中，自变量x的取值范围是（ ）A、x2B、x2C、x2D、x2解：自变量的取值应该使解析式有意义，所以由分母x20得x2，选择C点拨：中考试题中考查自变量的取值范围的较常见，考虑问题时要全面常见的为分式、二次根式的形式如：需考虑得例6.点M（1，2）关于x轴对称点的坐标为 （ ） A. （1，2）

11、 B. （1，2） C. （1，2） D. （2，1）分析：关于什么轴对称，什么轴的坐标就不变；关于原点对称横坐标纵坐标都要改变解：关于x轴对称，则横坐标不变，对称点的坐标为（1，2），选C例7. 已知直线，当时，直线不经过 （ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限分析：本题直接通过画图来得到答案，当时，正比例函数yx向下移动，如图所示，注意不要因为是b就认为向上，要注意所给的条件为解：通过画图来直接观察可得，直线不经过第二象限选B例8. 一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的长度为y（cm）与燃烧时间x（小时）的函数关系用图象表示为下图中的（）分析：做

12、这样的题目要注意题目的实际意义，蜡烛4小时后就燃烧完了，它其实是一个分段的函数，函数的图象是一条线段，不是一条直线蜡烛长20cm，每小时燃烧5cm，所以应该是4小时燃烧完，燃烧时间x的取值范围应该是0 x4，且蜡烛是越来越短直到4小时后烧完为止解：选B 例9.我市某出租车公司收费标准如图所示，如果小明只有19元钱，那么他乘此出租车最远能到达_公里处解析：由图可知，出租车的起步价为5元，3公里后按路程计费，它是一次函数的关系，由待定系数法可得函数的解析式为y1.4x0.8（x3），表示3公里后每公里的价格为1.4元，去掉起步价5元，还有14元，所以小明最多能到达31013公里处点拨：一次函数的k

13、值可以看成是斜坡的坡比，k竖直水平，这样可以快速得到k1.4，即3公里后每公里为1.4元不能用1.4 x0.8519来解例10.如图，l1表示神风摩托车厂一天的销售收入与摩托车销售量的关系；l2表示摩托车厂一天的销售成本与销售量的关系写出销售收入与销售量之间的函数关系式；写出销售成本与销售量之间的函数关系式；当一天的销售量为多少辆时，销售收入等于销售成本；当一天的销售超过多少辆时，工厂才能获利？（利润收入成本）分析：用待定系数法可求出一次函数的解析式，直线的交点为函数值相等的点解：正比例函数经过了点（4，4）解析式为yx设直线过（0，2）、（4，4）两点又由图象知，当时，销售收入等于销售成本或

14、由图象知：当时，工厂才能获利或时，即时，才能获利例11.若函数是反比例函数，则m的值等于（）A. 1B. 1C. D. 1分析：一次函数的另一种表达形式为解决本题要注意考虑常数k0这个条件，否则就会错误地选择A了解：由反比例函数的定义可知，可得，解得m1，选D例12. 一矩形的面积是8，则这个矩形的一组邻边长y与x的函数关系的图象大致是（ ）oxyOyxOxyxyOABCD解析：根据题意可得xy8，所以所求的解析式为：（x0），这是一个反比例函数，自变量x 的取值范围为x0，所以选D思维诊断：这里要先判断出所求函数解析式，还要根据问题的实际意义加上x的取值范围，不能忽略范围而选择了C例13.

15、已知点A（2，y1）、B（1，y2）、C（3，y3）都在反比例函数的图象上，则（ ） A.y1y2y3 B. y3y2y1 C. y3y1y2 D. y2y110）与付款金额 y（元）之间的关系式_二. 仔细选一选（每题3分，共24分）. 下列各式中，属于分式的是（）A. B. C. xyD. 2. 如果分式中的 x 和y都扩大为原来的 2 倍，那么分式的值（）A. 扩大2倍 B. 扩大4倍 C. 不变 D. 缩小2倍3. 点P（a，a2）在第四象限，则 a 的取值范围是（） A. 2a0 B. 0a2 C. a2D. a04. 在函数 y3x2，y3，y2x，yx27中是正比例函数的有（）

16、A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个5. 王大爷饭后出去散步，从家中走 20 分钟到一个离家 900 米的公园，与朋友聊天10分钟后，然后用15分钟返回家里下面图形表示王大爷离家的时间与外出距离之间的关系是（）9002040 x （分）y （米）9002040 x （分）y （米）9002040 x （分）y （米）9002040 x （分）y （米）A.B.C.D.6 . 关于函数，下列结论正确的是 （ ）A. 图象必经过点（2，1） B. 图象经过第一、二、三象限C. 当时， D. 随的增大而增大7. 一件工程甲单独做a小时完成，乙单独做b小时完成，甲、乙二人合作完成此项工作需要的小时

17、数是 （ ）A. ab B. C. D. 8. 纳米是一种长度单位，1纳米109米，已知某种植物花粉的直径约为35000纳米，那么用科学记数法表示该种花粉的直径为 （ ）米A. 3.5104 B. 35106 C. 3.5109 D. 3.5105三. 认真解一解（共56分）1. 化简（每题4分，共8分）2. 先化简，再求值：（5分） 其中 3. 解方程（每题5分，共10分）；4. 一次函数 ykxb 的图象经过点 A（3，3）和点B，其中点B是直线yx2 与x轴的交点，求函数的解析式（本题5分）5. （本题5分）甲、乙两地相距135千米，大小两辆汽车从甲地开往乙地，大汽车比小汽车早出发4小时

18、，小汽车比大汽车早到30分钟，小汽车和大汽车的速度之比为52，求两车的速度6. （本题5分）已知y3与x成正比例，且x2时，y7写出y与x之间的函数关系y与x之间是什么函数关系计算y4时x的值7. （10分）某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的湿泥地为了完全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木块，构筑成一条临时通道，木板对地面的压强p（Pa）是木板面积S（m2）的反比例函数，其图象如下图所示：请直接写出一函数表达式和自变量的取值范围；当木板面积为0.2m2时，压强是多少？如果要求压强不超过6000Pa，木板的面积至少要多大？8. （本题8分）小明受乌鸦喝水故事的启发，利用量筒和体积一样的小球进行了如下操作