2013年数学全真模拟试卷4（教师版）

1、PAGE PAGE 9启东市2013年数学全真模拟试卷四一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1 已知数集中有3个元素，则实数不能取的值构成的集合为 解：根据集合元素的互异性，且，所以实数不能取的值构成的集合为；2 在ABC中， AB1，AC，则 解 由正弦定理知，得，又，所以，故；3 解 ；4 豌豆的高矮性状的遗传由其一对基因决定，其中决定高的基因记为D，决定矮的基因记为d，则杂交所得第一子代的一对基因为Dd，若第二子代的D，d的基因遗传是等可能的（只要有基因D则其就是高茎，只有两个基因全是d时，才显示矮茎），则第二子代为高茎的概率为 解 第二

2、子代的一对基因的所有等可能情形为DD，Dd，dD，dd，其中高茎的有DD，Dd，dD共3 种，则所求概率为；5 蒸汽机飞轮的直径为1.2米，以320（转/分）的速度作逆时针旋转，则飞轮上一点1秒内所经过的路程为 米解 飞轮上一点1秒内所经过的路程为；6 在平面直角坐标系xOy中，已知向量，则 解：由，得，所以；7 在一本书中，分组统计100个句子中的字数，得出下列结果：字数15个的5句，字数610个的27句，字数1115个的32句，字数1620个的21句，字数2125个的9句，字数2630个的6句利用组中值可估计该书中平均每个句子所包含的字数为 14 解 利用组中值得平均每个句子所包含的字数为

3、；8 在ABC中，若1，则 1 解：由及得，；9 下面的流程图中，能实现数据A，B互相交换的有 = 1 * GB3 = 2 * GB3 = 3 * GB3 （把符合条件的图形序号全填上）AA+BBA-BAA-B输入A，B输出A，B结束开始结束CAABBC输入A，B输出A，B开始AA-BBA+BAB-A输入A，B输出A，B开始结束解：易得 = 1 * GB3 符合题意；对于 = 2 * GB3 ：因为，所以，进而 ，符合题意；同理可得 = 3 * GB3 符合题意；10已知为正实数，满足，则的最小值为 解 因为为正实数，所以，解得（当且仅当时等号 成立）11已知存在实数，满足对任意的实数，直线都

4、不是曲线的切线，则实数的取值范围是 解：易得解无实数，即解无实数，所以；12已知某四面体的六条棱长分别为，则两条较长棱所在直线所成角的余弦值为 不可能为两异面直线的长，这是可以反证的（假设为异面直线的长，则会出现六条棱共面的情形，这与假设矛盾）故根据余弦定理得较长棱所在直线所成角的余弦值为；13在平面直角坐标系xOy中，直线与椭圆交于两点、，且，分别为椭圆的左、右顶点，则直线与的交点所在的曲线方程为 解 直线的方程为，的方程为，两式左右分别相乘得，因为点、在椭圆上，所以， ，即，又，所以，代入 得；14在平面直角坐标系xOy中，过原点O的直线与函数的图象交于A、B两点（A在B的左侧），分别过A

5、、B作y轴的平行线分别与函数的图象交于C、D两点，若BC/x轴，则四边形ABCD的面积为 解：设， 则， 因为BC/x轴，所以， 即， 又A、B、O三点共线，故， 由得， 故四边形ABCD的面积为二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤15（本题满分14分）已知函数（其中的图象与轴 的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为（1）求的解析式； （2）当时，求的最大值及相应的的值 15命题立意：本题主要考查三角函数的图像与性质，考查运算求解的能力解：（1）由题意得，周期，得，（4分） 此时， 将代入上式得， 即， 解得

6、， 所以；（8分） （2）因为， 所以，（10分） 所以，当且仅当，即时， 即有的最大值为2（14分）（第16题图）EABCDF16（本题满分14分）如图，在四面体ABCD中，点E是BC的中点，点F在线段AC上，且（1）若EF平面ABD，求实数的值； （2）求证：平面BCD平面AED命题立意：本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象与推理论证能力解：（1）因为EF平面ABD，易得平面ABC， 平面ABC平面ABD， 所以，（5分）又点E是BC的中点，点F在线段AC上，所以点F为AC的中点， 由得；（7分）（2）因为，点E是BC的中点，所以，（9分） 又，平面AED，所以平面A

7、ED，（12分） 而平面BCD，所以平面BCD平面AED（14分）17（本题满分15分）（第17题图）请你为某养路处设计一个用于储藏食盐的仓库（供融化高速公路上的积雪之 用）它的上部是底面圆半径为5m的圆锥，下部是底面圆半径为5m的圆柱，且该仓库的总高度 为5m经过预算，制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单价分别为400元/、100元/， 问当圆锥的高度为多少时，该仓库的侧面总造价（单位：元）最少？命题立意：本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力，考查运算求解能力解：（法一）设圆锥母线与底面所成角为，且，（2分）则该仓库的侧面总造价，（8分） 由得，即，（13分） 经检验得，当时，侧面总造

8、价最小，此时圆锥的高度为m（15分）（法二）设圆锥的高为m，且，（2分）则该仓库的侧面总造价 ，（8分） 由得，（13分） 经检验得，当时，侧面总造价最小，此时圆锥的高度为m（15分）EFCxyABO（第18题）18（本题满分15分）在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，右顶点为，直线过原点，且点在x轴上方，直线与分别交直线：于点、.（1）若点，求ABC的面积；（2）若点为动点，设直线与的斜率分别为、. 试探究：是否为定值？若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由； 求AEF的面积的最小值.命题立意：本题主要考查直线的方程、椭圆的方程及其简单性质等基础知识，考查灵活运用数形结合、化归与转化思想进

9、行运算求解、推理论证的能力解：（1）由题意得 解得，（3分） 则ABC的面积；（5分） （2） 为定值，下证之：证明：设，则，且，而 由（1）得， 所以；（10分） 易得直线的方程为， 直线的方程为， 令得， 则AEF的面积，（13分） 因为点在x轴上方，所以， 由得（当且仅当时等号成立） 所以，AEF的面积的最小值为.（15分）19（本题满分16分）已知等比数列的首项为，公比为，且， （1）求数列的通项公式；（2）若从数列中依次抽取的一个无穷等比数列，满足其所有项的和落在区间内，试 求出所有这样的等比数列（参考公式：首项为a1，公比为q（0|q|1）的无穷等比数列的各项的和.）命题立意：本题

10、主要考查等比数列的通项公式与求和公式等基础知识，考查灵活运用基本量、 有限与无限的数学思想进行运算求解、探索分析的综合能力. 解：（1）因为， 所以，（2分） ， 解得， 又，所以，（4分） 此时，；（6分） （2）设无穷等比子列的首项为，公比为，且， 则其所有项和，（9分） 即， 故， 所以，（12分） 此时， 所以，（14分） 所有满足题意的等比子列是以为首项，（）为公比的等比数列（16分）20（本题满分16分）定义在正实数集上的函数满足下列条件： 存在常数，使得； 对任意实数，当时，恒有（1）求证：对于任意正实数，；（2）证明：在上是单调减函数； （3）若不等式恒成立，求实数的取值范围命

11、题立意：本题主要考查指数函数、对数函数以及抽象函数的性质等，考查灵活运用函数性质进行探索求解、推理论证的综合能力解：（1）证明：令，则，所以，即证；（5分）（2）证明：设，则必，满足，而即，所以在上是单调减函数.（10分）（3）令，则，故，即，所以，又，故（15分） 试题（附加题）21 B（矩阵与变换）已知矩阵的逆矩阵，求矩阵命题立意：本题主要考查二阶矩阵的逆矩阵，考查运算求解能力解：设，则由得，(5分) 解得所以.(10分)C（极坐标与参数方程）在平面直角坐标系xOy中，过椭圆在第一象限处的一点分别作轴、轴的两条垂线，垂足分别为，求矩形周长最大值时点的坐标命题立意：本题主要考查椭圆的参数方程

12、的应用，考查运算求解能力解：设（为参数），(4分) 则矩形周长为，(8分) 所以，当时，矩形周长取最大值4，此时，点.(10分)22如图，正四棱柱中，点在棱上，且（1）求的长； （2）求钝二面角的大小命题立意：本题主要考查空间向量的应用，考查运算求解能力（第22题图）解：（1）如图，以点为原点，分别为轴 建立空间直角坐标系， 则， 设，其中， 因为，所以， 即，得， 此时，即有； （2）易得平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则即 不妨取，则，即， 所以， 所以，钝二面角的大小为.(10分)23某品牌设计了编号依次为的n种不同款式的时装，由甲、乙两位 模特分别独立地从中随机选择种款式用来拍摄广告（1）若，且甲在1到为给定的正整数，且号中选择，乙在到号中选择记Pst为款式（编号）和同时被选中的概率，求所有的Pst的和；（2）求至少有一个款式为甲和乙共同认可的概率23命题立意：本题主要考查组合数的性质、二项式定理，考查推理论证能力解：（1）甲从1到为给定的正整数，且号中任选两款，乙从到号中 任选两款的所有等可能基本事件的种数为， 记“款式和同时被选中”为事件B，则