2022届山西省晋中市平遥县平遥高三下第一次测试数学试题含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷请考生注意：1请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用05毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2答题前，认真阅读答题纸上的注意事项，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1是恒成立的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2某几何体的三视图如图所示，若侧视图和俯视图均是边长为的等边三角形，则该几何体的体积为ABCD3已知函数的值域为，函数，则的图象的对称中心为（ ）ABCD4ABC

2、中，如果lgcosA=lgsinC-lgsinB=-lg2，则ABC的形状是（ ）A等边三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰直角三角形5过抛物线的焦点的直线交该抛物线于，两点，为坐标原点.若，则直线的斜率为( )ABCD6已知函数的导函数为，记，N. 若，则 （ ）ABCD7已知集合，集合，则等于（ ）ABCD8阿波罗尼斯（约公元前262190年）证明过这样的命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点，间的距离为2，动点与，的距离之比为，当，不共线时，的面积的最大值是（ ）ABCD9已知复数，则（ ）ABCD10函数的图象可能是（ ）ABCD11已

3、知实数x，y满足，则的最小值等于（ ）ABCD12已知平面向量，满足，且，则（ ）A3BCD5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）已知椭圆方程为，过其下焦点作斜率存在的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，则面积的取值范围是_14等边的边长为2，则在方向上的投影为_15在平面直角坐标系中，若双曲线（，）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为_.16从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名代表，甲被选中的概率为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）设实数满足.（1）若，求的取值范围；（2）若，求证：.18（12分）记函数的最小值为.（1）求的值

4、；（2）若正数，满足，证明：.19（12分）已知函数.（1）求函数f(x)的最小正周期；（2）求在上的最大值和最小值20（12分）已知函数.（1）设，若存在两个极值点，且，求证：；（2）设，在不单调，且恒成立，求的取值范围.（为自然对数的底数）.21（12分）设等差数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）求的前项和及使得最小的的值.22（10分）已知函数().（1）讨论的单调性；（2）若对，恒成立，求的取值范围.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1A【解析】设 成立；反之，满足 ，但，故选A.2C【解析】由三视图可知

5、，该几何体是三棱锥，底面是边长为的等边三角形，三棱锥的高为，所以该几何体的体积，故选C3B【解析】由值域为确定的值，得，利用对称中心列方程求解即可【详解】因为，又依题意知的值域为，所以 得，所以，令，得，则的图象的对称中心为.故选：B【点睛】本题考查三角函数 的图像及性质，考查函数的对称中心，重点考查值域的求解，易错点是对称中心纵坐标错写为04B【解析】化简得lgcosAlgsinCsinBlg2，即cosA=sinCsinB=12，结合0A， 可求A=3，得B+C=23代入sinC12sinB，从而可求C，B，进而可判断.【详解】由lgcosA=lgsinC-lgsinB=-lg2，可得lg

6、cosAlgsinCsinBlg2，cosA=sinCsinB=12，0A，A=3，B+C=23，sinC12sinB12sin23-C34cosC+14sinC，tanC33，C6，B2.故选：B【点睛】本题主要考查了对数的运算性质的应用，两角差的正弦公式的应用，解题的关键是灵活利用基本公式，属于基础题5D【解析】根据抛物线的定义，结合，求出的坐标，然后求出的斜率即可【详解】解：抛物线的焦点，准线方程为，设，则，故，此时，即则直线的斜率故选：D【点睛】本题考查了抛物线的定义，直线斜率公式，属于中档题6D【解析】通过计算，可得，最后计算可得结果.【详解】由题可知：所以所以猜想可知：由所以所以故

7、选：D【点睛】本题考查导数的计算以及不完全归纳法的应用，选择题、填空题可以使用取特殊值，归纳猜想等方法的使用，属中档题.7B【解析】求出中不等式的解集确定出集合，之后求得.【详解】由，所以，故选：B.【点睛】该题考查的是有关集合的运算的问题，涉及到的知识点有一元二次不等式的解法，集合的运算，属于基础题目.8A【解析】根据平面内两定点，间的距离为2，动点与，的距离之比为，利用直接法求得轨迹，然后利用数形结合求解.【详解】如图所示：设，则，化简得，当点到（轴）距离最大时，的面积最大，面积的最大值是.故选：A.【点睛】本题主要考查轨迹的求法和圆的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档

8、题.9B【解析】利用复数除法、加法运算，化简求得，再求得【详解】，故.故选：B【点睛】本小题主要考查复数的除法运算、加法运算，考查复数的模，属于基础题.10A【解析】先判断函数的奇偶性，以及该函数在区间上的函数值符号，结合排除法可得出正确选项.【详解】函数的定义域为，该函数为偶函数，排除B、D选项；当时，排除C选项.故选：A.【点睛】本题考查根据函数的解析式辨别函数的图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，结合排除法得出结果，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.11D【解析】设，去绝对值，根据余弦函数的性质即可求出【详解】因为实数，满足，设，恒成立，故则的最小值等

9、于.故选：【点睛】本题考查了椭圆的参数方程、三角函数的图象和性质，考查了运算能力和转化能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平12B【解析】先求出，再利用求出，再求.【详解】解：由，所以，故选：B【点睛】考查向量的数量积及向量模的运算，是基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解析】由题意，则，得由题意可设的方程为，联立方程组，消去得，恒成立，则，点到直线的距离为，则，又，则，当且仅当即时取等号故面积的取值范围是.14【解析】建立直角坐标系，结合向量的坐标运算求解在方向上的投影即可.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知：，则：，且，据此可知在方向上的投影为.

10、【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，向量投影的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15【解析】利用，解出，即可求出双曲线的渐近线方程.【详解】，且，该双曲线的渐近线方程为：.故答案为：.【点睛】本题考查了双曲线离心率与渐近线方程，考查了双曲线基本量的关系，考查了运算能力，属于基础题.16【解析】甲被选中,只需从乙、丙、丁、戊中,再选一人即有种方法,从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名共有种方法,根据公式即可求得概率.【详解】甲被选中,只需从乙、丙、丁、戊中,再选一人即有种方法, 从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名共有种方法,.故答案为:.【点睛】本题考查古典概型的概

11、率的计算,考查学生分析问题的能力,难度容易.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）（2）证明见解析【解析】（1）依题意可得，考虑到，则有再分类讨论可得；（2）要证明，即证，即证.利用基本不等式即可得证；【详解】解：（1）由及，得，考虑到，则有，它可化为或即或前者无解，后者的解集为，综上，的取值范围是.（2）要证明，即证，由，得，即证.因为（当且仅当，时取等号）.所以成立，故成立.【点睛】本题考查分类讨论法解绝对值不等式，基本不等式的应用，属于中档题.18（1）（2）证明见解析【解析】（1）将函数转化为分段函数或利用绝对值三角不等式进行求解；（2）利用基本不等式

12、或柯西不等式证明即可.【详解】解法一：（1）当时，当，当时，所以解法二：（1）如图当时，解法三：（1）当且仅当即时，等号成立.当时解法一：（2）由题意可知，因为，所以要证明不等式，只需证明，因为成立，所以原不等式成立.解法二：（2）因为，所以，又因为，所以，所以，原不等式得证.补充：解法三：（2）由题意可知，因为，所以要证明不等式，只需证明，由柯西不等式得：成立，所以原不等式成立.【点睛】本题主要考查了绝对值函数的最值求解，不等式的证明，绝对值三角不等式，基本不等式及柯西不等式的应用，考查了学生的逻辑推理和运算求解能力.19（1）；（2）见解析【解析】将函数解析式化简即可求出函数的最小正周期根

13、据正弦函数的图象和性质即可求出函数在定义域上的最大值和最小值【详解】（）由题意得 原式 的最小正周期为. （），. 当，即时，；当，即时， . 综上，得时，取得最小值为0；当时，取得最大值为.【点睛】本题主要考查了两角和与差的余弦公式展开，辅助角公式，三角函数的性质等，较为综合，也是常考题型，需要计算正确，属于基础题20（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）先求出，又由可判断出在上单调递减，故，令，记， 利用导数求出的最小值即可；（2）由在上不单调转化为在上有解，可得，令，分类讨论求的最大值，再求解即可.【详解】（1）已知，由可得， 又由,知在上单调递减，令，记，则在上单调递增；，在上单调递

14、增；，（2），在上不单调，在上有正有负，在上有解，恒成立，记，则，记，在上单调增，在上单调减. 于是知（i）当即时，恒成立，在上单调增，.（ii）当时，故不满足题意.综上所述，【点睛】本题主要考查了导数的综合应用，考查了分类讨论，转化与化归的思想，考查了学生的运算求解能力.21（1）（2）；时，取得最小值【解析】（1）设等差数列的公差为，由，结合已知，联立方程组，即可求得答案.（2）由（1）知，故可得，即可求得答案.【详解】（1）设等差数列的公差为，由及，得解得数列的通项公式为（2）由（1）知时，取得最小值.【点睛】本题解题关键是掌握等差数列通项公式和前项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.22（1）当时，在上单调递减，在上单调递增；当时， 在上单调递增；（2）.【解析】（1）求出函数的定义域和导函数， ，对讨论，得导函数的正负，得原函数的单调性；（2）法一: 由得，分别运用导函数得出函数()，的单调性，和其函数的最值，可得 ，可得的范围;法二:由得，化为令()，研究函数的单调性，可得的取值范围.【详解】（1）的定义域为，当时，由得，得， 在上单调递减，