一元二次方程根和系数关系

1、关于一元二次方程根与系数的关系第1页，共35页，2022年，5月20日，15点5分，星期四一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 的求根公式：x=(b2-4ac0)第2页，共35页，2022年，5月20日，15点5分，星期四（1）x2-7x+12=0(2)x2+3x-4=0(4) 2x2+3x-2=0解下列方程并完成填空：方程两根两根和X1+x2两根积x1x2x1x2x2-7x+12=0 x2+3x-4=03x2-4x+1=02x2+3x-2=0341271-3- 4- 4-1-2算一算：（3）3x2-4x+1=01第3页，共35页，2022年，5月20日，15点5分，星期四方程两根两根和

2、X1+x2两根积x1x2x1x2x2-7x+12=0 x2+3x-4=03x2-4x+1=02x2+3x-2=0-341271-3- 4- 4-1-21若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 的两根为x1、x2, 则 . . 第4页，共35页，2022年，5月20日，15点5分，星期四X1+x2=+=-X1x2=证明：设ax2+bx+c=0(a0)的两根为x1、x2,则第5页，共35页，2022年，5月20日，15点5分，星期四一元二次方程的根与系数的关系：如果方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根是x1 , x2 ,那么x1+x2= , x1x2 = -注：能用公式的前提条件为=b2

3、-4ac0在使用根与系数的关系时，应注意：不是一般式的要先化成一般式；在使用X1+X2= 时， 注意“ ”不要漏写。第6页，共35页，2022年，5月20日，15点5分，星期四如果方程x2+px+q=0的两根是X1 ，X2，那么X1+X2= , X1X2= .Pq 一元二次方程根与系数的关系是法国数学家“韦达”发现的,所以我们又称之为韦达定理.第7页，共35页，2022年，5月20日，15点5分，星期四说出下列各方程的两根之和与两根之积：(1) x2 - 2x - 1=0(3) 2x2 - 6x =0(4) 3x2 = 4(2) 2x2 - 3x + =0 x1+x2=2x1x2=-1x1+x

4、2=x1+x2=3x1+x2=0 x1x2=x1x2=0 x1x2= -说一说：第8页，共35页，2022年，5月20日，15点5分，星期四例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值.解法一：设方程的另一个根为x2.由根与系数的关系，得2 x2 = k+12 x2 = 3k解这方程组，得x2 =3 k =2答：方程的另一个根是3 , k的值是2.第9页，共35页，2022年，5月20日，15点5分，星期四例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。解法二：设方程的另一个根为x2.把x=2代入方程，得 4-2(k+1

5、)+3k=0解这方程，得 k= - 2由根与系数的关系，得2 x23k即2 x26 x2 3答：方程的另一个根是3 , k的值是2.第10页，共35页，2022年，5月20日，15点5分，星期四例2、方程2x2-3x+1=0的两根记作x1,x2， 不解方程，求： （1） ; （2) ; ; (4) .第11页，共35页，2022年，5月20日，15点5分，星期四另外几种常见的求值:第12页，共35页，2022年，5月20日，15点5分，星期四1、已知方程3x219x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。2、设x1,x2是方程2x24x3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值.解：

6、设方程的另一个根为x2,则x2+1= , x2= ,又x21= , m= 3x2 = 16 解：由根与系数的关系,得x1+x2= - 2 , x1 x2= (x1+1)(x2+1) = x1 x2 + (x1+x2)+1 =-2+( )+1=试一试：第13页，共35页，2022年，5月20日，15点5分，星期四411412则：第14页，共35页，2022年，5月20日，15点5分，星期四 求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.第15页，共35页，2022年，5月20日，15点5分，星期四 4.已知方程的两个实数根 是且 ， 求k的值.

7、解：由根与系数的关系得 x1+x2=-k， x1x2=k+2 又 x12+ x2 2 = 4 即(x1+ x2)2 -2x1x2=4 K2- 2(k+2）=4 K2-2k-8=0 = K2-4k-8当k=4时， =-80k=4(舍去）当k=-2时，=40 k=-2解得：k=4 或k=2探究：第16页，共35页，2022年，5月20日，15点5分，星期四6.已知关于x的方程x2+(2m-1)x+m2=0有两个实数根x1、x2.（1）求实数m的取值范围；（2）当x12-x22=0时，求m的值.第17页，共35页，2022年，5月20日，15点5分，星期四6.（2013荆州）已知：关于x的方程 kx

8、2(3k1)x+2(k1)=0（1）求证：无论k为何实数，方程总有实数根；（2）若此方程有两个实数根x1，x2, 且x1x2=2,求k的值.第18页，共35页，2022年，5月20日，15点5分，星期四2、熟练掌握根与系数的关系；3、灵活运用根与系数关系解决问题.1.一元二次方程根与系数的关系？小结：第19页，共35页，2022年，5月20日，15点5分，星期四一元二次方程的根与系数的关系第20页，共35页，2022年，5月20日，15点5分，星期四下列方程的两根的和与两根的积各是多少？ .X23X+1=0 .3X22X=2 .2X2+3X=0 .3X2=1 基本知识第21页，共35页，202

9、2年，5月20日，15点5分，星期四在使用根与系数的关系时，应注意：不是一般式的要先化成一般式；在使用X1+X2= 时， 注意“ ”不要漏写.第22页，共35页，2022年，5月20日，15点5分，星期四练习1已知关于x的方程当m= 时,此方程的两根互为相反数.当m= 时,此方程的两根互为倒数.11分析:1.2.第23页，共35页，2022年，5月20日，15点5分，星期四练习2设 的两个实数根 为 则: 的值为( )A. 1 B. 1 C. D.A第24页，共35页，2022年，5月20日，15点5分，星期四以 为两根的一元二次方程(二次项系数为1)为:二、已知两根求作新的方程第25页，共3

10、5页，2022年，5月20日，15点5分，星期四题5 以方程X2+3X-5=0的两个根的相反数为根的方程是（ ）A、y23y-5=0 B、 y23y-5=0 C、y23y5=0 D、 y23y5=0B分析:设原方程两根为 则:新方程的两根之和为新方程的两根之积为第26页，共35页，2022年，5月20日，15点5分，星期四 求作新的一元二次方程时:1.先求原方程的两根和与两根积.2.利用新方程的两根与原方程的两根之 间的关系,求新方程的两根和与两根积. (或由已知求新方程的两根和与两根积)3.利用新方程的两根和与两根积, 求作新的一元二次方程. 第27页，共35页，2022年，5月20日，15

11、点5分，星期四练习:1.以2和 为根的一元二次方程（二次项系数为）为：第28页，共35页，2022年，5月20日，15点5分，星期四题6 已知两个数的和是1，积是-2，则两 个数是 。2和-1解法(一):设两数分别为x,y则:解得:x=2y=1或 1y=2解法(二):设两数分别为一个一元二次方程的两根则:求得两数为2,三已知两个数的和与积，求两数第29页，共35页，2022年，5月20日，15点5分，星期四题7 如果1是方程 的一个根，则另一个根是_=_。（还有其他解法吗？)-3四求方程中的待定系数第30页，共35页，2022年，5月20日，15点5分，星期四小结： 1、熟练掌握根与系数的关系； 2、灵活运用根与系数关系解决问题； 3、探索解题思路，归纳解题思想方法。第31页，共35页，2022年，5月20日，15点5分，星期四8、已知关于X的方程mx2-(2m-1)x+m-2=0(m0) (1)此方程有实数根吗？ （2）如果这个方程的两个实数根分别为x1，x2，且 （x1-3)(x2-3)=m，求m的值。拓广探究第32页，共35页，2022年，5月20日，15点5分，星期四题9