2008第26届美国数学邀赛aime1中英文对照

1、数学奥林匹克报Mathematical Olympiad Express HYPERLINK / 262nnualmerican Invional Ma hematics Examination08 第 26 届美国数学请赛（AIME2008 年 3 月 18 日）简体中文版试题1、在参加学校聚会的学生中，60的学生是，40的学生喜欢跳舞。随后又多了 20 名都会跳舞的男生，现在聚会的人中有 58是。那么现在聚会的人中有多少人喜欢跳舞？2、正方形 AIME 的边长为 10，等腰 GEM 的底是 EM ，且 GEM 与正方形 AIME 的公共部为 80。求 GEM 的底 EM 上的高。面积3、和

2、苏骑自行车的速度相等且恒定，他们慢跑的速度也是相等且恒定，他们游泳的速度也是相等且恒定。在骑车 2 小时、慢跑 3 小时、游泳 4 小时后共行 74 千米，慢跑 2 小时、游泳 3 小时、骑车 4 小时后共行 91 千米。他们骑车、慢跑、游泳的速度都是以每小时整千米数行。求艾骑车、慢跑、游泳的速度的平方和。及数学知，奥林文，快递竞赛信息。意：1、直到监考老师给出信号方可答题。2、本卷共 15 道题，答题时间 3 小时。每题的都是 000999 之间的整数。如果某题你的是 7，请在相应位置涂黑 007；如果某题你的是 43，请在相应位置涂黑 043。你答对的题数就是你 得分，每题没有部分得分，做

3、错也不倒扣分。3、可以使用草稿纸、方格纸、直尺、圆规、量角 、橡皮。特别地，不许使用计算器和计算机。4、AIME 与AMC10 或 AMC12 的总分将用来决定国数学（USAMO）的参赛资格。2008 第 7 届 USAMO 于 4 月 29 日30 日举行。5、请 试题和相关信息填涂于 AIME 答题卡。6、答题卡请用 2B 铅笔 相应的圆圈内涂黑，方框处可用签字笔书写。7、答题卡不许折叠，不许使用涂改液、 改带。若需修改请用橡皮擦拭干净后再修改。8、请不要忘记答题卡背面的签 （先英文再中 ），“Yes”处也请涂。 9、Last Name 姓，Name 名，G nder，Female 女，M

4、ale 男数学报Mathematical Olympiad Expressx 84x 2008 y2 。求 x y 。4、存在唯一的正整数 x 、 y 满足方5、圆锥的底面圆半径为 r ，高为 h 。把此圆锥的侧面平放于桌面，它沿着桌面无滑动地滚动。当圆锥再次回到起始位置时正好滚动 17 周，这时圆锥的底座边在桌面上形成一个以圆锥顶点为圆心的圆弧。hr能写成 m n 的形式，其中 m 、n 是正整且 n 不能被任何质数的平方整除。求 m n 。比值6、三角形阵列中的第一行数字按照奇数 1，3，5，99 的递增顺序书写，在第一行下面的每一行比上一行少一个数字，最底部的一行只有一个数字。每行的相邻

5、两个数字之和写在这两个数字中间的下数是 6一行位个有数？997、设 Si 是满足条件100i n 100 i 1 的所有整数 n 的集合。例如， S4 00, 401, 402, 499 。在集合 S0 ， S1 ， S2 ， S999 中有多少个不包括完全平方数？11118、求出满足条件arctan arctan arctan atan的正整数 n 。345n49、同样规格的木箱的长宽高分别是 3 英尺、4 英尺、6 英尺。第一个木箱放置在地面上，其余九个木箱依m次被放置于前一个木箱的上面，且每个木箱的朝向是被随机地选择来放置。设是使得堆放的木箱的n高度正好达 41 英概率，这里 m 、n

6、是互质的正整数。求 m 。10 、等腰梯形 ABCD 中， AD BC ，下底 AD 上的底角是。对角线长10 21 。 EA 10 7 ，3ED 30 7 。CF AD 于 F 。线段 EF 的长度可以表示为 m n 的形式，其中m 、n 是正整不能被任何质数的平方整除。求 m n 。n11、完全由字母 A 和 B 组成的具有如下性质的序列：每个连写的 A 有偶数长度，每个连写的 B 有奇及数学知识，奥林文化，快递竞赛信息。数学报Mathematical Olympiad Express数长度。例如 AA ， B ， AABAA 都这样的序列，而 BBAB 就不是这样的序列。度为 14 的序

7、列中有多少个具有这种性质？12、在一段单车道单行线的长直高速公，汽车均以相同的速度且都遵循安全规则：每个 15 千米/小时的速度，前一辆车的车尾到下一辆车的车头的距离是一辆车的长度（不足 15 千米的按 15 千米/千米算，因此，当前一辆车每小时行 52 千米时，前一辆车的车尾与后一辆车的车头将相距 4 个车长）。安放在路边的电子眼摄像头用来一小时内通过的车辆数目，假定每辆车是 4，且汽车可以以任何速度穿过。设 M是一小时内电子眼摄像头能够记通过的最大整数。求 M 被 10 除所得的商。13、设 p x, y aa x a y a x2 a xy a y2 a x3 a x2 y a xy2

8、a y3 ，012345689且 p 0, 0 p 1, 0 p 1, 0 p 0,1 p 0, 1 p 1,1 p 1, 1 2, 2 0。p对所有这样的多项式存在点 a , b 使得 p a , b 0，c c c c这里 a ， b ， c 是正数，且 a ， c 互质， c 1。求 a b c 。14、 的直径为 AB ，延长 AB 到C ，过C 作CT 切 于T ， A CT 于 P 。设 AB18， m 表示线段 BP 的最大值。求m2 。15、正方形纸片的边长为 100，在其每个角上按如下方式剪下一个楔形：距离正方形顶点 17 处入刀下剪，使得两刀口在正方形的对角线相交得 60角

9、（如图），接着把这个顶点处的两条切口折起并胶粘在一起，这样这就做成一个纸盘，这个纸盘的侧面和底面所成的角不是直角。这个纸盘的高度（即纸盘最高处到纸盘底面的垂直距离）可以写成 n m 的形式，这里m 、n 是正整数，其中 m 1000 且m不被任何质数的 n 次方整除。求 mn 。折痕折痕切口3030切口1717奥林文化，快递竞赛信息。及数学知识，数学报Mathematical Olympiad Express2 08 第 26 届美国学邀请赛（AIME1）merican Invional Ma hematics Exam nationuesd y，M rch 18，2 081、Of t e s

10、tuden s attendi g sc ool part ，60of the s ude ts are girls，an 40% of the st dents like o dance。Aft r thes s ud nts re oined by 20gir s。 ow man stud nts ow at theor boy stud nt ，all of w omrty like to d nceo d ncethe pa ty s no58%2、 qu re AIMria gle GEMEMf he ahe of lengt 10 unit 。I osc leshas asea d

11、 the ar atude toMc mmo to tr anglG MiGEMnd squ re AIMis 0 s uare u it 。 F nd the l ng h3、Ed nd ue bike t equa and consr tesS milar y， hey jog t equa an con tant ra es， a d t ey swimt equa a d cons an rates。 Ed cover 74 ki ome e s afte biking for 2 hours， jog ing forho r ， andwimmi g f r 4 ho rswhile

12、 Sue cover 91 kil met r after jogging orours， wim ing fo 3 o rs，an biki g for 4 hours。T eir biking， oggin ， a d s immin rates re all whole umb rs of kilo ete s p rourFind t e um o the squares of Ed s bikingjogginnd swim ing r tes。t satisfy the equ tion x2 84x 8 2 。4、There xist uni u po i ive ntegers

13、 xind x y 。a d y5、 ri ht c rcular c ne as bas r diurh 。 The onies n its id on a fl t tab e。 As he cone thnthere he ones base m e s the ta le raaa d he ghro ls n the surface of the ta leithou sliir ula arc enter d a thnt whe e t e vert x t uche the able。 T e onere urns to ts ori inalhrositi n on t e

14、able aft r making 1 co plete ro at onsT e value ofanb wr tten n the f rmn ， where m and nFind n 。re o it ve ntegers a dis not di is by the squa e ofy p ime。6、 triang lar a ray o nu bers has a fi st ow onsistin of the odd in egers 1，3，99 in i cre sing rde 。Eac robe ow th firs has one few r ent y t an

15、 he ow abo e i ， a d the bo tom rohas a sin le ent y。 ach e try in ny ow aft r t e t p ow qua s the s m of the t o ent ie d ago all above it i the owmme iate y above itHomany ent iesh a ray re multiples of 67?及数学知识，奥林文化，快递竞赛信息。数学报Mathematical Olympiad Express990 1 。7Let Si be thegers n such hat 100i

16、 n 1orxample， S4 is the setet o all9 。 How many of the40 , 401 40 , 4etS0S1 ，S2 ，S 99 do ot contrf ct quare?1111t arctan arctan arnarct n。eger n such8、Find t e po itiv345n49 Ten de tical crat s each of d men ion 3 ft4 ft f 。 The irst cr te s plac d fl t n t e floor。 ach f theem ining n ne crate is l

17、a ed，ur ， flat o top o th pr vious cratea d th orie ta ion of ea h crateexac l 41 f ta l， where m andisho en at andom。 Letbe the proba il tyt e stack of cr tes innmare rela ively prime p siee ers。in10、Let ABCDD Che ong r base AD isbe aiso celes troid wwhosang e t。 The3A andca begt121 ，and po nt107tn

18、30ADiagonalsDr spee eis at istaf om vertitive y。 Let F be the foot oe distancEt e a tit de fromTxpr ssed n the f rmn ， where msqua e ofy prime。 Fi d m n 。and nreo it ve ntegers adis not di is by the1、Co sider s quenA has ven le gha co sis en ire y of As nd s andh ve th pr pe tynd eve y r n o co secu

19、tive Bs ha o d le gth。Examp est eve y r n o con ecutivef suc se uenare A，B， an AA AA，w i e BBAB is no suc a s quence。Homan such eques ha e leng h 14?2、On a on straig t stretch oay sing e-l ne hig wa ， c rs a l tra el t t e sa e s eed an all bey thesafe y ru e: he d st nce frothe ac of the c r hea to

20、 the fr nt of the ar ehi d is e act y on c r lengthf r e ch 1 k lomet rs per hour of spee or f act on th re f (Th s the fro t f a car tr vel ng 5 kil me ers er our wil be fo r c r le gt s b hin t e bac o the c r in front of it。 A pho oele tr c e e by the si e othe r ad coun s th num er of arst e c r

21、s can tra e a anspeed，pass n on hou 。 A su i gt each car is 4 met rs l ng ndlet M be the ma imum whol nu berf c rst can pass the及识奥，快递息。数学报Mathematical Olympiad Expresspho oelec ric ye n one ho r。 F n t e quotwheis divided by 10。13、Let p x, y aa x a y a x2 a xy a y2 a x3 a2 y a xy2 a y3 ，012345689t

22、p 0, 0 p 1, 0 p 1, 0 p 0,1 p 0, 1 p 1,1 p p 01 ,Supe ab for whi h p, b 0 for all s ch poly o ial ，whereab ，and c arThere i a o cc c c andc are rela ivel primeFi d b po i iveegers， ad c 1。o circle 14 LeAB be a iameteCT i an ent to E te d ABh ough Ao C 。 PoinT lCm2snsol nee ABPPis the foot of t e pe pend cul r fromto。 S18，