2·3·2等比数列的前年n项和

1、2.3.2等比数列的前n项和（一） 沈阳市第五十三中学 刘杰课堂合作探究总结提升反馈2.3.2等比数列的前n项和课前自主学案课前自主学案复习1：什么是数列前n项和？等差数列的前n项和公式是什么？推导思想？复习2：等比数列定义？通项公式？课堂合作探究课堂合作探究 课堂合作探究 课堂合作探究 课堂合作探究 课堂合作探究 课堂合作探究 课堂合作探究 这一格放的麦粒可以堆成一座山!课堂合作探究 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，共有64格每格所放的麦粒数依次为：分析：课堂合作探究 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，共有64格每格所放的麦粒数依次为：分析：课堂合作探究它是以1为首项，公比是2的等比数列，

2、 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，共有64格每格所放的麦粒数依次为：分析：课堂合作探究它是以1为首项，公比是2的等比数列， 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，共有64格每格所放的麦粒数依次为：麦粒的总数为:分析：课堂合作探究课堂合作探究新知：等比数列的前n项和公式设等比数列它的前n项和是，公比为q0，课堂合作探究公式的推导方法一（累和）a2=a1qa3=a2qa4=a3qan-1=an-2qan=an-1q将这n-1（n2）个式子两边分别相加，得a2+a3+an=（a1+a2+a3+an-1）q即 sn-a1=（sn-an）q整理，得 当时，（n2）当n=1时，以上等式也是成立的。很明显，当

3、q=1时，当q=1时，等比数列的前n项和是什么？公式的推导方法二：（错位相减法）则（结论同上）课堂合作探究课堂合作探究公式的推导方法三：（等比数列定义和等比定理）由等比数列的定义，有，即 . （结论同上）课堂合作探究公式的推导方法四：（提取公比q）. （结论同上）等比数列的前n项和公式当q1时，当q1时，或当q1时，【注意】运用公式时，注意公比q是否为1；当已知a1, q, n 时用公式 （1）当已知a1, q, an时，用公式 （2）课堂合作探究解决问题有了等比数列的前n项和公式，就可以解决刚才的问题。由可得=1.8410191.841019这个数很大，按每千粒麦子的质量为40g计算，麦粒的

4、总质量超过了7000亿吨（我国2016年小麦总产量为13926.0万吨）。因此，当国王了解到这一情况时，才明白他是不可能实现国际象棋发明者的要求的。课堂合作探究公式应用等比数列基本量运算例1：等比数列的公比q=,求前8项的和。 【法一】因为a8=a1q7，所以a1=27. 因此 有别的解法吗？将这个数列的前八项倒过来排，试一试。【法二】由题知：a1=1，q=2 因此求等比数列2,4,8,16的第5项到第10项的和课堂合作探究公式应用等比数列基本量运算例1：等比数列的公比q=,求前8项的和。求等比数列1，2,4,8,的第5项到第10项的和方法1： 观察、发现：方法2： 此等比数列的连续项从第5项

5、到第10项构成一个新的 等比数列：首项为 ，公比为，项数为【练习】在等比数列中：请完成下表： (3)(2)(1)题号课堂合作探究公式应用一.等比数列基本量运算46536课堂合作探究公式应用一.等比数列基本量运算【小结】等比数列基本量运算在等比数列an的通项公式和前n项和公式中共有五个量：a1，q，n，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程组求出另外两个量课堂合作探究（二）应用题：公式应用例2（1）“一尺之捶，日取其半，万世不竭”。怎样用学过的知识来说明它？ （2）某工厂去年1月份的产值为a元，月平均增长率为p（p0），求这个工厂去年全年产值的总和。（1）这句古文用现代文叙述是：一尺长的木

6、棒，每天取它的一半， 永远也取不完。 如果将每天取出的木棒长度排成一个数列，则得到一个首项 的等比数列，它的前n项和为不论n为何值，总大于0，这说明一尺长的木棒按上述方法永远也取不完。并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题。课堂合作探究公式应用例2（1）“一尺之捶，日取其半，万世不竭”。怎样用学过的知识来说明它？ （2）某工厂去年1月份的产值为a元，月平均增长率为p（p0），求这个工厂去年全年产值的总和。（二）应用题：（2）该工厂去年2月份的产值为a（1+p）元，3月，4月的产值 分别为a（1+p）2， a（1+p）3，.去年12个月的产值组成以a为 首项， （1+p）为

7、公比的等比数列。因此，该厂去年全年的总产值为答：该工厂去年全年的总产值为元。课堂合作探究公式应用（二）应用题：【小结】解数列应用题的思路和方法：具体方法步骤是：(1)认真审题，准确理解题意，达到如下要求：明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，还是递推数列问题？是求an还是Sn？特别要注意准确弄清项数为多少弄清题目中主要的已知事项(2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，据题意列出满足题意的数学关系式. 课堂合作探究公式应用（三）分组求和：例3求和

8、：（1）9+99+999+999（n个9）（2）求和sn=（a+1）+（a2+2）+（a3+3）+（an+n）（1）分析：数列9,99,999，不是等比数列，不能用公式求和，但将它 转化成10-1,100-1,1000-1，就容易解决了。解：原式=（10-1）+(102-1)+(10n-1) =(10+102+10n)-n =课堂合作探究公式应用（三）分组求和：例3求和：（1）9+99+999+999（n个9）（2）求和sn=（a+1）+（a2+2）+（a3+3）+（an+n）(2) sn=(a+a2+a3+an)+(1+2+3+n)当a1时，当a=1时，总结提升反馈【 学习小结】1.知识：等

9、比数列的前n项和公式；等比数列的前n项和公式的推导；2.思想：分类讨论思想，方程思想及转化思想3.方法： “知三求二”问题，即：已知等比数列之组可以求出其余的两个.错位相减法求和及分组求和法。五个量中任意的三个，列方程总结提升反馈【当堂检测】（时量：5分钟 满分：10分）1.数列1，的前n项和为（ ）. B. C. D. 以上都不对A.2.等比数列中，已知，则A. 30 B. 60 C. 80 D. 160（ ）.DCB3.在等比数列an中,Sn表示前n项和,若a3=2S2+1,a4=2S3+1,则公比q等于（ ） A.-3 B.3 C.-1 D.1总结提升反馈【当堂检测】（时量：5分钟 满分：10分）4.等比数列的各项都是正数，若5. 等比数列的前n项和，则a .，则它的前5项和为 .211-1总结提升反馈【课后作业】.1. 等