科学计算与Matlabkj3

1、第3章多项式插值与样条插值同济大学数学系计算数学教研室本章和第4章论述的主题:函数表达的问题第一个问题，假定已有一个函数的数值表（表3.1）.表 1:xxiX2Xnyyiy2yn要问：是否能找到一个简单而便于计算的公式，利用它可以精确地重新算得这些给定点。 插值问题第二个问题，设给定一个函数f, f的表达式非常复杂，计算f 的值很不经济。在这种情况下，就要寻找另一个函数p，它既易 于求值且又是对f的一个合理的逼近。连续函数的逼近问题第三个问题，假定表中给出的数值带有误差。比如当这些值来自 于物理实验时，就可能出现这种情况。现在要寻找一个公式，使 得它可以近似地表示这些数据。 离散函数的逼近问题

2、定义2.1设函数y = f(x)在区间a, b上有定义，且已知它在n + 1个互异的 点a X0 xi Xn b的函数值yo, yi,，yn,若存在一个 次数不超过n次的多项式p(x) = ao + ai x + a”xn (其中a：为实数) 满足条件P(Xi) = yi(i = 0,1, 2,，n)(1)则称p(x)为函数f (x )的“次插值多项式。几个常用术语:插值法一一按条件 HYPERLINK l bookmark6 o Current Document (1)求函数f(X)的近似表达式p(x)的方法 插值条件条件 HYPERLINK l bookmark6 o Current Do

3、cument (1)插值节点Xi(i = 0,1, 2,，n)插值区间包含插值节点的区间a, b多项式插值的几何意义：定理2.1n次插值多项式存在且唯一。证:设n次多项式p(x) = ao + aix + anxn是函数y = f(x)在a, b上的n + 1个互异的节点x,(/ = 0,1, 2, 的插值多项式，则求p(x)的问题就可归结为求它的系数a,(/ = 0,1, 2, ，n)为未知元的n + 1阶线性方程组：ao + aixo + a2X0 +an x0 = yo(2)ao + aixi + a2xf + + an =yiao + aixn + an + + an xn = yn其

4、系数行列式是范德蒙德(Vandermode)行列式：1 11 .x0 x1 x2 . xn2x2 .2xnx0nx1nx2 .nx=nn 3 _ xj) i=1 j=0(3)因为Xi互不相同，所以式 HYPERLINK l bookmark9 o Current Document (3)不为零，根据解线性方程组的克莱 姆(Cramer)法则，方程组的解a：存在且唯一，从而p(x)被唯一确 定，这就证得了 n次代数插值问题的解是存在且唯一的。基函数法：由线性空间的基出发，构造满足插值条件的多项式方 法。用基函数法求插值多项式分两步：定义n + 1个线性无关的特殊代数多项式(插值基函数)，用彳0(

5、X)，竿n(X)表示;利用插值条件，确定插值基函数的线性组合表示的n次插值多 项式p(x) = ao3o(x) + ai(x) + a” (x)(4)的系数ao, , a”.定义3.1若存在一个次数为n的多项式lk(x)，在n个节点(i = 0,1, , k 1, k + 1, , n)lk (x)的值为 0,在节点 xk 上 其值为1 即lk(x)满足条件lk(xi) =0, i = k.(5)则称lk (x)为节点Xi (i = 0,1, , n)上的拉格朗日插值基函 数。k为某固定的整数。很容易找到/k(x)：lk(x) = Ak(x X0)(X Xi) (x Xk_l)(x Xk+l)

6、 (x Xn)其中Ak为待定系数。由条件/k(xk) = 1可定Ak，于是/k(x)(x _X0)(XX1)(x _Xk-1)(x _Xk+1 )(xXn)(xk _xo)(xk _X1)(xk _xk-1 )(xk _xk+1)(xk _xn )j=0 Xk_Xjj=kx xjx xiXj Xi(7)记所要求的多项式为Ln(x)：Ln(x) =yjlj(x) =yjj =0j =0 i =0当n = 1时，拉格朗日插值多项式 HYPERLINK l bookmark12 o Current Document (7)为L1(X) = l0(X)y0 + l1(X)y1 即L1(X) =X X1

7、X X0yo +yiX0 X1X1 X0(8)用Li(x)近似代替f (x)称为线性插值，公式 HYPERLINK l bookmark13 o Current Document (8)称为线性插值多项 式或一次插值多项式。当n =2时，拉格朗日插值多项式 HYPERLINK l bookmark12 o Current Document (7)为L2(X)= l0(X)y0 +l1(X)y1 + l2(X)y2 即L2(X)=(x Xi)(x X2)y+ (X X0)(x X2)+ (X X0)(x X)(X0 Xi)(xo X2/(X1 Xo)(xi X2/(X2 X)(X2 X)(9)用

8、L2(x)近似代替f(X)称为二次插值或抛物线插值，称式 HYPERLINK l bookmark14 o Current Document (9)为二 次插值多项式。例3.1已知函数y = lnx的函数如表3.2所示。表 2:x1011121314lnx2.30262.39792.48492.56492.6391试分别用线性插值和抛物线插值求/n11.75的近似值。解:插值节点选取原则：尽量选取与插值点距离较近的点 线性插值选取节点X0 = 11, xi = 12, 用线性插值公式得x 12x 11Li(x) =x 2.3979 +x 2.4839将x = 11.75代入，即得ln 11 .

9、75 a /, (11.75) a 2.4632例3.1已知函数y = lnx的函数如表3.2所示。表 2:x1011121314lnx2.30262.39792.48492.56492.6391试分别用线性插值和抛物线插值求/n11.75的近似值。解:抛物线插值时选取节点X0 = 11, xi = 12, X2 = 13, 所得/n11.75的近似值为2.3979ln 11.75 e L2(11.75)=+ (11.7511)x(11.7513)+(1211)x(1213)+ (11.7511)x(11.7512)+(1311)x(1312)(11.7512)x(11.7513)(11 12

10、)x(11 13)X 2.4839x 2.5649 e 2.4638查对数表得/n11.75 e 2.46385拉格朗日插值法的MatLab实现：function yh = lagrange(x,y,xh)n = length(x);m = length(xh); yh=zeros(1,m);c1 = ones(n-1,1);c2 = ones(1,m);for i = 1:nxp = x(1:i-1 i+1:n);yh = yh + y(i) * prod(c1*xh-xp*c2)./(x(i)-xp*c2); end用上述程序求解问题，调用如下线性插值：x=11 12; y=2.3979

11、2.4849; xh=11.75;yh=Lagrange(x,y,xh)抛物线插值：x=11 12 13;y=2.3979 2.4849 2.5649; xh=11.75;yh=Lagrange(x,y,xh)两个问题：怎样估计用Ln(x)近似代替f(X)时所产生的误差？是不是插值多项式的次数越高，其计算结果就越精确？ 记插值余项为Rn(x) = f(x) L”(x), Rn(x )的性质:在节点Xi上有Rn(Xi) = f (Xi) Ln(Xi) = 0(/ = 0, 1, , n)可设R”(x)为Rn(x) = K(x)(x xo)(x xi)(x x”) = K(x)n(x)其中,K(x

12、)为待定系数，n(x) = (x xo)(x xi)(x x”)n(x)的确定方法引进辅助函数3(t) = f(t) Ln(t) K(x)n(t),视x为(a,b)上的一 个固定点(t)在(a, b)上有n + 2个零点:x, xo, xi, ,x”反复运用Rolle定理，得K(x) =f(n+1)(E)(n + 1)!其中E G (a, b)且依赖于x.定理3.1设f(X)在含节点Xin=0的区间a, b上n + 1次可微,Ln(x)是f(x)关于给定的n + 1个节点的n次插值多项式，则对 于a, b,存在与x有关的E G (a, b),使式Rn(x) =f(n+1)(E)(n + 1)!

13、n(x)(11)成立。注1： Rn (x)的不能精确计算!|Rn(x)| 冬仙 )1(12)其中 Mn+i = max If(n+1)(x)1 ajx b注2：amx泸n(x)| amx泸(x)l当节点个数大于插值多项式的次数加1 时，应当选取靠近插值点 的节点，使得|n(x)|最小例3.2估计上例中用线性插值和抛物线插值计算ln11.75的误差。解:由Ri(x) = 2(X xo)(x X1)，E G xo, Xi f (x) = ln(x),f(x) = 疋介于 11 与 12 之间 所以 |f/()| =吉 1J2于是|Ri(11.75)| 应15-；!?*!75-12)1 o.ooo8

14、 = 8 x 10-4 由 R2(x) = f3R(x xo)(x xi)(x x2)，E G xo, 乂2】 f(x) = x23,|f(01 = |3 磊2|R2(11.75)| W 口 |(11.75 11)(11.75 12)(11.75 13)| 0,称为步长。定义4.2称$ = f(xi + h) f(xi) = f+i fi 为函数f(x)在点Xi 处步长 为h的一阶向前差分。2fi = () = fi +1 为函数f(x)在点Xi处的二阶向前 差分。一般地，设n 1阶差分已定义，则称nfi = (” f ) = ”_吒+i n-1fi(n = 2, 3,)为函数f(x)在点xi

15、处的n阶向前差分。并规定/fiu fi为f(x)在 点Xi处的零阶差分。导出差分与差商的关系例如，k阶差商与k阶差分之间有关系a k ff xoj x1, xk = *h (k = 1, 2,，门)(17)利用差分与差商的关系式 HYPERLINK l bookmark30 o Current Document (17)，在牛顿插值公式Nn (x )中，将差 商替换为差分，并令x = xo + th(0冬t冬1),可得Nn(x) = Nn (x0 + th) = f0 + iAf0+ t(A2fo + + 七(t-】)“L + 1)An/0(18)插值公式 HYPERLINK l bookma

16、rk31 o Current Document (18)称为牛顿向前插值公式。前面介绍的代数插值的特点：只要求插值多项式p(x)在节点上与被插值f (x)相等 埃尔米特插值问题：要求插值多项式p(x)在节点上与被插值f (x)相等同时要求在某些节点或全部节点上与 f(x) 的导数值也相等，甚 至要求高阶导数值也相等定义5.1设已知函数f(x)在插值区间a, b上n + 1个互异的节点X0, Xi, , Xn处的函数值f (Xi) = fi及一阶导数值 f(Xi) = fi, (i = 0,1, , n)，若 存在函数 H (x),满足条件:H(x)是一个次数不超过2n + 1次的多项式;H(x

17、i) = f(x,-), H(x) = f(xi)(i = 0,1,，n)， 则称H(x)为埃尔米特插值多项式。两点三次埃尔米特插值几何意义：不仅要求代数曲线y = H(x)与函数曲线y = f(x)在n + 1个互异 的点(xi, y)处完全重合，而且还有公切线。下面讨论两点三次埃尔米特插值的求解问题已知函数f (x)在节点X0,X1上的函数值以及一阶导数值如下表.表 6:xxoxif (x)yoyif (x)y0y1求一个三次埃尔米特插值多项式H(x)，使满足H3(xi ) = yi , (i = 0, 1),H3(xi) = y(i =0,1)-采用基函数的方法来求解该问题设a(x),a

18、i(x),0o(x),0i(x)都是三次多项式，并且满足 TOC o 1-5 h z a (x )H0： j =: i:j = 0,1).(20)a(Xi) = 0(i,j = 0, 1)(21)型(x )/ 0，(j = i；i，j = 0，1)，(22)內(X) =1, (j = i； i, j = 0,1).(22)0j (xi) = 0(i, j = 0,1)(23)他们的线性组合记为H3(X),即H3(x) = aao(x) + agi(x) + bo0o (x) + bi0i(x) 1=(aj aj(x) + bj 卩j(x)j=0其中ao, ai, bo, bi为待定参数。确定参

19、数ao, ai, bo, bi：令H3(x)满足插值条件 HYPERLINK l bookmark34 o Current Document (19),根据aj(x)和仿(x)的性质式 HYPERLINK l bookmark35 o Current Document (20) HYPERLINK l bookmark37 o Current Document (23),立即得到aj = yj(j = 0,1), bj = yj(j = 0,1)。于是1H3(x )=刀(yj aj (x )+yj0j (x )(24)j=o确定基函数 ao(x ),ai(x), 0o (x ),0i(x):由

20、aj(x)的性质 HYPERLINK l bookmark35 o Current Document (20)和 HYPERLINK l bookmark37 o Current Document (23)可以看出,节点xo,xi依次是ai(x)和ao(x)的二重零点，并且ao(xo) = ai(xi) = 1。因 此， aj(x) 可以用一次拉格朗日插值基函数表示。又因aj(x)是三次多项式，故可设aJ(x) = (ax + bjx) = (ax + b)(i,j = 0,1；j = /)(25) 其中,a和b为待定参数。由 aj (xj) = 1 及 aj (xj):a=代入式 HYPER

21、LINK l bookmark38 o Current Document (25)经整理得aj(x) = 1 2xxj0，解出丄,b xj xiXi)1+2jXj Xi(26)X X 2 xj XJ(i , j0, 1; i = j)(27)类似地，设(28)卩j(X) = (ex + d) j2(x)=(ex + d) (Xx,(i，j = 0，1; i = j)利用条件 HYPERLINK l bookmark36 o Current Document (22)， HYPERLINK l bookmark37 o Current Document (23)得e = 1, d = -Xj代入

22、式 HYPERLINK l bookmark39 o Current Document (28)得仿(x) = (x Xj) -_空(i,j = o,1； / = j)xj x,两个节点的三次埃尔米特插值多项式H3（x） = yo U 2童）（吾）2 +yi U 22总）（吾）2 +y0 （x xo）（吾）2+yi （x xi）（吾）2设R3(X)= f(x) H3(X)，由插值条件 HYPERLINK l bookmark34 o Current Document (19)知R3(Xi) = R3 (Xi) = 0(/ = 0,1)因此，节点X0, X1都是R3(x)的二重零点，故设R3(x

23、 ) = K (x )(x xo)2(x Xi)2(31)其中K(x)为待定函数。类似于拉格朗日插值余项的推导，引进辅助函数9(t) = f (t) H3(t) K (x)(t xo)2(t xi)2则s(t)至少有5个零点(二重零点算2个)利用罗尔(Rolle)定理，至少存在一点 G xo,xi,使3 (E) = f () 4!K (x ) = 0于是K(x)= 常，代入式 HYPERLINK l bookmark40 o Current Document (31)得R3(x) = J卩(x xo)2(x xi)2(32)定理5.1设f(x)在xo, xi上存在且连续，则对于任意的x G x

24、o, xi, 都存在 G xo, xi，使式 HYPERLINK l bookmark41 o Current Document (32)成立。2n + 1次埃尔米特插值多项式H2n+i(x)的表达式为：nnH2n+l(x)=(1 2攵(xk)(x -xk)l2(x)fk +(x -xk)/2(x)必 TOC o 1-5 h z k =0k =0(33) 其中/k(x)为节点xk上的拉格朗日基函数。余项R2n+1(x )的表达式心+2)住)2R2n+l(x) = f(x) H2n+l(x) =口伍)2(34)其中，n(x) = H (x Xj),E G (a, b)，且E与x有关。j=0现在来

25、回答问题：是否插值多项式的次数越高，精度越好？对龙格(Runge)函数f(x) = 1+1X2(5冬x冬5),取等距的插值 节点xk = 5 + kh(h =罟,k = 0,1,，n)做拉格朗日插值多项 式Ln(x) =k=0nni=0X Xi1Xk Xi1 + xk(35)当n = 10,观察Lio(x)与f(x)之间的差别 观察Lio(x)与f(x)之间的差别的程序：x=-5:1:5;y=1./(1+x2);xh=-5:0.25:5;yh=langrange(x,y,xh);x1=-5:0.25:5;y1=interp1(x,y,x1);x=x1;y=1./(1+x2);plot(xh,y

26、h,r-,x1,y1,go,x,y)运行程序后，所得图形见下图由图看出：在接近区间两端点附近，Lio(x)与f(x)的偏离很大。还可以证明：在节点等距的条件下，当n tx时，插值多项 式L”(x)只在|x| 3.63内收敛，除此范围以外，有lim max |f(x) -Ln(x)| = x ng 3.63|x|5龙格现象：插值多项式不收敛现象龙格现象说明并非插值多项式的次数越高，其精度就越高。 分段低次插值 基本思想：用分段多项式来代替单个多项式作插值。 具体作法：插值时，先把整个区间分成若干个小区间； 然后在每个小区间上分别作低次插值多项式，例如可用线性插 值、抛物线插值、3次插值； 再将每

27、个小区间上的插值函数拼接在一起作为整个插值区间上的插值函数。分段低次插值的优点： 公式简单、运算量节省、稳定性好、收敛性有保证 分段低次插值的缺点：节点处的导数值不连续 样条插值函数可以克服分段低次插值的缺点定义6.1若函数s(x) e C2a, b(C2a, b表示区间a, b上具有二阶连续导数 的函数的全体)，且在每个小区间Xj, Xj+1上是三次多项式，其 中a = X0 X1 Xn = b是给定节点，则称s(x)是节 点X0, X1, , Xn上的三次样条函数若在节点Xj上给定函数值yj = f(Xj)(j = 0,1，n)，并使s (j = y(j = 0,n)则称s(x、为f (x

28、)在a, b上的三次样条插值函数。如何求f(x)的三次样条插值函数s(x),使满足s (xj) = y(j = 0,n)问题的适定性：待定参数的个数与已知的条件个数是否相等？待定参数的个数：4n 根据三次样条插值函数的定义，s(x)是a, b上的分段三次插值多 项式，即Si(x),x G xo,Xi,s(x) =S2(X), X G xi, X2, sn(x), x G xn-1, xn.其中Sk (x)应是子区间Xk-1, Xk上的两点三次插值多项式，故在 每个子区间上待定参数的个数为4已知的条件个数：4n 2插值条件： n + 1sk(xj) = y(j = k 1, k; k = 1,2

29、,n)(36)三次样条函数s(x)内节点上条件：3(n 1)s(x) e C2a, b,故有lim s(p)(x) = lim s(p)(x)(p = 0,1, 2; k = 1,，n 1) (37) x-x-X*其中，p表示导数阶数。即在(n 1)个内节点上有条件 HYPERLINK l bookmark46 o Current Document (37)成 立，即有3(n 1)个条件。问题不适定：待定参数的个数4n大于已知的条件个数4n - 2 解决的办法：补充边界条件通常使用的边界条件有以下三类：第一类边界条件是f, *为给定值。s(xo)=f0S (Xn)=fn(38)第二类边界条件是

30、(39)s”(X0) = f0”s”(Xn) = fn”f0, F为给定值。当S”（X）= S”（X”）=O时，样条函数在两端点 不受力，呈自然状态，故称之为自然边界条件。第三类边界条件是周期性条件。设f(x)是周期函数，不妨设以Xn X0为一个周期，这时s(x)也应 是以X” X0为周期的周期函数，于是S(X)在端点处满足条件(40)lim sp(x) = lim sp(x)(p = 0, 1, 2)x对x TX求解三次样条插值函数方法：三转角方法和三弯矩方法。三转角方法：从样条函数的一阶导数出发而得到三次样条插值函数的方法-参考本书第5章基于样条的求导方法三弯矩方法：从样条函数的二阶导数出

31、发而得到三次样条插值函数的方法-本节给出三弯矩方法分如下3步：(1)给出sj(x)在区间凶_1,幼上的表达式记hj = Xj 一 Xj-i,设s(x)在节点Xj处的二阶导数值为Mj,即s(Xj) = Mjj = 0, 1 2,n),由于s(x)在每个子区间凶_1,Xj上是一个三次多项式Sj(x), 故sjf(X)在区间Xj_1, Xj上是X的线性函数，且有sj(xj_i) = Mj_1, sj(Xj) = Mj，用线性插值，可知其表达式为(41)s(X )=亍 j + X-Xj-1 M(2)给出另(x)在区间xj-1,幼上的表达式将式 HYPERLINK l bookmark48 o Curr

32、ent Document (41)积分两次，得s (x) =Mj-1 + h Mj + cix + C2(42)利用插值条件sj(xj-1) = yj-1, sj(xj) = yj确定积分常数Cl和C2,得到s(x)在凶-1, Xj上的表达式为xjx+(xj - x)3(x - xj 1)3Mj-1hj2另(x)=函Mj-1+莎 M + yj- 厂爲,(j = 1, 2,n)(43)(3)确定Mo, Mi,Mn利用函数s(x)在插值区间a, b上各内节 点X(j = 1, 2,，n 1)处的一阶导数连续的条 件：sj(Xj 0) = sj+i(xj + 0)在区间凶_1,幼上对s (x)求导，

33、得(44)在左端点Xj -1上有sj(Xj-1 - 0)=-乌 Mj +-hj=-h Mj-1- h Mj +(45)将式 HYPERLINK l bookmark49 o Current Document (45)中的j 1改为j,即得s-+i(X + 0) = j1 Mj j1 Mj+i +(46) 利用ss(x)在内节点连续的条件：sj(xj - 0) = sj+i(xj + 0),得到参 数Mj(j = 0,1, 2,n)的方程式:“j Mj-i + 2Mj + XjMj+i = dj(j = 1, 2,，n 1)(47)其中Xj = hj+hj+ij =1 Xj = h+j?(48)

34、dj = hj+hj+1 (h；+1 Yj hj1) =6f 勺-i,xj,xj+i HYPERLINK l bookmark51 o Current Document (47)是关于n + 1个参数M的n 1个方程一-有无穷多组解要唯一确定n + 1个未知数，尚须附加边界条件，补充两个方 程。对第一种边界条件：s(x0) = f0 s(Xn) = f/利用式(44)和式 HYPERLINK l bookmark50 o Current Document (46)，可得：2M0 + Mi =二號叽 + 2M“ = h (兄-)=(49)(50)M0d0M1d1M2=d2Mn_1dn_1Mndn

35、51)将万程 HYPERLINK l bookmark51 o Current Document (47)、万程 HYPERLINK l bookmark52 o Current Document (49)、万程 HYPERLINK l bookmark53 o Current Document (50)合在一起，构成了确定n+1个 参数Mo, Mi,，Mn的n + 1阶线性方程组：21“12入 i“22 入 2“n_12入 n112对第二种边界条件：S(X0)= y(xo), s(xn) = y(Xn)即已 知 Mo = y0, Mn = yn方程组 HYPERLINK l bookmark

36、51 o Current Document (47)只含有n 1个未知元Mi, M2,，Mn-i可以表示成入1一M1-di “iy02入2M2d2“n-22入 n-2Mn-2dn-2“n-12Mn-1_ dn-1 入 n-1_2“2(52) 特别当Mo = Mn = 0为自然边界条件时，方程组 HYPERLINK l bookmark54 o Current Document (52)的右端成 为di, d2,dn-1 T，其形式特别简单。对第三种边界条件：S(X0 + 0) = s(x” 0)与 S(X0 + 0) = s (xn 0)可以导出两个方程Mo = Mn 和入 n Ml + “n

37、 M”_i + 2M” = d” 其中入 n =n = 1 入 n =,hl + hnhl + hnd =6/ yi yoy” 一 y”_i、” =hT+h；hhT与式 HYPERLINK l bookmark51 o Current Document (47)合在一起，构成确定Mi, M2,，Mn为未知元的线性代 数方程组：2 入 1“1M1d1“22入 2M2d2“n12 入 n1Mn1dn1_ 入 n“n2_Mndn(53)综上:对于给定的函数表(Xi, f(Xi)(i = 0,1, 2,，n)满足第一(或 第二、第三)种边界条件的三次样条插值函数s(x)是存在且唯一 的其计算过程可归纳

38、如下：(1)根据给定的数据(Xi, f(Xi)(i = 0,1, 2,，n)及相应的边界条 件建立方程组 HYPERLINK l bookmark55 o Current Document (51)或 HYPERLINK l bookmark54 o Current Document (52)或 HYPERLINK l bookmark56 o Current Document (53)。解上述线性方程组，求出Mo, Mi，Mn。把求出的Mo, Mi,，M”代入s(x)的表达式 HYPERLINK l bookmark47 o Current Document (43),即 得s(x)在每一个

39、小区间Xj-1, Xj上的分段表达式。整个区间a, b上的三次样条插值函数可表示为si(x),X G xo,Xi,s(X) =S2(X), X G xi, X2,sn(X), X G Xn-i, Xn.例6.1设f(x)为定义在区间0, 3、上的函数，剖分节点为Xi = i, (/ = 0,1, 2, 3).并给出 f (xo) = 0, f (xi) = 0.5, f(X2)=2.0, f(X3) = 1.5,和f(xo) = 0.2, fz(x3)= 1.试求区间0,3上满足 上述条件的三次样条插值函数s (x )。解:利用三弯矩方程组 HYPERLINK l bookmark55 o C

40、urrent Document (51)进行求解易知 hi = 1, / = 0,1, 2.入 0 = 1,“3 = 1,入 1 =入 2 = “1 = “2 = 2,do = 6(f xo, xi f(xo)/ho = 1.8,d1 = 6 f x0 , x1 , x2 = 3 ,d2 = 6f xi, x2, x3 = 6,d3 = 6(f(x3) f x2, x3)/h2 = 3,例6.1设f(x)为定义在区间0, 3上的函数，剖分节点为Xi = i, (/ = 0,1, 2, 3).并给出 f (xo) = 0, f (xi) = 0.5, f(X2)=2.0, f(X3) = 1.5

41、,和卩(xo) = 0.2, fz(x3)= 1.试求区间0,3上满足 上述条件的三次样条插值函数s (x )。解:于是三弯矩方程组为21Mo1.80.520.5M130.520.5M2612M33例6.1设f(x)为定义在区间0, 3上的函数，剖分节点为Xi = i, (i = 0,1, 2, 3).并给出 f (xo) = 0, f (xi) = 0.5, f(X2)=2.0, f(X3) = 1.5,和f(xo) = 0.2, f(x3)= 1.试求区间0,3上满足 上述条件的三次样条插值函数s (x)。解:得Mo = 0.36, Mi = 2.52, M2 = 3.72, M3 = 0.36,代入 HYPERLINK l bookmark47 o Current Document (43)经简化得到(0.48x3 一 0.18x2 + 0.2x,x G 0,1,s(x) = I 1.04(x 1)3 + 1.26(x 1)2 + 1.28(x 1) + 0.5, x G 1, 2,0.68(x 2)3 1.86(x 2)2 +