（考点梳理 考点自测 真题举例）高考总复习数学（理） 三角函数解三角形.

1、第四章三角函数、解三角形第1讲弧度制与任意角的三角函数eq f(对应学生,用书P48)考点梳理1任意角(1)角的概念的推广按旋转方向不同分为正角、负角、零角按终边位置不同分为象限角和轴线角(2)终边相同的角终边与角相同的角可写成k360(kZ)(3)弧度制1弧度的角：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|eq f(l,r)，l是以角作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径用“弧度”作单位来度量角的制度叫做弧度制比值eq f(l,r)与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关弧度与角度的换算：3602弧度；180弧度弧长公式：l|r，

2、扇形面积公式：S扇形eq f(1,2)lreq f(1,2)|r2，2任意角的三角函数(1)任意角的三角函数定义设P(x，y)是角终边上任一点，且|PO|r(r0)，则有sin eq f(y,r)，cos eq f(x,r)，tan eq f(y,x)，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数(2)三角函数在各象限内的正值口诀是：全正、正弦、正切、余弦3三角函数线设角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M，则点M是点P在x轴上的正射影由三角函数的定义知，点P的坐标为(cos_，sin_)，即P(cos ，sin )，其中cos OM，sin

3、 MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与的终边或其反向延长线相交于点T，则tan AT.我们把有向线段OM、MP、AT叫做的余弦线、正弦线、正切线.三角函数线【助学微博】两个规律(1)三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(2)终边落在x轴上的角的集合|k，kZ；终边落在y轴上的角的集合eq blcrc(avs4alco1(blc|rc (avs4alco1()f(,2)k，kZ)；终边落在坐标轴上的角的集合可以表示为eq blcrc(avs4alco1(blc|rc (avs4alco1(f(k,2)，kZ).一个命题规律本讲内容在高考中单独考查

4、的题目并不太多，近几年主要考查运用三角函数概念解题，判断角的象限及三角函数值的符号，运用同角三角函数关系式、诱导公式进行化简、求值，证明简单的三角恒等式作为后续内容的重要基础，是三角函数化简、求值、证明的必要前提考点自测1(2012苏锡常镇四市一模)已知角(00)，所在圆的半径为R.(1)若60，R10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C(C0)，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？解设弧长为l，弓形面积为S弓，则(1)60eq f(,3)，R10，leq f(,3)10eq f(10,3)(cm)，S弓S扇Seq f(1,2)eq f(10,3)10eq f

5、(1,2)102sineq f( ,3)eq f(50,3)eq f(50r(3),2)50eq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)f(r(3),2)(cm2)(2)扇形周长C2Rl2RR，Req f(C,2)，S扇eq f(1,2)R2eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(C,2)2eq f(C2,2)eq f(1,442)eq f(C2,2)eq f(1,4f(4,)eq f(C2,16).当且仅当24，即2时，扇形面积有最大值eq f(C2,16).方法总结 弧度制下的扇形的弧长与面积公式，比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁得多，用起来也方便得多

6、因此，我们要熟练掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式【训练3】 (1)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才能使扇形面积最大？(2)一扇形的中心角为120，求此扇形的面积与其内切圆的面积之比解(1)设圆心角弧度数是，半径是r，则2rr40，Seq f(1,2)lreq f(1,2)r(402r)r(20r)eq blc(rc)(avs4alco1(f(20,2)2100.当且仅当r20r，即r10时，Smax100.当r10，2时，扇形面积最大(2)设扇形半径为R，内切圆半径为r.则(Rr)sin 60r，即Req blc(rc)(avs4alco1(1f(2r(3),3)r.又S扇e

7、q f(1,2)R2eq f(1,2)eq f(2,3)R2eq f(,3)R2eq f(74r(3),9)r2，eq f(S扇,r2)eq f(74r(3),9).eq f(对应学生,用书P50)热点突破10解与任意角的三角函数问题的方法与任意角的三角函数有关的问题，高考一般会以一道填空题的形式考查有关概念，或在大题中某一部分中涉及三角函数定义，这类问题难度不大，但会有新意，解题过程中合理的思维方法是关键一、特殊化与一般化的方法【示例】 (2010重庆卷)如图，图中的实线是由三段圆弧连结而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P(点P不在C上)且半径相等设第i段弧所对的圆心角为i(i1

8、,2,3)，则coseq f(1,3)coseq f(23,3)sineq f(1,3)sineq f(23,3)_.审题与转化 第一步：coseq f(1,3)coseq f(23,3)sineq f(1,3)sineq f(23,3)coseq f(123,3).第二步：可从特殊情况入手，求出相应的值规范解答 第三步：取每个圆的公共弦都等于半径时，有1232eq f(2,3)eq f(4,3)，所以原式coseq f(4,3)coseq f(,3)eq f(1,2).反思与回顾 第四步：1，2，3不是定值，但123可确定二、化归与转化的方法【示例】 (2010新课标全国卷改编)如图，质点P

9、在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(eq r(2)，eq r(2)，角速度为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为_审题与转化 第一步：可以求出deq blc|rc|(avs4alco1(2sinblc(rc)(avs4alco1(tf(,4)进行求解，或由特殊点进行求解第二步：t0时，deq r(2)；teq f(,4)时，d0为最低点；teq f(3,4)时，d2为最高点；teq f(5,4)时，d0，.规范解答 第三步：法一(排除法)当t0时，P点到x轴的距离为eq r(2)，排除、，由角速度为1知，当teq f(,4)或teq f(5,4)时，P点落在x轴上，

10、即P点到x轴的距离为0，故选.法二由题意知Peq blc(rc)(avs4alco1(2cosblc(rc (avs4alco1(tf(,4)，2sineq blc(rc)(avs4alco1(tblc rc)(avs4alco1(f(,4)，P点到x轴的距离为d|y0|2eq blc|rc|(avs4alco1(sinblc(rc)(avs4alco1(tf(,4)，当t0时，deq r(2)；当teq f(,4)时，d.反思与回顾 第四步：本题考查了任意角的三角函数的概念、三角函数的图象，结合物理学的角速度问题，考查学科知识交汇点，解答此题的关键是找到点P运动后对应的坐标高考经典题组训练1

11、(2010新课标全国卷改编)已知角的终边经过点(eq r(2)，eq r(2)，则sin _，cos _，tan _.解析因为req r(r(2)2r(2)2)2，所以sin eq f(r(2),2)，cos eq f(r(2),2)，tan 1.答案eq f(r(2),2)eq f(r(2),2)12(2011山东卷改编)若点(a,9)在函数y3x的图象上，则taneq f(a,6)_.解析因为93a，所以a2，所以taneq f(2,6)taneq f(,3)eq r(3).答案eq r(3)3(2011江西卷)已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴若P(4，y)是角终边上一点，且si

12、n eq f(2r(5),5)，则y_.解析P(4，y)是角终边上一点，由三角函数的定义知sin eq f(y,r(16y2)，又sin eq f(2r(5),5)，所以eq f(y,r(16y2)eq f(2r(5),5)，解得y8.答案84(2011课标卷改编)已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y2x上，则cos 2_.解析由题意知，tan 2，cos 22cos212eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,r(5)21eq f(3,5).答案eq f(3,5)5(2012山东)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上

13、一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动当圆滚动到圆心位于(2,1)时，eq o(OP,sup6()的坐标为_解析如图，由题意知eq o(BP,sup8()OB2，因为圆半径为1，所以BAP2，故DAP2eq f(,2)，所以DAAPcoseq blc(rc)(avs4alco1(2f(,2)sin 2，DPAPsineq blc(rc)(avs4alco1(2f(,2)cos 2.所以OC2sin 2，PC1cos 2.故eq o(OP,sup6()(2sin 2,1cos 2)答案(2sin 2,1cos 2)eq f(对应学生,用书P275)分层训练A级基础达标演练(时间：30分钟

14、满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1(2012金陵中学月考)已知sin tan 0且cos tan 0，则角是第_象限角解析由条件得sin 0且cos 0，所以是第三象限角答案三2已知点Peq blc(rc)(avs4alco1(sinf(3,4)，cosf(3,4)落在角的终边上，且0,2)，则的值为_解析点P的坐标可化为eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)，f(r(2),2)，位于第四象限，且tan 1，0,2)，所以eq f(7,4).答案eq f(7,4)3若点P从(1,0)出发，沿单位圆x2y21逆时针方向运动eq f(2,3)弧长到达点Q，则点

15、Q的坐标为_解析点Q的坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(cosf(2,3)，sinf(2,3)，即eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(r(3),2).答案eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(r(3),2)4(2012苏中联考)若角与eq f(8,5)角终边相同，则在0,2内终边与eq f(,4)角终边相同的角是_解析由题意，得eq f(8,5)2k(kZ)，eq f(,4)eq f(2,5)eq f(k,2)(kZ)又eq f(,4)0,2，所以k0,1,2,3，eq f(,4)eq f(2,5)，eq f(9,10)，eq f(7

16、,5)，eq f(19,10).答案eq f(2,5)，eq f(9,10)，eq f(7,5)，eq f(19,10)5已知一扇形的中心角60，所在圆的半径R10 cm，则扇形的弧长为_cm，面积为_cm2.解析60eq f(,3)，R10 cm，leq f(10,3)(cm)，S扇eq f(1,2)eq f(10,3)10eq f(50,3)(cm2)答案eq f(10,3)eq f(50,3)6已知点P(sin cos ，tan )在第一象限，则在0,2内的取值范围为_解析点P在第一象限，tan 0，因此是第一、三象限角，且sin cos ，0,2，eq f(,4)eq f(,2)或eq

17、 f(5,4).答案eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)，f(,2)eq blc(rc)(avs4alco1(，f(5,4)二、解答题(每小题15分，共30分)7若角终边上的点P与A(a,2a)关于x轴对称(a0)，角终边上的点Q与A关于直线yx对称，求sin cos sin cos tan tan 的值解由题意得，点P的坐标为(a，2a)，点Q的坐标为(2a，a)sin eq f(2a,r(a22a2)eq f(2a,r(5a2)，cos eq f(a,r(a22a2)eq f(a,r(5a2)，tan eq f(2a,a)2，sin eq f(a,r(2a2a2)eq f(

18、a,r(5a2)，cos eq f(2a,r(2a2a2)eq f(2a,r(5a2)，tan eq f(a,2a)eq f(1,2)，故有sin cos sin cos tan tan eq f(2a,r(5a2)eq f(a,r(5a2)eq f(a,r(5a2)eq f(2a,r(5a2)(2)eq f(1,2)1.8已知角终边经过点P(x，eq r(2)(x0)，且 cos eq f(r(3),6)x，求sin ，tan 的值解点P到原点的距离req r(x22)，又cos eq f(r(3),6)x，故cos eq f(x,r(x22)eq f(r(3),6)x，因为x0，所以xeq

19、 r(10)，故r2eq r(3).当xeq r(10)时，P点坐标为(eq r(10)，eq r(2)，由三角函数定义，有sin eq f(r(6),6)，tan eq f(r(5),5)；当xeq r(10)时，P点坐标为(eq r(10)，eq r(2)，所以sin eq f(r(6),6)，tan eq f(r(5),5).分层训练B级创新能力提升1已知锐角终边上一点A的坐标为(2sin 3，2cos 3)，则角的弧度数为_解析由已知tan eq f(2cos 3,2sin 3)taneq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)3)taneq blc(rc)(avs4alco1

20、(3f(,2).因为03eq f(,2)eq f(,2)，所以3eq f(,2).答案3eq f(,2)2(2012南京调研)已知扇形的周长为8 cm，则该扇形面积的最大值为_cm2.解析设扇形半径为r cm，弧长为l cm，则2rl8，Seq f(1,2)rleq f(1,2)r(82r)r24r(r2)24，所以Smax4 (cm2)答案43已知集合E|cos sin ，02，F|tan sin ，那么EF的区间是_解析由单位圆的正、余弦线，容易得Eeq blcrc(avs4alco1(blc|rc (avs4alco1(f(,4)f(5,4)，又由F可知应在第二、四象限，所以EFeq b

21、lcrc(avs4alco1(blc|rc (avs4alco1(f(,2)0，于是eq f(r(2),2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)eq r(2)，得sin eq f(r(2),2)，cos eq f(r(2),2)，所以tan 1.反思与回顾 第三步：此题可列方程组求解或由eq r(2)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq r(2)求解，但都没有构造数量关系的恒等式求解方便二、构造直角三角形求解【示例】 (2010全国卷)已知是第二象限角，tan eq f(1,2)，则cos _.审题与转化 第一步：用公式求解，要将tan eq

22、f(1,2)转化为2sin cos ，两边平方求解第二步：构造直角三角形求解，取正值，将当作直角三角形一锐角，求出cos 的正值，利用所在象限确定符号规范解答 第三步：将当作锐角，构造RtABC，如图，则ABeq r(5)，所以cos eq f(2,r(5)eq f(2r(5),5)，又是第二象限角，cos eq f(2r(5),5).反思与回顾 第四步：若已知tan eq f(1,2)，求eq f(sin cos ,sin cos )或sin2 2sin cos 的值，可将待求式转化为eq f(tan 1,tan 1)或eq f(tan2 2tan ,tan2 1)求解高考经典题组训练1(2

23、011大纲全国卷)已知eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，)，sin eq f(r(5),5)，则tan 2_.解析由eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，)，sin eq f(r(5),5)，得cos eq r(1sin2)eq f(2r(5),5)，tan eq f(1,2)，tan 2eq f(2blc(rc)(avs4alco1(f(1,2),1blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)2)eq f(4,3).答案eq f(4,3)2(2011重庆卷)若cos eq f(3,5)，且eq blc(rc)(avs4alco1(，f(3,2)，则ta

24、n _.解析因cos eq f(3,5)，eq blc(rc)(avs4alco1(，f(3,2)，故sin eq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(3,5)2)eq f(4,5)，tan eq f(sin ,cos )eq f(f(4,5),f(3,5)eq f(4,3).答案eq f(4,3)3(2011福建卷改编)若tan 3，则eq f(sin 2,cos2)的值等于_解析eq f(sin 2,cos2)eq f(2sin cos ,cos2)eq f(2sin ,cos )2tan .又tan 3，故eq f(sin 2,cos2)2tan 236.答案64(2012江西

25、卷)若tan eq f(1,tan )4，则sin 2_.解析由tan eq f(1,tan )eq f(sin ,cos )eq f(cos ,sin )eq f(sin2cos2,sin cos )eq f(2,sin 2)4，得sin 2eq f(1,2).答案eq f(1,2)5(2012山东卷改编)若eq blcrc(avs4alco1(f(,4)，f(,2)，sin 2eq f(3r(7),8)，则sin _.解析由eq blcrc(avs4alco1(f(,4)，f(,2)，得2eq blcrc(avs4alco1(f(,2)，)，故cos 20，所以cos 2eq r(1sin

26、22)eq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(3r(7),8)2)eq f(1,8).又cos 212sin2，sin2eq f(1cos 2,2)eq f(1blc(rc)(avs4alco1(f(1,8),2)eq f(9,16).故sin eq f(3,4).答案eq f(3,4)eq f(对应学生,用书P277)分层训练A级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1计算coseq blc(rc)(avs4alco1(f(11,3)_.解析coseq blc(rc)(avs4alco1(f(11,3)coseq blc(rc)(avs4al

27、co1(4f(,3)coseq f(,3)eq f(1,2).答案eq f(1,2)2(2012南京模拟)已知cos(x)eq f(3,5)，x(，2)，则tan x_.解析由cos(x)cos xeq f(3,5)，得cos xeq f(3,5)0，所以xeq blc(rc)(avs4alco1(，f(3,2).此时sin xeq f(4,5)，故tan xeq f(4,3).答案eq f(4,3)3设tan(5)m，则eq f(sin3cos,sincos)的值为_解析eq f(sin3cos,sincos)eq f(sin4cos ,sin cos )eq f(sincos ,sin c

28、os )eq f(sin cos ,sin cos )eq f(sin cos ,sin cos )eq f(tan 1,tan 1)，又tan(5)m，tan()m，tan m，原式eq f(m1,m1).答案eq f(m1,m1)4(2013苏州模拟)已知coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)eq f(2,3)，则sineq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)_.解析sineq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)sineq blcrc(avs4alco1(f(,2)blc(rc)(avs4alco1(f(,6)sineq blcrc(avs4

29、alco1(f(,2)blc(rc)(avs4alco1(f(,6)coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)eq f(2,3).答案eq f(2,3)5(2012镇江月考)已知cos()eq f(8,17)，eq blc(rc)(avs4alco1(，f(3,2)，则tan _.解析cos()cos eq f(8,17)，即cos eq f(8,17).又eq blc(rc)(avs4alco1(，f(3,2)，sin 0.所以sin eq r(1cos2)eq f(15,17).故tan eq f(sin ,cos )eq f(15,8).答案eq f(15,8)6(201

30、2揭阳模拟)已知sin cos eq f(1,8)，且eq f(,4)eq f(,2)，则cos sin 的值是_解析12sin cos (sin cos )2eq f(3,4)，又eq f(,4)eq f(,2)，sin cos .cos sin eq f(r(3),2).答案eq f(r(3),2)二、解答题(每小题15分，共30分)7已知sin(3)eq f(1,3)，求eq f(cos,cos cos1)eq f(cos2,sinblc(rc)(avs4alco1(f(3,2)cossinblc(rc)(avs4alco1(f(3,2)的值解因为sin(3)sin eq f(1,3)，

31、所以sin eq f(1,3).所以原式eq f(cos ,cos cos 1)eq f(cos2,sinblc(rc)(avs4alco1(f(3,2)coscos )eq f(1,1cos )eq f(cos ,cos2 cos )eq f(1,1cos )eq f(1,1cos )eq f(2,1cos2)eq f(2,sin2)eq f(2,blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)2)18.8(2012苏州模拟)已知0eq f(,2)，若cos sin eq f(r(5),5)，试求eq f(2sin cos cos 1,1tan )的值解因为cos sin eq f(r(5)

32、,5)，所以12sin cos eq f(1,5).所以2sin cos eq f(4,5)，所以(sin cos )212sin cos 1eq f(4,5)eq f(9,5).因为0eq f(,2)，所以sin cos eq f(3,5)eq r(5).由cos sin eq f(r(5),5)，sin cos eq f(3r(5),5)得sin eq f(2r(5),5)，cos eq f(r(5),5)，tan 2，eq f(2sin cos cos 1,1tan )eq f(2f(2r(5),5)f(r(5),5)f(r(5),5)1,12)eq f(r(5),5)eq f(9,5)

33、.分层训练B级创新能力提升1若xeq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)，则2tan xtaneq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)x)的最小值为_解析因为xeq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)，所以tan x0.所以2tan xtaneq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)x)2tan xeq f(1,tan x)2eq r(2)，所以2tan xtaneq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)x)的最小值为2eq r(2).答案2eq r(2)2已知sin xsin yeq f(1,3)，则sin ycos2x的最大值

34、为_解析因为sin xsin yeq f(1,3)，所以sin yeq f(1,3)sin x.又1sin y1，所以1eq f(1,3)sin x1，得eq f(2,3)sin x1.因此，sin ycos2xeq f(1,3)sin x(1sin2x)eq f(2,3)sin xsin2xeq blc(rc)(avs4alco1(sin xf(1,2)2eq f(11,12)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)sin x1)，所以当sin xeq f(2,3)时，sin ycos2x取最大值eq f(4,9).答案eq f(4,9)3(2012扬州调研)已知2tan si

35、n 3，eq f(,2)0，则coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)的值是_解析依题意得eq f(2sin2,cos )3，即2cos23cos 20，解得cos eq f(1,2)或cos 2(舍去)又eq f(,2)0，因此eq f(,3)，故coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)f(,6)cos eq f(,2)0.答案04(2012盐城模拟)已知coseq blc(rc)(avs4alco1(f(5,12)eq f(1,3)，且eq f(,2)，则coseq blc(rc)(avs4alc

36、o1(f(,12)_.解析coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,12)coseq blcrc(avs4alco1(f(,2)blc(rc)(avs4alco1(f(5,12)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(5,12).又eq f(,2)，所以eq f(7,12)eq f(5,12)eq f(,12).所以sineq blc(rc)(avs4alco1(f(5,12)eq f(2r(2),3)，所以coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,12)eq f(2r(2),3).答案eq f(2r(2),3)5已知函数f(x)coseq blc(rc)(

37、avs4alco1(f(,2)x)cos x.(1)若x0，求f(x)的值域；(2)若xeq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,6)，且sin 2xeq f(1,3)，求f(x)的值解(1)f(x)sin xcos xeq r(2)sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,4).因为x0，所以xeq f(,4)eq blcrc(avs4alco1(f(,4)，f(5,4)，所以eq f(r(2),2)sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,4)1，所以f(x)的值域为1，eq r(2)(2)因为f(x)2(sin xcos x)212sin xcos

38、x1sin 2xeq f(4,3)，且f(x)0，所以f(x)eq f(2r(3),3).6已知eq f(,2)x0，且sin xcos xeq f(1,5).(1)求sin xcos x的值；(2)求eq f(1,cos2xsin2x)的值解(1)法一联立方程，得eq blcrc (avs4alco1(sin xcos xf(1,5)，,sin2 xcos2 x1，)由得sin xeq f(1,5)cos x，将其代入，整理得25cos2x5cos x120.因为eq f(,2)x0，所以eq blcrc (avs4alco1(sin xf(3,5)，,cos xf(4,5)，)所以sin

39、xcos xeq f(7,5).法二由sin xcos xeq f(1,5)，得(sin xcos x)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,5)2，即12sin xcos xeq f(1,25)，所以2sin xcos xeq f(24,25).因为(sin xcos x)2sin2x2sin xcos xcos2x12sin xcos x1eq f(24,25)eq f(49,25)且eq f(,2)x0，所以sin x0，cos x0，所以sin xcos x0.由可知，sin xcos xeq f(7,5).(2)由已知条件及(1)可知eq blcrc (avs4alco

40、1(sin xcos xf(1,5)，,sin xcos xf(7,5)，)解得eq blcrc (avs4alco1(sin xf(3,5)，,cos xf(4,5).)所以tan xeq f(3,4).所以eq f(1,cos2xsin2x)eq f(sin2xcos2x,cos2xsin2x)eq f(tan2x1,1tan2x)eq f(blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)21,1blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)2)eq f(25,7).第3讲三角函数的图象与性质eq f(对应学生,用书P53)考点梳理1“五点法”作图(1)ysin x的图象在0,2上的五个

41、关键点的坐标为(0,0)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，1)，(，0)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，1)，(2，0)(2)ycos x的图象在0,2上的五个关键点的坐标为(0,1)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，0)，(，1)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，0)，(2，1)2正弦、余弦和正切函数的图象和性质(下表格中的kZ)函数ysin xycos xytan x图象定义域RReq blcrc(avs4alco1(x|xkf(,2)对称中心(k，0)eq blc(rc)(avs4alco1(k

42、f(,2)，0)eq blc(rc)(avs4alco1(f(k,2)，0)对称轴xkeq f(,2)xk无单调性eq blcrc (avs4alco1(2kf(,2)，2k)eq blc rc(avs4alco1(f(,2)为增；eq blcrc (avs4alco1(2kf(,2)，2k)eq blc rc(avs4alco1(f(3,2)为减eq blcrc(avs4alco1(2k，2k)为增；2k，2k为减eq blc(rc (avs4alco1(kf(,2)，k)eq blc rc)(avs4alco1(f(,2)为增奇偶性奇偶奇一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，

43、使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期)函数yAsin(x)或yAcos(x)(0且为常数)的周期Teq f(2,)，函数yAtan(x)(0且为常数)的周期Teq f(,).【助学微博】两条规律(1)周期性：yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为eq f(2,|)，ytan(x)的最小正周期为eq f(,|).(2)奇偶性：三角函数中奇函数一般可化为yAsin x或yAtan x，偶函数一般可化为yAcos xb的形式一个命题规律在高

44、考中主要考查三角函数的图象、周期性、单调性、对称性、有界性、奇偶性、函数的解析式与图象的关系以及三角函数图象的平移，题型以填空题为主，难度以容易、中档题为主，在对三角函数其他知识的考查中，直接或间接考查本讲的基本方法与技能考点自测1函数f(x)2sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,4)的最小正周期是_答案22(2012南通期末考试)已知函数f(x)3sineq f(x,2)，如果存在实数x1，x2，使得对任意的实数x，都有f(x1)f(x)f(x2)，则|x1x2|的最小值为_解析由题意|x1x2|的最小值为半周期，所以最小值为2.答案23(2012泰州期末考试)将函数y

45、sin 2x的图象向右平移个单位(0)，使得平移后的图象仍过点eq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)，f(r(3),2)，则的最小值为_解析由点eq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)，f(r(3),2)在ysin 2(x)上，得sineq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)2)eq f(r(3),2)，所以eq f(,6)k或k(kZ)又0，所以的最小值为eq f(,6).答案eq f(,6)4设点P是函数f(x)sin x(0)图象C上的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是eq f(,4)，则f(x)的最小正周期是_解析由正弦函数的图

46、象知对称中心与对称轴的距离的最小值为最小正周期的eq f(1,4)，故f(x)的最小正周期为T4eq f(,4).答案5如果函数y3cos(2x)的图象关于点eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)，0)中心对称，那么|的最小值为_解析2eq f(4,3)eq f(,2)k，kZ，eq f(13,6)k，kZ，|的最小值为eq f(,6).答案eq f(,6)eq f(对应学生,用书P54)考向一三角函数的定义域、值域【例1】 (1)函数yeq r(sin xcos x)的定义域为_；(2)函数y2cos2xsin x的值域为_(3)已知函数f(x)coseq blc(rc)(a

47、vs4alco1(2xf(,3)2sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,4)sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,4)，则函数f(x)在区间eq blcrc(avs4alco1(f(,12)，f(,2)上的范围为_解析(1)要使函数有意义，必须使sin xcos x0.法一利用图象在同一坐标系中画出0,2上ysin x和ycos x的图象，如图所示在0,2内，满足sin xcos x的x为eq f(,4)，eq f(5,4)，再结合正弦、余弦函数的周期是2，所以定义域为eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(f(,4)2k

48、xf(5,4)2k，kZ).法二利用三角函数线，如图MN为正弦线，OM为余弦线，要使sin xcos x，即MNOM，则eq f(,4)xeq f(5,4)(在0,2内)定义域为eq blcrc(avs4alco1(x|f(,4)2kxf(5,4)2k，kZ).法三sin xcos xeq r(2)sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,4)0，将xeq f(,4)视为一个整体，由正弦函数ysin x的图象和性质可知2kxeq f(,4)2k，kZ，解得2keq f(,4)xeq f(5,4)2k，kZ.所以定义域为eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs

49、4alco1(2kf(,4)xf(5,4)2k，kZ).(2)因为y2cos2xsin x22sin2xsin x2sin2xsin x22eq blc(rc)(avs4alco1(sin2xf(1,2)sin x)22eq blc(rc)(avs4alco1(sin xf(1,4)2eq f(17,8)，且1sin x1，所以1yeq f(17,8).故所求函数的值域为eq blcrc(avs4alco1(1，f(17,8)(3)由题意得：f(x)eq f(1,2)cos 2xeq f(r(3),2)sin 2x(sin xcos x)(sin xcos x)eq f(1,2)cos 2xe

50、q f(r(3),2)sin 2xsin2xcos2xeq f(1,2)cos 2xeq f(r(3),2)sin 2xcos 2xsineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6).又xeq blcrc(avs4alco1(f(,12)，f(,2)，2xeq f(,6)eq blcrc(avs4alco1(f(,3)，f(5,6)，sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6)eq blcrc(avs4alco1(f(r(3),2)，1).答案(1)eq blcrc(avs4alco1(2kf(,4)，2kf(5,4)(kZ)(2)eq blcrc(avs4alc

51、o1(1，f(17,8)(3)eq blcrc(avs4alco1(f(r(3),2)，1)方法总结 (1)对于含有三角函数式的(复合)函数的定义域，仍然是使解析式有意义即可(2)求三角函数的定义域常常归结为解三角不等式(或等式)(3)求三角函数的定义域经常借助两个工具，即单位圆中的三角函数线和三角函数的图象，有时也利用数轴(4)求三角函数最值，可以转化为yAsin(x)或二次函数在某个区域内的最值问题【训练1】 (1)函数yeq f(tan x,1tan2x)的定义域为_；(2)函数yeq r(sincos x)的值域为_解析(1)因为eq blcrc (avs4alco1(xkf(,2)，

52、,1tan2x0，)所以eq blcrc (avs4alco1(xkf(,2)，,tan x1，)所以eq blcrc (avs4alco1(xkf(,2)，,xkf(,4)kZ.)所以f(x)的定义域为eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(xkf(,2)且xkf(,4)，kZ).(2)由sin(cos x)0，得0cos x1.又ysin x在0,1上单调递增，所以0sin(cos x)sin 1，所以y0，eq r(sin 1)，所以f(x)的值域为0，eq r(sin 1)答案(1)eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4al

53、co1(xkf(,2)，xkf(,4)，kZ)(2)eq blcrc(avs4alco1(0，r(sin 1)考向二三角函数的单调性、周期性【例2】 (1)写出下列函数的单调区间及周期：ysineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,3)；y|tan x|.(2)(2012南京市学情调研)已知函数f(x)2eq r(3)sin xcos x2sin2 x.求函数f(x)在区间eq blcrc(avs4alco1(f(,6)，f(,4)上的最大值和最小值解(1)ysineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,3)，它的增区间是ysineq blc(rc)(avs4alco

54、1(2xf(,3)的减区间，它的减区间是ysineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,3)的增区间由2keq f(,2)2xeq f(,3)2keq f(,2)，即keq f(,12)xkeq f(5,12)，kZ.由2keq f(,2)2xeq f(,3)2keq f(3,2)，得keq f(5,12)xkeq f(11,12)，kZ.故所给函数的减区间为eq blcrc(avs4alco1(kf(,12)，kf(5,12)，kZ；增区间为eq blcrc(avs4alco1(kf(5,12)，kf(11,12)，kZ.最小正周期Teq f(2,2).作出y|tan x|的图象

55、，观察图象可知，y|tan x|的增区间是eq blcrc)(avs4alco1(k，kf(,2)，kZ，减区间是eq blc(rc(avs4alco1(kf(,2)，k)，kZ.最小正周期T.(2)f(x)eq r(3)sin 2x12sin2x1eq r(3)sin 2xcos 2x12sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6)1.因为xeq blcrc(avs4alco1(f(,6)，f(,4)，所以2xeq f(,6)eq blcrc(avs4alco1(f(,6)，f(2,3)，所以当2xeq f(,6)eq f(,6)，即xeq f(,6)时，f(x)min2；

56、当2xeq f(,6)eq f(,2)，即xeq f(,6)时，f(x)max1.故函数f(x)在区间eq blcrc(avs4alco1(f(,6)，f(,4)上的最小值为2，最大值为1.方法总结 求形如yAsin(x)k的单调区间时，只需把x看作一个整体代入ysin x的相应单调区间内即可，注意先把化为正数类似求yAcos(x)和yAtan(x)的单调区间【训练2】 求下列函数的单调区间：(1)yeq f(1,2)sin eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)f(2x,3)；(2)yeq blc|rc|(avs4alco1(sinblc(rc)(avs4alco1(xf(,4

57、).解(1)yeq f(1,2)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)f(2x,3)eq f(1,2)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(2x,3)f(,4)，因为函数ysin x的递增区间是eq blcrc(avs4alco1(2kf(,2)，2kf(,2)(kZ)，递减区间是eq blcrc(avs4alco1(2kf(,2)，2kf(3,2)(kZ)，故由2keq f(,2)eq f(2x,3)eq f(,4)2keq f(,2)3keq f(3,8)x3keq f(9,8)(kZ)，由2keq f(,2)eq f(2x,3)eq f(,4)2keq

58、f(3,2)3keq f(9,8)x3keq f(21,8)(kZ)，函数的递减区间为eq blcrc(avs4alco1(3kf(3,8)，3kf(9,8)(kZ)，递增区间为eq blcrc(avs4alco1(3kf(9,8)，3kf(21,8)(kZ) (2)作出函数yeq blc|rc|(avs4alco1(sinblc(rc)(avs4alco1(xf(,4)的简图(如图)，由图象得函数的递增区间为eq blcrc(avs4alco1(kf(,4)，kf(3,4)(kZ)，递减区间为eq blcrc(avs4alco1(kf(,4)，kf(,4)(kZ)考向三三角函数的奇偶性、对称

59、性【例3】 (1)(2012泰州模拟)已知f(x)sin xeq r(3)cos x(xR)，函数yf(x)eq blc(rc)(avs4alco1(|f(,2)的图象关于直线x0对称，则的值为_(2)设函数f(x)2sin(2x)eq blc(rc)(avs4alco1(0f(,2)与y轴的交点为(0，eq r(3)，则下列结论：图象关于点eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)，0)对称；图象关于直线xeq f(,12)对称；在eq blcrc(avs4alco1(0，f(,6)上是增函数；f(x)图象向左平移eq f(,12)个单位所得函数为偶函数，其中所有正确的结论序号是_

60、解析(1)f(x)2sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,3)，yf(x)2sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,3)图象关于x0对称，即f(x)为偶函数eq f(,3)eq f(,2)k，kZ，keq f(,6)，kZ，又|eq f(,2)，eq f(,6).(2)由题意，得2sin eq r(3)，00)，将yf(x)的图象向右平移eq f(,3)个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则的最小值等于_解析将yf(x)的图象向右平移eq f(,3)个单位长度后得到ycoseq blcrc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(xf(,3)