《数值计算方法》试题集及答案(16)2

1、 计算方法期中复习试题 # 、填空题：1、已知f1.0,f12f1.3,则用辛普生(辛卜生)公式计算求得用三点式求得广(1),答案：2.367，0.252、f(1)T，f2,f1，则过这三点的二次插值多项式中x2的系数为拉格朗日插值多项式为。答案：-1，L2(x)2(x2)(x3)2(x1)(x3)2(x1)(x2)3、近似值x*0.231关于真值x0.229有(2)位有效数字；4、设f(x)可微，求方程xf(x)的牛顿迭代格式是();xf(x)x=x答案n+1n1广(xn)5、对f(x)=x3+x+差商f0，1，2,3=(1),f0，1，2,3,4=(0)；6、计算方法主要研究(截断)误差和

2、(舍入)误差；7、用二分法求非线性方程f(x)=0在区间(a,b)内的根时，二分n次后的误差限为ba2n+1)；8、已知f(1)=2,，(2)=3,，(4)=5.9,则二次Newton插值多项式中x2系数为(0.15)；11、两点式高斯型求积公式0f(x)dxJ101313+1f(x)dx，2f(23)f(23)，代数精 #度为(5)；12、y=10+为了使计算x1(x1)2(x1)3的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为y=10+(3+(46t)t)t,t=，为了减少舍入误差，应将表达式 22001-1999改写为2001+199913、用二分法求方程f(x)=x3+x-1=0在区间0,1

3、内的根，进行一步后根的所在区间为0.5,1，进行两步后根的所在区间为0.5,0.7514、11xdx计算积分，取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为0.4268,用辛卜生公式计算求得的近似值为0.4309，梯形公式的代数精度为1,辛卜生公式的代数精度为3。15、设f(0)=0,f(1)=16,f=46,则l1(x),l1(x),x(x2)，f(x)的二次牛顿插值多项式为_N2(x),16x+7x(x-1)_016、Jbf(x)dxAf(xk)求积公式ak，0的代数精度以(高斯型)求积公式为最高，具有(2n+1)次代数精度。17、18、19、(已知f(1)=1f(3)=5f(5)=-3,用

4、辛普生求积公式求12)。设f(1)=1，f：2)=2,f=0,用三点式求广(如果用二分法求方程x3+x-4=0在区间1，2内的根精确到三位小数，需对分10)次。2.5)020、a=(x3(x1)3+a(x1)2+b(x1)+c1x312是三次样条函数，则)，b=(3S(x)，已知3)，b=(3)，c=(110(x)，少)，Zn(x)是以整数点x0,x1，xn为节点的Lagrange插值基函数，则x1(x)，kjk，0)。21、nlkk，0(x4+x2+3)l(x)，kkk(xj)k，022、数。)。区间，上的三次样条插值函数S(x)在，上具有直到2阶的连续导23、改变函数f(x)二x+1x(x

5、1)的形式，使计算结果较精确f6)=124、x+1+x。若用二分法求方程兀匸0在区间1,2内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分J0次。S(x)=2x3,0 x选择题、三点的高斯求积公式的代数精度为(B)。25、设，x3+ax2+bx+c，1x2是3次样条函数，则a=3,b=-3,c=1J1exdx26、若用复化梯形公式计算o，要求误差不超过10-6,利用余项公式估计，至少用477个求积节点。27、若f(兀)=3兀4+2兀+1，贝嵯商f2,4,8,16,32二328、数值积分公式J1f(x)dx0(B)f(x)f(x)0(C)f(x)f(x)0(D)f(x)f(x)0000013、为求方程x

6、3x21=0在区间1.3,1.6内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A)。x2(A)迭代公式：x，k+11x1k # 11x，1+一,迭代公式：x，1+一(B)x2k+1*(C)x3，1+x2,迭代公式x=(1+x2)1/3k+1kx31，x2,迭代公式:(D)xk+1x2kx2+x+1kkbf(x)dx(ba)工C(n)f(x)14、在牛顿-柯特斯求积公式：ai-0中，当系数Ci(n)是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当()时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。(1)n8，(2)n7，(3)n10，(4)n6，23、有下列数表x00.511.5

7、22.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所确定的插值多项式的次数是()。1)二次；(2)三次；(3)四次；(4)五次15、取31732计算x=(：3-1)4，下列方法中哪种最好？()1616(A)28-皿3；(B)(4-2內2；(C)(4+2J3)2；)肯+1)4。x30 x2S(x)=26、已知2(x一1)3+a(x一2)+b2x4是三次样条函数，则a，b的值为17、形如度为(A)9；bf(x)dxA1f(x1)+A2f(x2)+A3f(x3)的高斯(Gauss)型求积公式的代数精18、(A)(B)7(C)5；(D)3。计算、：3的Newton迭代格式为(x3x3X=k+X=k+

8、-k+12xk+1k；(B)22xk；(C)x2=k+k+12xk；(D)x3X=k+-k+13x。k。X11.522.533.51f(X)-1052.55.08.0115(D)8，8。(C)3；(B)4；(D)2。()(A)6，6；(B)6，8；(C)8，616、由下列数表进行Newton插值，所确定的插值多项式的最高次数是(A)5； 1=X10-3TOC o 1-5 h z19、用二分法求方程X3+4X2-10=0在区间1，2内的实根，要求误差限为2，则对分次数至少为()(A)10；(B)12；(C)8；(D)9。kl(k)=20、设lt(X)是以Xk=k(k=丄，9)为节点的Lagran

9、ge插值基函数，则k=o()(A)X；(B)k；(C)i；(D)1。33、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式，至少具有()次代数精度(A)5；(B)4；(C)6；(D)3。c/、X30 x2S(x)=21、已知l2(X_1)3+a(x_2)+b2X4是三次样条函数，则a,b的值为()(A)6，6；(B)6，8；(C)8，6；(D)8，8。35、已知方程X3-2X-5=0在X=2附近有根，下列迭代格式中在Xo=2不收敛的是()(A)Xk+1Xk+1=X3x5kkX(D)2X3+5k3X22kX01234f(X)1243-522、由下列数据(B)(C)Xk+19确定的唯一插值多项式的次数为()(A)4

10、；(B)2；(C)1；(D)3。TOC o 1-5 h z23、5个节点的Gauss型求积公式的最高代数精度为（）（A）8；（B）9；（C）10；（D）11。三、是非题（认为正确的在后面的括弧中打，否则打x）1、已知观察值（xi，yi）（i，A2B，2,，m）,用最小二乘法求n次拟合多项式Pn（x）时，Pn（x）的次数n可以任意取。（）x22、用1-122A+B=-近似表示cosx产生舍入误差。（）（兀兀）（兀兀2）3、（X1-x）（X1-x2）表示在节点X1的二次（拉格朗日）插值基函数。（）4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果（）311、-2535、矩

11、阵A=If(x)dx沁Af(-1)f(1)Bf(-2)+-122I23丿具有严格对角占优。（）1、求A、B使求积公式J的代数精度尽量高，并求其代数精度；利用此公式求1dxx（保留四位小数）。四、计算题： #答案：f（x）,1，x，x2是精确成立，即 # #得A,9,B,9 # #求积公式为J1811f(x)dx，-f(-1)f(1)-f(-)-199221当f（x）,x3时，公式显然精确成立；当f（x）,x4时，左=5,右=3。所以代数精度为3。 #1 21t=2x3dx=1x1丄dt!1+丄+-1,1-11,39-1,31,39-1/2,312,3=ZL0.692862、已知140 #1 #

12、 1 #xi134f(x)i26554分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求f(x)的三次插值多项式P3(x),并求f(2)的近似值(保留四位小数)。L(x)=2(X-3)(X-4)(X-5),6(X-1)(X-4)(X-5)答案：3(1-3)(1-4)(1-5)(3-1)(3-4)(3-5),5(x-1)(x-3)(x-5),4(x-1)(x-3)(x-4)(4-1)(4-3)(4-5)(5-1)(5-3)(5-4)差商表为xiyi一阶均差二阶均差三阶均差1236245-1-154-1014P(x)二N(x)二2+2(x-1)-(x-1)(x-3)+i(x-1)(x-3)(x-4)334f(2)

13、P(2)二5.535、已知xi-2-1012f(x)i42135求f(x)的二次拟合曲线P2(x)，并求广()的近似值。答案：解：ixiyix2ix3ix4ixyiix2yii0-244-816-8161-121-11-22201000003131113342548161020015100343411535a+10a0210a1正规方程组为10a+34a024110a,a0713,a1021111p(x)10+Ax+x227101411p(x)A+x21073广(o)p；(o)106、已知sinx区间0.4,0.8的函数表IR2(x)13!I3(x)1x.i0.40.50.60.70.8yi0

14、.389420.479430.564640.644220.71736如用二次插值求sinO.63891的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。答案：解：应选三个节点，使误差尽量小，即应使13(兀)1尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点0.5,0.6,0.7最好，实际计算结果sin0.63891沁0.596274且sin0.63891-0.59627413!(0.638910.5)(0.6389190.6)(0.638910.7)0.55032x10-4 1 #7、构造求解方程ex，10X-20的根的迭代格式xn+i7(xn)，n丄2,，讨论其收敛性，并将根求出来，R

15、(n)(f)_X10一4要求近似值有5位有效数字，只须误差12.Xn+1-Xn10-4。答案：解：令f(x)ex+10 x-2,f(0)-20,f(1)10+e0.且广(x)ex+100对冷w(8,+Q，故/(x)0在(0,1内有唯一实根.将方程f(x)0变形为x丄(2ex)10则当xe(0，1)时axaQ(x)加ex)，1g)|-10币1故迭代格式1x(2exn)n+110收敛。取x00.5，计算结果列表如下：n0123xn0.50.0351278720.0964247850.089877325n4567xn0.0905959930.0905173400.0905259500.0905250

16、08且满足Ix7x610.0000009510-6所以x*0.09052500810、已知下列实验数据xi1.361.952.16f(xi)16.84417.37818.435试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。解：当0 x1时，f(x)ex,则f(x)e，且exdx有一位整数.(b，a)312n2 1 #Rin)(f)只要R(n)(ex)102=67.308776所以n二68,因此至少需将0,168等份。12、取节点x0=0,x1=0.5,x2=1，求函数f（x）=e，x在区间0,1上的二次插值多项式P2（x）,并估计误差。解：P(x)=e，0(x0.5)(xD+e，0.5(x0)(x

17、】)(00.5)(01)(0.50)(0.51)+e，1(x一0)(x一5)(1-0)(1-0.5)=2(x0.5)(x1)4e0.5x(x1)+2e_1x(x0.5)f(x)=e-x，广(x)=一e-x,M=maxIf(x)I=1又3x日0,1IR(x)I二Ie-x-P(x)l丄丨x(x-0.5)(x-1)I故截断误差223!14、给定方程/（x）=（x-1）ex-1=01）分析该方程存在几个根；2）用迭代法求出这些根，精确到5位有效数字；3）说明所用的迭代格式是收敛的。解：1）将方程（x-1）ex-1=0（1）改写为x1=e,x（2）作函数f1（x）=x_1，f2（x）=e，x的图形（略）

18、知（2）有唯一根x*G（1，2）。2）将方程（2）改写为构造迭代格式%二1.5(k=0,12) 1 #Ix=1e-xkk+1计算结果列表如下：k123456789xk1.223131.294311.274091.279691.278121.278561.278441.278471.278463)甲(x)=1+ex甲，(x)=ex当xg1,2时，申(x)g申(2),申(1)u1,2,且I*(x)e-11所以迭代格式xk+i=(xk)(k二2)对任意xog1,2均收敛。15、用牛顿(切线)法求3的近似值。取x0=1.7，计算三次，保留五位小数。解：3是f(x)二x23二0的正根，广(x)二2x，牛

19、顿迭代公式为x23x=xn+1n2x，n，x3x=n+一n+122xn(n二0,1,2,)n123xn1.732351.732051.73205取x0=1.7,列表如下：16、已知f(-1)=2,f(1)=3,f=-4，求拉格朗日插值多项式L2(x)及f(1，5)的近似值,取五位小数。解：L(x)=2x(x1)(x2)+3x(x1)(x-2)4x(x1)(x-D2(11)(12)(1+1)(12)(2+1)(21)17、234二-(x1)(x2)-(x+1)(x2)-(x+1)(x1)3231f(1.5)qL(1.5)二q0.041672241xn=3,用复合梯形公式求0的近似值(取四位小数)

20、，并求误差估计。解：110J1exdxqT=e0+2(e13+e23)+e11.7342032x3f(x)=ex,f(x)=ex，0 x1时，Ifx)e 1 #eeIRl=lex-T=0.0251,故发散。，1.3572x，1.3309x，1.3259x，1.3249234x，1.324726(x)，- #1 #(x)，- 1 #25、数值积分公式形如xf(x)dx-S(x),Af(0)Bf(1)CC(0)D(1)试确定参数A,B,C,D使公式代数精度尽量高；设f(x)eC40，1,推导余项公式恥)Txf(x)dx-S(x),并估计误差。TOC o 1-5 h z3711A,B,B,D，解：将

21、f(x),1x，x2,x3分布代入公式得：20203020JH3(x)，f(x)其中构造Hermite插值多项式H3(x)满足0)的迭代公式为: 1 #1aX(X+k+12kXk0k0,1,2证明：对一切k1,2,Xk从而迭代过程收敛。1(丄a、12x(x+)x2x证明：k,12kxk2故对一切k1,2,x且序列k是单调递减的，ak0,1,21(1,_1)1(1,1)1又xk2x22所以xk,1xk，即序列是单调递减有下界，从而迭代过程收敛。29、(9分)数值求积公式Pf(力2f(1)+f(2)是否为插值型求积公式？为什么？其代数精度是多少？x2x1、p(x)xf(1)+一xf(2)解：是。因

22、为f(x)在基点1、2处的插值多项式为12丿21丿J3p(x)dx3f(1)+f(2)o2八丿丿。其代数精度为1。30、(6分)写出求方程4xcosC)+1在区间0,1的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。x(6分)6(x)=11+COS(x)n,1n4n,n=0,1,2,16(x)=1sin(x)1O11414对任意的初值xo0，1，迭代公式都收敛。31、(12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算沁10+0.0476190(115100)0.0000941136(115100)(115-121)=10.7227555的近似值，并利用余项估计误差。用Newton插值方法：差分表

23、：1001211441011120.04761900.04347830.0000941136R=3!(JC)=3x，；100)115-121)115-1441351002156290.0016368I皿dx32、（10分）用复化Simpson公式计算积分o=(2.0000,3.0000,5.0000的近似值，要求误差限为0.510-5。=0.94614588=0.94608693詁)+4f4卜2f2卜4f4I，S2115SS=0.39310-521IS=0.946086932或利用余项：x2x4x6x8+3!5!7!9!f(4)X)=1一x2+572!94! 1 # #1 #IS2R=28上f(4)需2510，5，“2,33、（10分）用Gauss列主元消去法解方程组:x+4x+2x=24123V3x+x+5x=341232x+6x+x=271233.00001.00005.000034.00000.00003.66670.333312.66670.00005.3333-2.33334.33333.00001.00005.000034.00