0线代B序言 1.1 n 阶行列式的概念(上课)xg

1、线性代数数学与信息学院山东省泰安市新泰市山东省曲阜师大数学系,1998年武汉大学数学与统计学院,2002年鲁东大学数学与信息学院,2005年4123个人简介baiqinxi98163 5柏钦玺线性代数序言 线性代数（Linear Algebra）起源于处理线性关系问题，它是代数学的一个分支，形成于20世纪“线性”一词源于平面解析几何中一次方程是直线方程，在这里的意思是指数学变量之间的关系是以一次形式来表达的例如 x-y+1=0，xy0 x+y-1=0;线性代数序言 线性代数（Linear Algebra）起源于处理线性关系问题，它是代数学的一个分支，形成于20世纪“线性”一词源于平面解析几何中

2、一次方程是直线方程，在这里的意思是指数学变量之间的关系是以一次形式来表达的不过直到1819世纪期间，随着研究线性方程组和变量线性变换问题的深入，才先后产生了行列式和矩阵的概念，为处理线性问题提供了强有力的理论工具，并推动了线性代数的发展教材与参考资料1、本书的学习光盘。2、吴赣昌线性代数理工版第三版完整版。3、数苑网 ； math123 ;4、图书馆与线性代数相关的书籍。教材目录线性代数的主要内容 行列式、矩阵、线性方程组、向量组、特征值与特征向量、二次型、线性空间。 行列式与矩阵是其基本理论基础 线性代数B课程，只学习前四章的内容线性代数的课程任务与目标线性代数课程主要讨论有限维线性空间的线

3、性理论，具有较强的抽象性与逻辑性。通过本课程的学习，要掌握科学研究中常用的矩阵方法、线性方程组、二次型等理论及有关基本知识，并具有熟练的矩阵运算能力和用矩阵方法解决一些实际问题的能力，从而为学习后继课程及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础，同时使学生抽象思维能力受到一定的训练。线性代数的特点 以离散变量为研究对象 具有较强的抽象性、逻辑性和应用性，其抽象度之高使得其学习理解的难度远在微积分或高数之上 线性代数以矩阵、n维向量和线性方程组为其三条知识主线，虽然它们抽象源自不同的对象，但对同一事物经常用这三种语言从不同的角度给于诠释授课方式与能力培养1. 教学组织 以课堂讲解为主，采用多媒体结

4、合板书的方式教学 注重讲解知识背景、结构与应用2. 能力培养 归纳总结的能力 演绎推理的能力 准确计算的能力 抽象的能力 联想的能力 学习新知识的能力 创新的能力 口头和书面表达的能力 灵活应用数学软件的能力 提出问题、分析问题、解决问题的能力 学习要求 保持主动学习的精神 积极探索概念、定理的内涵与关联。在基本概念上多下功夫。勤于思考，培养能力。 提升上课的学习效率 一定要做到课前预习，认真听讲,课后复习并配合做课后练习题。15%25%60% 多与教师的交流、加强同学之间的合作 多提出问题、讨论问题。 认真独立地完成作业 勤思多练内容安排 本章主要在二阶、三阶行列式的基础上，建立起 n 阶行

5、列式的理论：n 阶行列式的定义、性质和计算方法，最后将介绍 n 阶行列式的一个应用克拉默法则，用来求解一类特殊的n元线性方程组. 第一章 行列式第一章 行列式n 阶行列式的概念行列式按行按列展开Cramer法则 、习题课行列式的性质5 行列式简介行列式(determinant)是一个重要的数学工具，它起源于求解线性方程组，不仅在数学中有广泛的应用，在其他学科中也经常遇到行列式的概念，最早是由17世纪日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部叫做解伏题之法的著作，意思是“解行列式问题的方法”，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述.欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家 Leib

6、niz（莱布尼茨） (1693年)关孝和行列式简介1750年,瑞士数学家Cramer(克拉默、克莱姆) 发表了著名的用行列式解线性方程组的克拉默法则首先将行列式的理论脱离开线性方程组的是数学家Vandermonde(范德蒙德)，1772年他对行列式做出连贯的逻辑阐述法国数学家Cauchy(柯西)于1841年首先创立了现代的行列式概念和符号，包括行列式一词的使用，但他的某些思想和方法是来自Gauss(高斯)的德国数学家Jacobi(雅可比)于1841年总结并提出了行列式的系统理论.在行列式理论的形成与发展的过程中做出过重大贡献的还有拉格朗日、维尔斯特拉斯、西尔维斯特和凯莱等数学家1.1 n 阶行

7、列式的概念一、 二阶与三阶行列式 二、 排列 三、 n 阶行列式的概念一、 二阶与三阶行列式2、三元线性方程组与三阶行列式1、二元线性方程组与二阶行列式提示:a11a22x1+a12a22x2=b1a22 a22a11x1+a12x2=b1a12a12a21x1+a12a22x2=a12b2 a21x1+a22x2=b2(a11a22-a12a21)x1=b1a22-a12b2 1、二元线性方程组与二阶行列式 用消元法解二元线性方程组a11x1a12x2b1a21x1a22x2b2 得当a11a22-a12a210时，b1b2a12a22a11a21a12a22 x1a11a21 b1 b2a

8、11a21a12a22 x2a11a21a12a22 我们用符号 表示代数和a11a22a12a21 这样就有1、二元线性方程组与二阶行列式 用消元法解二元线性方程组a11x1a12x2b1a21x1a22x2b2 得当a11a22-a12a210时，a11a21a12a22行列式中的相关术语 用符号 表示代数和a11a22a12a21 并称它为a11a21a12a22二阶行列式 行列式的行、列、行标、列标、元素、主对角线、副对角线 对角线法则 a12a21=a11a22 二阶行列式是主对角线上两元素之积减去副对角线上两元素之积所得的差 1、二元线性方程组与二阶行列式 其中aij是指第i行第j

9、列的元素，也称 (i,j)元.b1b2a12a22a11a21a12a22 x1a11a21 b1 b2a11a21a12a22 x2a11a21a12a22 我们用符号 表示代数和a11a22a12a21 这样就有1、二元线性方程组与二阶行列式 用消元法解二元线性方程组a11x1a12x2b1a21x1a22x2b2 得当a11a22-a12a210时， 我们用符号 表示代数和a11a21a31a12a22a32a13a23a33 D=a11a22a33a12a23a31a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31 其中 D1=b1a22a33a12a23b3a1

10、3b2a32b1a23a32a12b2a33a13a22b3 D2=a11b2a33b1a23a31a13a21b3a11a23b3b1a21a33a13b2a31 D3=a11a22b3a12b2a31b1a21a32a11b2a32a12a21b3b1a22a31 方程组 a11x1a12x2a13x3b1a21x1a22x2a23x3b2a31x1a32x2a33x3b3的解为 a11a22a33a12a23a31a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31 2、三元线性方程组与三阶行列式 我们用符号 表示代数和a11a21a31a12a22a32a13a23

11、a33 a11a22a33a12a23a31a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31 并称它为三阶行列式 行列式中的相关术语 对角线法则 行列式的元素、行、列、行标、列标、主对角线、副对角线 a11a22a33a12a23a31a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a312、三元线性方程组与三阶行列式 a11a22a33a12a23a31a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31 例1.1 计算三阶行列式 1-2-3224-41-2D= 按对角线法则 有 解 46324824(4)2(3)(4)(2)4D

12、12(2)21(3)1142(2)(2)14 例1.2 求解方程 1241391xx2=0 由x25x60解得 解 方程左端的三阶行列式x25x6D3x24x189x2x212x2或x3 a11a22a33a12a23a31a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31 二阶与三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的.对角线法则二阶与三阶行列式的计算二阶与三阶行列式小结a11a22a33a12a23a31a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31a11a21a12a22a12a21=a11a22只适用于二阶与三阶行列式思考 观察与思考

13、a11a22a33a12a23a31a13a21a32 a11a23a32a12a21a33a13a22a31.a11a21a31a12a22a32a13a23a33 三阶行列式存在什么规律? 为了给出n阶行列式的定义 我们要先研究三阶行列式的结构 观察与思考 a11a22a33a12a23a31a13a21a32 a11a23a32a12a21a33a13a22a31.a11a21a31a12a22a32a13a23a33 三阶行列式存在什么规律?三阶行列式的结构 (2)行列式右边任一项不同行不同列的三个元素的乘积,其中 p1 p2 p3 是1、2、3的某个排列 (3)各项所带的正负号还需要

14、确定. (1)共有6 项.思考 除正负号外可以写成举例 把自然数1,2,3, , n 这n个不同元素排成一列 称为一个n级排列(简称排列) 1、排列 由1 2 3组成的所有排列为321312231213132123 122是排列吗? n个不同元素的所有排列的总数 通常用Pn表示 Pn的计算公式 Pnn(n1)(n2) 321n! 二、 排列 在一个排列中 如果某两个元素的先后次序与标准排列的次序不同 就说有1个逆序 2、标准排列 在n个自然数的排列中，排列123 n，称为标准排列 3、逆序与逆序数 换句话说， 在一个排列 p1 ps pt pn 中，若数 ps pt ，则称 这两个数构成1个逆

15、序.一个排列中所有逆序的总数，叫做这个排列的逆序数 在一个排列中 如果某两个元素的先后次序与标准排列的次序不同 就说有1个逆序 一个排列中所有逆序的总数，叫做这个排列的逆序数 2、标准排列 在n个自然数的排列中，排列123 n，称为标准排列 3、逆序与逆序数 在排列p1p2 pn中 如果 pi 的前面有 ti 个大于 pi 的数 就说元素 pi 的逆序数是 ti 逆序数的计算 排列的逆序数为tt1t2 tn 举例 在排列32514中t51 t43t30t21t10排列32514的逆序数为t010315 标准排列12345的逆序数是多少? 在一个排列中 如果某两个元素的先后次序与标准排列的次序不

16、同 就说有1个逆序 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数 2、标准排列 在n个自然数的排列中，排列123 n，称为标准排列 3、逆序与逆序数 举例 排列32514的逆序数是5 它是奇排列 标准排列12345的逆序数是0 它是偶排列 逆序数为奇数的排列，叫做奇排列 逆序数为偶数的排列，叫做偶排列 4、奇排列与偶排列此排列为偶排列.例 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性. 解 解当n=4k,4k+1时,为偶排列；当n=4k+2,4k+3时,为奇排列.例 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性. 在排列中 将任意两个元素对调 其余的元素不动，就得到另一个排列，这种对排列的变换方法称为

17、对换。 将相邻两个元素对换 叫做相邻对换5、对换举例 在排列21354中 对换1与4 排列21354的逆序数是2 经过对换 排列的奇偶性发生了变化得到的排列是24351 排列24351的逆序数是5 定理 任意一个排列，经过一次对换后，奇偶性改变。推论 n（n1）级排列中，奇排列、偶排列各一半。 返回观察与思考 a11a22a33a12a23a31a13a21a32 a11a23a32a12a21a33a13a22a31.a11a21a31a12a22a32a13a23a33 三阶行列式存在什么规律?三阶行列式的结构 (再思考) 其中 p1 p2 p3 是1、2、3的某个排列 (3)各项所带的正

18、负号 (1)共有6 项，即 3！项，可以表示为(1)t 其中 t 为列标排列的逆序数 (2)行列式右边任一项不同行不同列的三个元素的乘积,除正负号外可以写成三阶行列式的结构 (再思考) 其中p1p2p3是1、2、3的某个排列 (3)各项所带的正负号可以表示为(1)t 其中t为列标排列的逆序数 三阶行列式可以写成 其中t为排列p1p2p3的逆序数 表示对1、2、3三个数的所有排列p1p2p3取和 (1)共有6 项，即 3！ 项， (2)行列式右边任一项不同行不同列的三个元素的乘积,除正负号外可以写成三、 n 阶行列式的定义 通过研究三阶行列式的结构我们给出n阶行列式的定义 n阶行列式的定义 称为

19、n阶行列式. 符号n阶行列式的定义 特别规定:一阶行列式|a|的值就是a 由这n2个数aij (i j1 2 n)构成的所有取自不同行不同列元素乘积的代数和它表示其中p1p2 pn为自然数1 2 n的一个排列 t为这个排列的逆序数 表示对所有排列 p1p2 pn 取和 简记为det(aij) 或|aij| 符号称为n阶行列式.说明1、行列式是一种特定的算式，最初是根据求解方程个数和未知量个数相同的线性方程组的需要而定义的;4、一阶行列式 ，不要与绝对值记号相混淆 .3、n阶行列式是 n!项的代数和;2、n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 n个元素的乘积;每项做(n-1)次乘法 .其中 t

20、 为 行标排列 p1p2 pn 的逆序数 n阶行列式也可定义为等价定义1 n 阶行列式的等价定义观察与思考 a11a22a33a12a23a31a13a21a32 a11a23a32a12a21a33a13a22a31.a11a21a31a12a22a32a13a23a33 三阶行列式a11a22a33a31a12a23a21a32a13 a11a32a23a21a12a33a31a22a13.其中 t 为 行标排列 p1p2 pn 的逆序数 n阶行列式也可定义为等价定义1 n 阶行列式的等价定义 n阶行列式也可定义为等价定义2 n 阶行列式的等价定义例 六阶行列式中的一项,应带什么符号？所以

21、,带正号.所以,带正号.三法二法解: 一法所以,带正号.例3.1 变形: 当 i , j 取何值时,下面六阶行列式中的一项带正号？分析:或然后再去判断。 例3.2 证明行列式 解 因为它的列标排列为排列123 n 其逆序数为0 所以在它前面带有正号 要使取自不同行不同列的n个元素的乘积不为零第一行只能取a11 而 p1 = 1 第二行只能取a22 而 p2 = 2 第三行只能取a33 而 p3 = 3 第n行只能取ann 而 pn= n 这样的乘积项只有一个 即a11a22a33 ann因此Da11a22a33 ann下三角形行列式n阶行列式的一般项为 注意:下三角形、上三角形及对角形行列式的

22、值等于主对角线上所有元素的乘积上三角形行列式对角形行列式 解 例3.3 证明n阶行列式反对角形行列式 因为它的列标排列为排列n(n1) 21 其逆序数为 要使取自不同行不同列的n个元素的乘积不为零第一行只能取 1 而 p1 = n 第二行只能取 2而 p2 = n-1 第n行只能取 n 而 pn= 1 这样的乘积项只有一个 即12 n n阶行列式的一般项为 t012 (n1) 因此 思考 1、证明n阶反下三角形行列式2、证明n阶反上三角形行列式对角线法则二阶与三阶行列式的计算知识点小结a11a22a33a12a23a31a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31a

23、11a21a12a22a12a21=a11a22只适用于二阶与三阶行列式n阶行列式的定义上三角形行列式对角形行列式下三角形行列式几个常用的行列式的结论上页下页返回n阶反下三角形n阶反上三角形n阶反对角形几个常用的行列式的结论 掌握排列、逆序数、奇偶排列、对换等概念，会计算排列的逆序数 掌握二阶与三阶行列式的概念，会计算二阶与三阶行列式 理解n 阶行列式的概念，会用定义计算一些特殊的行列式学习要求按定义计算行列式要做的运算次数 前面我们给出了行列式的定义，下面我们讨论一下按定义计算一个行列式所要做的工作 首先，要做(n-1)n!次乘法， 还要计算每一项的符号， 另外再把这n!项加起来，做（n!1

24、）次加法2、n阶行列式是 n!项 的代数和;1、n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 n个元素的乘积，每项做(n-1)次乘法。我猜我猜我猜猜 计算一个18阶的行列式，以每天24小时的工作量用1秒做1亿次乘法运算的计算机，大概需要约 的时间！ 计算一个25阶的行列式，以每天24小时的工作量用1秒做1000万亿次乘法运算的计算机，大概需要约 的时间！ 计算一个26阶的行列式，以每天24小时的工作量用1秒做1亿亿次乘法运算的计算机， 大概需要约 年的时间！3200035年12000年显然完全用定义计算行列式是行不通的为了解决行列式的计算问题，应先对它的性质进行研究下一节，我们将学习行列式的性质思考思考题、讨论题、作业 思考题: 反三角行列式的值？讨论题: (P25:1(1) 讨论排列 1 3 5 (2n-1) 2 4