3.3(变量轮换法)无约束条件多变量函数的选优方法课件

1、3.3.1 无约束条件下多变量的优化方法 3.3 多变量的优化方法 3.3.2 等式约束条件下多变量的优化方法 3.3.3 不等式约束条件下多变量的优化方法 一、数学模型3.3.1 无约束条件下多变量的优化方法 二、优化方法 变量轮换法、单纯形加速法、一阶梯度法、共轭梯度法等。3.3.1.1 变量轮换法 一、基本思想 把多变量的优化问题转化为一系列单变量的优化问题方法。 二、基本原理 沿着坐标轴的方向轮流进行搜索，直至最优点。又称坐标轮换法。 三、计算方法（两种计算方法）（一）第一种计算方法1 以 二元函数情况为例 设二元函数f(X)=f(x1，x2) ，区间a1 x1b1， a2 x2b2，

2、初始点X(0)=(x1(0) ，x2(0) ， f(X(0) 。 (1) 令x1=x1(0) 不动，变动x2，求以x2为单变量的函数最优值X(1)=(x1(0) ，x2(1)，得f(X (1)；(2)再令x2=x2(1)不动，变动x1，求以x1为单变量的函数最优值X(2)=(x1(1)，x2(1)，得f(X (2) ；(3) 重复搜索。再令x1=x1(1)不动，求以x2为单变量的函数最优值X(3)=(x1(1)，x2(2)，得f(X(3)，如此反复搜索，直到满足精度为止。 x1x2b1a1b2a2x1(0)x1(1)x2(0)x2(1)X(0)X(1)X(2)X(3)x2(2)例：用变量轮换法

3、求函数f(x)=6010 x14x2x12+ x22x1x2的极小点，初始点X(0)=(0，0)T，要求f(X(k)f(X(k1) 0.05。0.0352 8.0117X(7)=(7.875，5.9375)f(x2)=43.26611.875x2+ x22X(6)=(7.875，5.75)70.1406 8.0469X(6)=(7.875，5.75)f(x1)=70.062515.75x1x12X(5)=(7.5，5.75)60.5625 8.1875X(5)=(7.5，5.75)f(x2)=41.2511.5x2+ x22X(4)=(7.5，5)52.258.75X(4)=(7.5，5)f(

4、x1)=6515x1x12X(3)=(6，5)4911X(3)=(6，5)f(x2)=3610 x2+ x22X(2)=(6，2)33620X(2)=(6，2)f(x1)=5612x1x12X(1)=(0，2)2456X(1)=(0，2)f(x2)=604x2+ x22X(0)=(0，0)160X(0)=(0，0)0函数值xj单变量函数f(xj)固定xin解:2 多元函数情况 设函数f(X)=f(x1，x2 ， xn) ，区间ai xibi， 初始点X0(0)=(x1(0) ，x2(0) ， ， xn (0) ) ， f(X0(0) 。 (1) 令xi=xi(0)(i2) 不动，变动x1， f

5、(X)= f(x1) ，求以x1为单变量的函数最优值X0(1)=(x1(1) ，x2(0) ， ， xn(0)，得f(X0(1)；(2)再令x1=x1(1)，xi=xi(0)(i3)不动 ， f(X)= f(x2) ，求以x2为单变量的函数最优值X0(2)=(x1(1)，x2(1) ，x3(0) ， ， xn (0)，得f(X0(2) ，每次固定n1个变量，只对一个变量寻优，对n个变量寻优后，才完成第一轮；(3)若f(X(k)f(X(k1)成立， 则停止搜索，否则进入下一轮寻优，直至满足精度为止。3 程序框图f(X) ，X0 ，k=1，f(X)=minf(Xki)f(Xki)f(Xki1)in

6、X0 =Xknk=k+1ENDYNNY（二）第二种计算方法设ei为第i个坐标轴的单位矢量， ei=(0，0，1，0)T 。 第i 行(1) 给定初始点X(1)=(x1(1)，x2(1) ，xn(1) ；(2) 从X(1)出发，先沿着第一坐标轴由e1进行搜索，求出新点X(2)及最优步长1，即X(2)=X(1)1e1，f(X(2)=f(X(1)1e1)=minf(X(1)e1)，将其代入f(X)= f(x1，x2，x3，xn) 中只有一个变量，只有当取最小，f(X)才能取到最小，也就是说1为沿第一坐标轴方向上的最优步长，X(2)为沿第一坐标轴方向上的最优点。(3) 类似地，从X(2)出发，先沿着第

7、二坐标轴由e2进行搜索，求出新点X(3)及最优步长2，即X(3)=X(2)2e2，f(X(3)=f(X(2)2e2)=minf(X(2)e2)， X(n1)=X(n)nen，f(X(n1)=f(X(n)nen)=minf(X(n)en)。这样，从初始点X(1)经n次搜索得到新点X(n1)，完成一轮迭代。(4)若f(X(k)f(X(k1)成立， 则停止搜索，否则进入下一轮寻优（令X(1) = X(n1) ），直至满足精度为止。程序框图f(X) ，X1 ，k=1，e，f(X)=minf(Xkiiei)f(Xki)f(Xki1)inX1 =Xknk=k+1ENDYNNY例：用变量轮换法求函数f(x)

8、=x12+ x22 x32的极小点，初始点X(1)=(1，2，3)T。解：令e1=(1，0，0)T，e2=(0，1，0)T，e3=(0，0，1)T（1）从x(1)=(1，2，3)T出发，沿着e1方向搜索。（2）从x(2)=(0，2，3)T出发，沿着e2方向搜索。（3）从x(3)=(0，0，3)T出发，沿着e3方向搜索。四、变量轮换法讨论1、变量轮换法搜索速度的快慢，取决于目标函数的性质。（1）若目标函数的等高线为圆形（二维）、球形（三维）或长短轴都平行于坐标轴的椭圆形（椭球形），这种方法搜索最快。这种情况下，变量之间无交互作用。（2）若目标函数的等高线类似于椭圆形（椭球形），且长短轴不平行于坐标轴，这种方法必须经过多次迭代才能到达极值点。这种情况下，变量之间存在弱交互作用。x1x2b1a1b2a2x1(0)x1(1)x2(0)x2(1)X(0)X(1)X(2)X(3)x2(2)（3）若目标函数的等高线出现山脊时，这种方法完全无效。这种情况下，变量之间存在强交互作用