MATLAB在系统稳定性分析中的应用

1、MATLAB在系统稳定性分析中的应用摘要：讨论了控制系统分析稳定性的必要性，阐述了系 统稳定性的概念，介绍了李亚普诺夫第一法和李亚普诺夫第 二法，分析了两种方法的优缺点，给出了现代控制理论中李 亚普诺夫主稳定性定理，论述了主稳定性定理在稳定性判定 中的应用，最后以可控直流电源供电给直流电机传动系统为 例，利用MATLAB提供的Lyapunov函数P=lyap（A，N）对此 系统稳定性进行了分析，介绍了利用MATLAB判定稳定性的 方法。关键词：稳定性；李亚普诺夫第二法；MATLAB0引言稳定是控制系统能够正常工作的前提。从工程应用的角 度来看，一个系统只有稳定了，研究分析系统的动态性能和 静态

2、性能才有意义。系统运动稳定性分为基于输入输出描述 的夕卜部稳定性和基于状态空间描述的内部稳定性。在一定条 件下，内部稳定性和夕卜部稳定性才存在等价关系。现代控制 理论是基于状态空间描述的，状态空间描述不仅包含了系统 外部特性的描述，而且还揭示了系统的内部特性。如何兼顾 系统内部状态的稳定性和夕卜部特征的稳定性成为一个问题。 李亚普诺夫基于状态平衡点稳定的研究恰好统一了系统内 夕卜稳定性的讨论。李亚普诺夫方法同时适用于线性系统和非 线性系统，时变系统和时不变系统，连续时间系统和离散时 间系统。当已知一个系统的传递函数或状态空间描述时，可 以对其系统的稳定性进行分析，但是当系统的阶次较高时， 稳定

3、性分析和计算的工作量比较大，运用具有强大科学计算 能力和可视化编程功能的MATLAB软件，可以为控制系统稳 定性分析提供很大的方便。1稳定性的基本概念一个多世纪以前，俄国力学家A.M.李亚普诺夫(A.M.Lyapunov)在1892年发表的运动稳定性的一般问题 论文中，首先提出了运动稳定性的一般理论。这一理论把由 常微分方程组描述的动力学系统的稳定性分析方法区分为 本质上不同的两种方法，现在称为李亚普诺夫第一法和李亚 普诺夫第二法。李亚普诺夫第一法也称为间接法，属于小范围稳定性分 析，基本思路是通过对线性化系统特征方程根的分布情况判 断稳定性。此方法仅指出了原非线性系统和一次线性化方程 之间稳

4、定性的等价关系，没有解决真实非线性系统的稳定性 稳定，仅涉及到平衡点处小范围的稳定性，没有提及大范围 的稳定性问题。但是，在工程应用实际中，总是希望控制系 统是大范围渐近稳定的。李亚普诺夫第二法也称为直接法，属于大范围渐近稳定 性分析，从能量的观点对系统的稳定性进行研究。即系统运 动的进程总是伴随能量的变化，如果做到使系统能量变化的 速率始终保持为负，也就是使运动进程中能量为单调减少， 那么系统受扰运动最终必定会返回到平衡状态，且在平衡点 处能量减少到最小值。此法不必求解系统的状态方程，就能 对其在平衡点处的稳定性进行分析和做出判断，给出的是真 实非线性系统的稳定性结论，适用于线性系统和非线性

5、系统。2李亚普诺夫主稳定性定理在李亚普诺夫第二法的稳定性结论中，大范围渐近稳定 判别定理具有基本的重要性。由于稳定性与外界扰动无关， 所以考察具有普遍性的连续时间非线性时变自由系统：为系统一个平衡状态点，且，如果系统存在一个标量（广 义能量）函数满足以下条件：（1）正定且有界，即；（2）对时间的导数负定或负半定且有界，即或；（3）当时，。则系统在平衡点是大范围渐近稳定的，广义能量函数称 为李亚普诺夫函数。对于非线性系统主稳定性定理给出了关于在大范围内 稳定性的信息，但是只是系统大范围渐近稳定的充分条件而 非充要条件，若不能找到合适的李亚普诺夫函数就不能得出 该系统稳定性方面的任何结论。对于一个

6、给定的系统，李亚普诺夫函数不是唯一的，如果系统在平衡点渐近稳定，那么 具有所要求性质的李亚普诺夫函数一定是存在的。3基于MATLAB分析系统的稳定性李亚普诺夫主稳定性定理判断稳定性的关键是寻找一 个满足条件的李亚普诺夫函数，但是，一般地，寻找李亚普 诺夫函数比较困难。当李亚普诺夫第二法应用于线性时不变 系统时，利用李亚普诺夫方程讨论稳定性更为方便适用。设线性时不变系统为该系统在平衡点大范围渐近稳定的充要条件是：给定一 个正定实对称矩阵N （通常选择为单位矩阵），存在一个正定 的实对称阵P，使得ATP+PA=-N。该方程称为李亚普诺夫方 程。标量函数V（x）=xTPx就是一个李亚普诺夫函数。此时

7、 利用MATLAB提供的Lyapunov函数P=lyap（A，N）就能找到 正定实对称阵？，进而可以判断出系统的稳定性。下面以可控直流电源供电给直流电机传动系统为例，基 于MATLAB进行系统稳定性分析。系统结构图如图1所示。按结构图建立系统的Simulink仿真结构图如图2所示。其阶跃响应如图3所示。（下转第273页）（上接第268页）由图3可知系统是渐近稳定的。接下来使用命令语句验证此系统的稳定性。程序段如下：程序运行结果:ans=72.5392ans=0.0606ans=0.8254System is stable4结论使用MATLAB对系统的稳定性进行分析，简单方便且高 效，尤其是对高阶系统分析或已知系统结构图时，大大减少 了计算量，提高了系统研究分析效率。参考文献：1赵广元.MATLAB与控制系统仿真实践:M.北京：北京 航空航天大学出版社，2012.2汪纪锋，党晓圆，张毅.现代控制理论M.北京：人民 邮电出版社，2013.3罗斌，冯辉，唐义峰.MATLAB软件在系统稳定性分析 与仿真中的应用J佳木斯大学学报（自然科学版），2010， 28