金融工程 (1)ppt课件

1、 金 融 工 程Financial Engineering 凌爱凡lingafianyahoo .第4章 利率利率的种类：零息利率，平价利率 收益率曲线与债券定价远期利率协议与利率期限构造实际简介 久期与凸性利率曲线的曲率.4.1. 利率的种类利率的含义:利率，就其表现方式来说，是指一定时期内利息额同借贷资本总额的比率。对利率的了解“古典学派以为，利率是资本的价钱，而资本的供应和需求决议利率的变化；凯恩斯那么把利率看作是“运用货币的代价。马克思以为，利率是剩余价值的一部分，是借贷资本家参与剩余价值分配的一种表现方式。.利率通常由国家的中央银行控制，在美国由联邦贮藏委员会管理。如今，一切国家都把

2、利率作为宏观经济调控的重要工具之一。当经济过热、通货膨胀上升时，便提高利率、收紧信贷；当过热的经济和通货膨胀得到控制时，便会把利率适当地调低。因此，利率是重要的根本经济要素之一。.4.1.1.国债利率Treasury rates 投资者投资国库券或国债时所获的收益率，在各类衍消费品定价中，通常用此利率作为无风险利率.4.1.2 浮动利率 LIBOR是指伦敦同业银行拆出利率，简单说， LIBOR是指某一个银行A给其他大银行B提供资金时所收取的利率，银行A需求资金的大银行B1B2Bn借出资金LIBOR.LIBOR的期限：有1个月，3个月，6个月及1年，最长为1年，可以以LIBOR借款的银行：信誉评

3、级AA, 反过来，也可以以为，AA级银行向其他银行短期借款的利率，即为LIBOR.注LIBOR 不完全等同于无风险利率，违约仍能够发生；衍消费品买卖员普通将LIBOR，而不是国债利率，作为无风险利率；.LIBID: 伦敦同业银行拆入利率,指某一银行赞同其他银行以LIBID将资金存入本人的银行。区别LIBOR与LIBID，主要从恳求借款或贷款的自动方思索，如银行A有资金剩余，该银行希望将资金存入银行B，这时，银行B将以LIBID接受A的存款；假设银行A 资金短缺，且具有AA级，他希望从银行B获得贷款，那么银行B将以LIBOR将资金贷给A。LIBOR 与LIBID 也会受市场供求关系而发生变化普通

4、有LIBOR 略大于LIBID.4.1.3 再回购利率Repo rates再回购协议隔夜回购期限回购.4.2. 利率的度量引例：P52 .复利频率通常被作为利率度量的根本单位；一年复利一次的利率总可以转换成一个以不同频率复利的等价利率，如一年复利一次利率10.25%相当于年利率10%情形下的半年复利一次利率。按季度复利一次与一年复利一次之间的不同，类似于长度单位的英里与公里的区别。.4.2.1 延续复利 (Page 53)Q: 在上面的引例中，假设令复利计算频率趋于无穷，那么会是什么情形呢？假设将资金A投资n年，年利率为R,假设1 年计算复利1次，那么，n年后终值为假设1年计算复利 m次，那么

5、，n年后终值为4.1.延续复利利率：在上述4.1中，复利频率趋于无穷时，所对应的利率，称为为延续复利利率。按延续复利利率计算，n年后，资金A变为：Remark:延续复利与按天计算复利所得到资产终值相对接近；n年后的一笔资金B，按利率为R进展贴现，其现值为4.2.延续复利与每年m次复利的转换公式假设 是延续利率， 是与之相对应的每年次复利率，那么有 即是.从而可得例4.1 P53例4.2 P534.34.4.4.3. 零息利率定义：n年的零息利率是指，今天投入资金，延续持有n年后，所得的收益率。特点：一切利息与本金在n年末一同支付给投资者，而在n年期满之前，不支付任何利息收益。n年期即期利率=n

6、年期零息利率例：1年后到期的面值为1元的零息债券，当前的价值为0.95元，计算持有该债券的零息利率。.4.4 债券价钱债券的实际价钱等于债券持有人在未来所收取的一切现金流贴现后的总和。设现金流为 , 各个现金流的贴现利率分别为 , 这里i表示第i笔现金流， 而表示收到该笔现金流的时间，那么债券的实际价钱为注： 是年利率， 的单位是年.对债券的现金流贴现方式：一切现金流以同一个贴现率贴现，即上述表达公式中，满足不同现金流采用不同的贴现率贴现，.例 P54, 表4.2.4.1 债券的收益率债券的收益率等于对一切现金流贴现并使得债券的价钱与市场价钱相等的贴现率。设现金流为 , 债券的市场价钱为 P,

7、 那么债券的收益率 y 满足方程注：假设债券的贴现率为常数，且实际价钱等于市场价钱，那么债券的收益率与贴现率相等. 例，在上例中，假设债券的市场价钱等于实际价钱为 98.39，那么债券的收益率y 满足下面方程：y=0.0676 or 6.76%.4.2 平价收益率债券的平价收益率是债券价钱等于面值时的债券票面利率券息率，设债券面值为100，平价收益率为c, 贴现利率假设为 根据定义，债券的现金流为 为每年支付利息的次数，每次支付利息.再由平价收益率的定义，债券的实际价钱等于面值，即于是或.例 P54， c是债券的票面利息，因此平价收益率为 c%, 依然记为c, 这样就有.假设令 c表示票面利息

8、，平价收益率为c%, 依然记为c,那么满足 或.4.5.国库券零利息率确实定票息剥离法：从普通的国债和国库券价钱和收益为出发点来计算零息率。引例P55 BondTime toAnnualBond CashPrincipalMaturityCouponPrice(dollars)(years)(dollars)(dollars)1000.25097.51000.50094.91001.00090.01001.50896.01002.0012101.6.第一个债券： 3个月期限，无券息收益：投资97.5$，收益2.5$，年收益率：按季度复利计算为 按延续复利计算为.第二个债券： 6个月期限，无券息

9、收益：投资94.9$，收益5.1$,年收益率：按半年复利计算按延续复利计算.第三个债券：1年期限，无券息收益：投资90.0$， 收益10$；年收益率：按每年复利一次计算：10%按1年期延续复利计算.第四个债券：1.5年期限，有券息收益：投资 96.0$6个月： 4$12个月：4$1.5年：104$年收益率 R，根据定价方法，此债券的价钱等于一切现金流的贴现：6个月的现金流4$,应按6个月期限的年利率贴现12个月的现金流4$，应按12个月期限的年利率贴现；1.5年的现金流104$，应按1.5年期限的年利率 R贴现；.期限为1.5年的年利率 R 应满足如下方程： 即得到 R = 0.10681 或

10、 10.681%.第五个债券：2年期限，有券息年收益率R：用类似于1.5年期的付息债券方法，可知， R应按如下方程计算： 因此，可得2年期的债券，其年利率为R=0.10808, 或10.808%.表4.4：由表4-3数据所得出的延续复利利率P56. 零息年利率 (%)期限 (年)10.12710.46910.53610.68110.808图4.1 由息票剥离法得出的零息利率.实际中的运用有时实际中并没有想要的某个期限的债券，那么相应的该期限的零息债券的年利率不能经过市场上债券的收益与价钱来估计，而是用线性插值方法。例：P56， 知两个债券期限及相应的年利率如下：2.3年期限，年利率为6%2.7

11、年期限，年利率6.5%Q：2.5年期限，其年利率为多少？.6. 远期利率定义：由当前零息利率所蕴含出来的未来一定期限的利率。例子：P57. n-yearForward Rate zero ratefor nth YearYear (n)(% per annum)(% per annum)13.024.05.034.65.845.06.255.36.5.根据上表，思索以下几种情形：如今投资100元，1年后其值是多少？两年后其值又是多少？一年后投资100元，第二年末，其值是多少？.结论：当利率按延续复利表达时，将相互衔接的时间段上的利率结合在一同，整个时段的等价利率为各个时段利率的平均值。假设 R

12、1 和 R2 分别是对应期限 T1 和 T2 的零息利率，那么在延续复利情形下， 时间T1 和T2之间的远期利率 可表示为： (4.5).例子：P57，在表4-5中，验证第3年到第4年之间的远期利率，这时 T1=3, T2=4, R1=0.046, R2=0.05, 那么 RF=0.062.由4.5，可得 上式阐明：假设零息利率曲线在T1, T2之间向上倾斜，即R2R1，那么有RFR2，这阐明远期利率比两个利率都大；相反，假设零息利率曲线在T1, T2之间向下倾斜，即R2R1，那么有RFR2，这阐明远期利率比两个利率都小；4.6.瞬时远期利率 在4.6中，令 T1=T, 并让T2趋近于T，两边

13、取极限，即得到 称之为T时辰的瞬时远期利率，R为期限为T的年零息利率。这是表示在T时辰开场的一段很短时间内的远期利率。.假设P(t, T)表示T时辰到期的零息债券在当前t 时辰的价钱，那么 或 代入瞬时远期利率公式中，即有.7.远期利率协议FRA7.1 定义：买卖商定：在未来某一段时间，买卖的一方以某一预先确定的利率借入或借出固定数量的资金，是一种场外买卖产品。例：假设公司X赞同在未来的 T1 和 T2之间将资金L借给公司Y， RK ：FRA中商定的利率 RF ：由今天计算的介于时间T1和T2之间的 LIBOR利率 RM ：在时间T1和T2之间的真正的LIBOR 利率.公司X的现金流：公司X在

14、 T1时辰，其资金 L 可以以无风险利率 RM 贷出，假设X进入FRA，那么可以以利率RK 把资金 L 借给公司Y, 获得额外利率 RK RM，在时辰T2，公司X的额外利率导致的现金流为能够为负：.公司Y的现金流：与X的现金流方向相反，数量相等，即在T1时辰，公司Y本可以以无风险利率 RM 获得借款 L，但当Y进入FRA后，需求以利率RK从X借入资金L，这样，在T2时辰，公司Y额外支付的利率 RM Rk，导致的现金流为(能够为正：.FRA的交割时辰：普通在T1时辰可交割(why)交割时辰X的收益：将T2的现金流贴现到T1:交割时辰Y的收益：注：这里假设利率按复合频率计算，而不是延续复利方式 例

15、 4-3 P59 .7.2 FRA的价值在t=0时辰，假设FRA的执行利率为RK=RF，那么这份FRA 在 t=0 时辰的价值为0.思索两个本金均为L的FRA，FRA1: 承诺在T1和T2之间收益率为由LIBOR计算的远期利率RF (参照作用。FRA2: 承诺在T1和T2之间收益率为RK.FRA1与FRA2的额外现金流的贴现之差为. 那么，收入商定利率为RK的FRA的一方，在t=0时辰，其持有的FRA的价值为： 反过来，支出商定利率为RK的FRA的一方，在t=0时辰，其持有的FRA的价值为： 这两个值恰好相反。(4.9)4.10.7.3 对FRA定价的步骤：假定远期利率会被实现的情形下即 RM

16、=RF)，根据4.7或4.8计算现金流；将收益用无风险利率进展贴现例4-4. P59.8. 久期8.1 定义：指投资者收到一切现金流所要等待的平均时间。一个 n 年期零息国债的久期为 n 年，而一个年带息国债的久期小于 n 年。8.2 久期的计算公式 I: 延续复利假设下设某债券在时间 共支付了n 次现金流 ，那么在延续复利收益率y下，债券的价钱B为：4.11. 债券久期定义为：方括号中的项为 时辰债券支付现金流现值与债券价钱的比，而债券价钱等于一切未来支付的现值总和。或4.12.8.3 久期的意义：久期是付款时间的加权平均，对应于 时辰的权重等于 时辰的支付现值与债券总贴现的比率，一切的权重

17、相加等于1，即.当收益率 y 有微小变化时，利用函数微分的近似特点，有：在4.11中，对 y 进展求导，代入上式，有 从上式可知，债券价钱的变化 与其收益率的变化 是逆向的，或说B与 y 的变化反向的。4.134.14.根据4.12及4.14，有：或这个公式反映了债券价钱变化率与收益率之间呈线性关系。4.154.16.假设债券当前的收益率为y,价钱为B，当收益率变化 时，债券的价钱变化为 ，这时债券的新的价钱 可用如下公式估计利率的变化通常用基点来衡量：1基点=0.01%.例4-5 P61.8.4 修正久期久期的计算公式 II : 年复利假设下假设 y 是一年复利一次的利率，那么久期计算公式为

18、假设 y 是一年复利m 次的利率，那么久期计算公式为.称下式的 D* 为债券的修正久期。假设 y 是一年复利m 次的利率，那么有例 4-6 P61绝对额久期 D*： , 那么有 .8.5 债券组合的久期定义：构成债券的组合中每一个债券的久期的加权平均，其权重与相应债券价钱成正比。计算公式：假设一个组合中有n个债券，其价钱为 Bi ,久期为 Ti i=1, , n)， 记那么此组合的久期为.注：此公式可以用来对债券组合的价钱进展估计，即当债券收益有一个微小的变化时，债券组合的价值也会有一个反向的变化，但是，这种估计普通要求一切债券的收益率的变化是一样的。.9 曲率凸度为什么要研讨债券的凸度？久期提供了一种对债券价值相对于单位收益率的变化灵敏程度；但是，这是建立在债券价钱报答与收益率变化呈线性关系的假设之上的，即当收益率的变化很小时，利用久期可以估计债券的价钱。但是