2022年两角差的余弦公式教学设计及点评

1、名师推荐精心整理学习必备两角差的余弦公式教学设计课题 两角差的余弦公式项目内容理论依据或设计意图两角差的余弦公式 是普通高中课程标准实验教科书人教A 版数学 4（必修）中教教的第三章的3.1.1节内容，教学课时为1课程标准材课时。前两章学生已经学习了任意角的三角地函数和平面向量等知识， 对三角函数有了一位定的认识，有利于学生接受两角差的余弦公材及式. 作两角差的余弦公式 是三角恒等变换这用一章中的一个重要内容， 只有对两角差的余弦公式有了认识，才能够以此为基础推导其他三角恒等变换公式。 这是一个逻辑推理过程也是一个认识三角函数式的特征， 体会三角恒等变换特点的过程 . 1知识与技能（1）通过对

2、两角差的余弦公式的推导，分教使学生体会应用向量解决数学问题的技能. 根据新课程标准（2）通过公式的灵活应用， 使学生掌握析学两角差的余弦公式的作用. 的要求，从提高学生的2过程与方法数学素质和能力出发，目（1）利用两角差的余弦公式推导过程，结合学生心理发展的使学生体会向量在代数几何方面运用的方标需求，以及人格、情感、式方法 . 价值观的具体要求制（2）在公式的灵活运用过程中进一步培订. 养学生分类讨论思想、 转化和化归思想、 数形结合思想 . 3情感态度与价值观 通过引导学生主动参与、 大胆猜想独立 探索、激发学生学习兴趣， 形成探究、证明、应用的获取知识的方式。 从应用中去体会数 学的严谨，

3、形成理性思维， 体会向量及两角 差的余弦公式的运用价值。重 难名师推荐精心整理学习必备重点： 两角差的余弦公式的运用. 数学教学不仅使难点：用两角差余弦公式进行简化、 计算及学生理解知识的发生教点逆用公式等技能 .过程，更重要是培养学生对知识的应用能力 . 我们已经知道cos452,cos303通过学生熟知的一22特殊角余弦值引入问由此我们能否得到cos15的值呢？题，引发认知冲突， 引以对于cos()coscos出本节课题 . 境使学生明确数学是一激情学你们同意这个观点吗？说说理由？门严谨的科学，激励学生探索新知 . 设二活动 1：通过设问，激发学生（教师活动） 提出问题：究竟该如何计算co

4、s()？对于求角的余弦值这种问题，自觉回顾三角函数和我们有哪些方法？计向量的相关知识，为公（学生活动 ）回忆三角函数定义、 三角函式的探索提供思路 . 数线以及平面向量数量积运算等相关知识. 活动 2: （教师活动）引导学生尝试用向量的方法来研探究如何计算cos(). 通过带有指向性的问先复习两个向量数量积的定义与坐标运探算公式；论定义式：ababcos；证题，使学生意识到， 向坐标式：abx 1x 2y 1y 2量方法可能是解决问题的工具，引导学生建（学生活动） 在平面直角坐标系中作单位圆，以 x 轴非负半轴为始边作角，它立向量使用的数学环 境，培养学生自主探索 和数形结合的能力 . 们的终

5、边与单位圆 O 的交点分别为 A 、 B ，则 A cos , sin，B cos , sin；试用 A 、 B 两点的坐标表示 AOB 的余弦值。名师推荐精心整理学习必备（教师活动）引导学生经历用向量方法探索在教师的引导下，通过 求两个已知向量的夹求cos()，结合图形，明确应选择哪几角问题以及三角函数个向量，它们怎么用坐标表示？怎样利用数 量积计算公式得到推导结果？定义的应用得出新的 结论，使学生体会和认 识严格的推导过程是 获取数学结论的方法。由学生得到结论，让学（ 学 生 活 动 ） 计 算OAOB， 得 到生在数学课上体会成功. OAOBcoscossinsin；另 一 方 面 ，

6、从 定 义 式 计 算教二OAOBOAOBcos；由于向量工具已被引cos研得出结论入，因此将问题归结为coscoscossinsin角度问题，选用向量方探论活动 3：法推导公式，使得公式学的得出成为一个纯粹证（教师活动） 引导学生思考,的的代数运算过程，大大范围，完善公式的推导 . 降 低 了 思 考 难 度 . 另外，在公式的完善过程设（学生活动 ）提出的任意性，而向量中，学生用对比、联系、化归的观点去分析问计夹角为,0，学生产生疑惑：与向题、处理问题，使他们在建立公式的过程中量之间的夹角有什么关系呢？发展逻辑推理能力和教师活动：几何画板动态展示， 引导学生结对知识的迁移应用 . 合计算机

7、图形语言和三角函数诱导公式对公式的严密性进行论证 . ( 1 )0 ,cos(2 k;根据终边相(2 )(2,2 k同的角的性质，)cos活动 4：（教师活动）引导学生说出两角差的余弦公式的结构特点 . （学生活动） 发现公式左边是差角的余弦，右边是单角同名三角函数值乘积之和 . 培养学生用自己的 语言描述公式特征的 表达能力。加深对公式 的印象，掌握公式特 点，为下一步公式的应 用做好铺垫 . 名师推荐活动 5：例题分析（教师活动）精心整理学习必备学生到此刻，能够利用 本课新发现的两角差讲评例1. 利用两角差的余弦公式求cos15的余弦公式解决这个的值 这是通过应用理解公式最基础的练 习，在

8、讲评过程中引导学生注意以下几个要点：问题，呼应前面， 同时 让学生获得了成果的 数学体验 . 教二（1）三角变换关注角的拆分，易于理解. 通过正、余弦之间的转（2）由于是具体角，拆分过程容易进行. （3）拆分的多样性，决定变换的多样性.研（学生活动） 求出sin75的值. 化；非特殊角与特殊角之间的转化，进一步巩探固公式的应用，渗透化论（1）通过诱导公式转化为cos15；归的数学思想 . 证（2）转化为先利用cos( 12045)求cos75，对题目进行解析， 使学再用同角关系求sin75（教师活动）生形成解决这类问题的基本思路 . 讲评例题 2：学已知sin4,(2,),cos5,是在讲评例

9、题的过程513中注重在表述规范性设第三象限角，求cos()的值 . 上作出点评和要求， 提高学生的数学表达能引导学生分析问题， 形成如下思路： 结合余计弦 公 式 , 欲 求cos()的 值 , 必 先 知 道力. sin,cos,sin,cos的 值 , 然 后 利 用 公 式使学生独立完成证明，C ()即可求解 ., 注意角,所在的象限 ,准确判断它们的三角函数值的符号. 活动 6：课堂练习（学生活动）培养学生独立思考的1、证明cos(2)sin.数学思维品质和对数（教师活动） 对学生的证明过程进行点评，使学生认识到该诱导公式是两角差余弦公 式的特殊情形 . 学知识前后联系，建立 数学知识

10、网络的能力 . 三学生上台演板，是本节反名师推荐精心整理学习必备（学生活动）课教学的重要一环，馈学生上台演板，运用公式解决以下问题：能充分调动学生学习2、已知cos3,(2,),数学的实践活动能力，练5使教师了解学生学习习求cos(4) 的值.情况，是激发学生学习兴趣的有效途径 . （教师活动）对学生的计算过程的每一步进 行点评，是学生认识到两角差余弦公式使用教时注意利用特殊角的正弦值余弦值. 通过问题的设计，注重培养学生分类讨论学（学生活动） 先请一位同学在黑板上演示，的数学思想 , 在解题的过程中培养学生思维然后再向全体同学讲解：的严密性和逻辑的条设3、已知sin15,是第二象限角,理性，

11、同时注重对学生17的表述规范性的指导 . 求cos(3) 的值.计（教师活动） 找几份具有代表性的解答投影，让同学们点评 . 引导学生认识到 要使用两角差余弦公 式，应该运用同角三角（学生活动） 学生认真审题，求解问题4、已知sin),求2 3,(,3),cos3,24(3 22,cos() 的值.函数关系对四个数据 作出准备，培养学生“ 举一反三” 的解决数 学问题的能力 . （教师活动）对学生表述的步骤是否规范 作出必要的点评和要求。 引导学生一定要弄 清角的范围 , 准确判断三角函数值的符号 . 活动 7：变式训练（学生活动）应用本课所学的公式进行以下计算：四1、cos60cos 15s

12、in60sin15?在练习中加深对公式结构和功能的认识， 使变2、cos(3)cossin(3)sin?学生熟练、灵活运用公式式；掌握三角式变换的（教师活动） 点评，不仅要会公式的正用而训特点，培养学生公式的且要注意公式的逆用和变形应用. 练逆用能力 .名师推荐精心整理学习必备（学生活动 ）应用公式计算：引导学生独立思考， 得3、已知sin(30)3,60150,出(30)30，从而具备使用两角差5求cos的值.余弦公式的条件，培养（ 教 师 活 动 ） 引 导 学 生 比 较 已 知 的 角30与所求的角之间的关系，注意构造角以及研究角的范围 . 学生解决数学问题的 化归思想 .五课堂小结：

13、让学生在课堂小通过本节课的学习你有哪些收获？结中进行自我评价， 回应1、探索并证明了两角差的余弦公, 经历了，顾当堂所学，交流学习体会. 猜想 探究证明 , 利用向量法得出了：用注意公式特征， 正cos()cos cossinsin评在证明公式的过程中，我们利用了向量价用，逆用和角的拼凑！这一简洁有效的工具， 在后面的学习中我们会继续感受它的便利 . 在探究问题时，结合所2、所涉及的数学思想与方法: 猜想、化学知识，要大胆猜想，归与转化、数形结合、分类讨论. 细心证明！布置作业：1. 必做： P137，2,3,4 3,coscos4,通过例题、练习、课堂小结、作业等对学生在2、选做：sinsi

14、n三维目标方面进一步55评价，反思教学， 改进求cos()cos(), 推 导 出方法. 3. 课 下 思 考 ： 你 能 用cos()吗？板书设计：两角差的余弦公式cos()coscossinC (sin)投影屏幕板演区域()名师推荐精心整理学习必备教学设计说明 一、教材地位及其作用恒等变换在数学中扮演着重要的角色，它的主要作用是化简 . 在数学中通过恒等变换， 可以把复杂的关系用简单的形式表示出来 . 三角恒等变换在后续学习中具有重要的作用 . 而以本节课为起始课的第三章内容需要学习三角函数运算中蕴涵的恒等关系 . 由于和、差、倍之间存在的联系，和角、差角、倍角的三角函数之间必然存在紧密的

15、内在联系，因而需要推出一个公式作为基础。由于三角恒等变换的内容与三角函数没有直接的关系，因此现行的课改教材（人教 A版）安排学生学完三角函数后，先学习了平面向量，因此选择了运用向量方法推导公式 cos( ) cos cos sin sin 作为建立其它公式的基础，使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算过程，降低了思考难度。本节课的作用承前启后 , 非常重要。二、学情分析与教学目标学生在前两章已经学习了同角三角函数的基本关系、诱导公式及平面向量， 为探究两角差的余弦公式建立了良好的基础。但学生的逻辑推理能力有限， 要发现并证明公式C( - )有一定的难度，教师可引导学生通过合作交流，体会向量法的作

16、用，探索两角差的余弦公式。由于学生初次使用恒等变换去推理解答问题，分析问题的能力和逻辑推理的能力都有所欠缺，并且面对新问题如何运用已学知识和方法去解决存有困惑 又都会充满好奇心，这对教学是非常有利的。.但同时学生在学习新的一章知识时根据学生的认知结构和心理特点，我制定了本课的学习目标如下：1知识与技能（1）通过对两角差的余弦公式的推导，使学生体会应用向量解决数学问题的技能。（2）通过公式的灵活应用，使学生掌握两角差的余弦公式的作用。2过程与方法（1）利用两角差的余弦公式推导过程，使学生体会向量在代数几何方面运用的方式方法。（2）在公式的灵活运用过程中进一步培养学生分类讨论思想、转化和化归思想、

17、数形结合思 想。3情感态度与价值观 通过引导学生主动参与、大胆猜想独立探索、激发学生学习兴趣，形成探究、证明、应用的获取知识的方式。从应用中去体会数学的严谨，形成理性思维，体会向量及两角差的余弦公式的运用价值。名师推荐精心整理学习必备三、教学重点及难点 重点： 两角差的余弦公式的运用 . 难点： 用两角差余弦公式进行简化、计算及逆用公式等技能 . 四、教法选择和学法指导 基于对教材和学生的分析，本节课我采用“ 引导发现” 和“ 主动参与、独立探索” 等方 法组织课堂教学 . 为了抓住重点，我从学生已有的认知水平出发，设计具有梯度的问题导入，激发学生的 求知欲，引导和组织学生参与探索公式的建立和

18、推导过程，鼓励学生独立思考，让学生在参 与推理的过程中感受成功的快乐和提高逻辑推理能力；在突破难点上，主要通过以下四个方 面的师生活动：引导学生积极思考，大胆探索，学会对目标进行对比分析，把握思维方向；组织学生共同钻研，学会合作，开展讨论交流；对学生的探究活动适当指导，适时地给与帮助；完善推理过程对0 ,的情况引导学生完善 . 通过实际生活问题引入课题，为公式学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生 的求知欲。采用多媒体等现代教学手段，增强教学简易性和直观性。通过有梯度的练习、变 式训练、分层作业，让学生对知识掌握逐步提高。学法分析 . 教师在课前让学生简单复习一下本课要用到的一些知识点，

19、如三角函数的定义，向量的 数量积等。. 在学生自主探究过程中，教师要从某些角度引导学生去发现公式，给出一些证明方法的 提示性问题，引导学生去推导公式。五、教学基本流程设计教学活动cos()？对设计意图活动 1：通过设问，激发学生自觉回顾三角函数和向提出问题：究竟该如何计算量的相关知识，为公式的探索提供思路. 于求角的余弦值这种问题， 我们有哪些方法？活动 2: 尝 试 用 向 量 的 方 法 来 探 究 如 何 计 算cos(). 通过带有指向性的问题， 使学生意识到， 向 量方法可能是解决问题的工具， 引导学生建立 向量使用的数学环境， 培养学生自主探索和数 形结合的能力 . 活动 3：,名

20、师推荐精心整理学习必备在公式的完善过程中，学生用对比、联系、的范围，完善公式化归的观点去分析问题、 处理问题，使他们在引导学生思考建立公式的过程中发展逻辑推理能力和对知的推导 . 识的迁移应用 . 活动 4：引导学生说出两角差的余弦公式的结培养学生用自己的语言描述公式特征的表构特点 . 达能力。加深对公式的印象，掌握公式特点，为下一步公式的应用做好铺垫 . 活动 5：例题分析例1、 利用两角差的余弦公式求cos15的值对题目进行解析， 使学生形成解决这类问例2、 已知sin4,(2,),cos5,是题的基本思路 . 在讲评例题的过程中注重在表述规范性上作出点评和要求， 提高学生的数学513表达

21、能力 .第三象限角，求cos()的值 . 活动 6：课堂练习1、证明cos(2)sin.,3,学生上台演板，是本节课教学的重要一环，能充分调动学生学习数学的实践活动能力，使2、已知cos)的值3,(2,),教师了解学生学习情况， 是激发学生学习兴趣的有效途径 . 5求cos(通过问题的设计， 注重培养学生分类讨论.4的数学思想 , 在解题的过程中培养学生思维的3、已知sin15 17,是第二象限角严密性和逻辑的条理性， 同时注重对学生的表述规范性的指导 . 求cos(3(,3),cos引导学生认识到要使用两角差余弦公式，) 的值.应该运用同角三角函数关系对四个数据作出准备，培养学生“ 举一反三

22、” 的解决数学问2 3,4、已知sin题的能力 . 24(3 2,2),求cos() 的值.活动 7：变式训练1、cos60cos 15sin60sin15)?在练习中加深对公式结构和功能的认识，2、cos(3)cossin(sin3使学生熟练、 灵活运用公式； 掌握三角式变换3、已知sin(30)3, 60150,的特点，培养学生公式的逆用能力.5求cos的值.名师推荐精心整理学习必备六、教学评价分析1. 本节课采用 “ 创设情境 - 提出问题 - 探索尝试 - 启发引导 -解决问题” 的过程来实现教学目标。有利于知识产生、发展、解决这一认知过程的完整体现。2. 在得到两角差的余弦公式后，使

23、学生进一步体会代数思想的深刻性。通过对公式的认识，例题的讲解，变式的强化训练，可以加深学生对公式特征的印象，及灵活应用公式解题的能力。3. 在教学手段上使用多媒体技术，使重点得到突出，抽象变得直观，有效增加课堂容量，激发学生的学习兴趣，提高教学效率。4. 面对不同程度的教学对象， 在教学时间上和作业的布置中，突出了学生学习的个体差异现实，但也要视教学对象的接受程度进行灵活的删减。名师推荐精心整理学习必备两角差的余弦公式教学设计点评省级骨干教师 周净两角差的余弦公式 是普通高中课程标准实验教科书人教 A版数学 4（必修）第三章的 3.1.1 节内容，教学课时为 1 课时。本节课教师采用了活动教学法，将获取知识的猜想、论证和应用过程分解成为7 个教学活动，在活动中通过教师的问来启发引导学生，通过学生的练来巩固知识，是高效课堂的典型模 式之一。本节课有以下 4 个特点：1体现了教师在教学中的主导地位。教师在本节课的教学活动中主要是通过问 题创设情境，激发学生的求知欲，在学生探究新知时对学生的方向和方法加以 指导，在例题分析时注重启发学生的思路和规范学生的表达，在反馈练习和变 式训练环节组织和激励学生独立思考，观察和点评学