2022年两条直线平行与垂直的判定教案 2

1、3.1.2 两条直线平行与垂直的判定三维目标 1知识与技能 (1)让学生掌握直线与直线的位置关系(2)让学生掌握用代数的方法判定直线与直线之间的平行与垂直的方法2过程与方法(1)利用 “两直线平行，倾斜角相等”这一性质，推出两直线平行的判定方法(2)利用两直线垂直时倾斜角的关系，得到两直线垂直的判定方法3情感、态度与价值观 (1)通过本节课的学习让学生感受几何与代数有着密切的联系，对解析几何有了感性的认识(2)通过这节课的学习，培养学生用“联系”的观点看问题，提高学习数学的兴趣(3)通过课堂上的启发教学，培养学生勇于探索、创新的精神重点难点 重点：根据直线的斜率判定两条直线平行与垂直难点：两条

2、直线垂直判定条件的探究与证明重难点突破：以初中学习的平面内两直线平行和垂直关系为切入点，利用数形结合的思想，导 出直线倾斜角间的关系，再通过直线的倾斜角同斜率的关系，猜想得出两条直线平行和垂直判定的 方式为了更好的理解两直线垂直的条件，老师可利用几何画板直观演示，验证当两条直线的斜率 之积为 1 时，它们是相互垂直的即可【课前自主导学】课标解读1.理解两条直线平行或垂直的判断件(重点 ) 2会利用斜率判断两条直线平行或垂直(难点) 3利用斜率判断含字母参数的两直线平行或垂直时，对字母分类讨论 (易错点 ) 两条直线平行与斜率之间的关系【问题导思】1如图，若直线 l 1 l 2，则其倾斜角 1

3、与 2 有什么关系？为什么？反之呢？【提示】12，因为两直线平行，同位角相等反之不成立，当 12 时，直线 l1 与 l2 可能平行或重合2若直线 l1 l2，则其斜率 k1k2.这种说法对吗？【提示】不对，只有在直线l1 与 l 2都存在斜率时，由l1 l2可以得出k1k2，如图当直线 l1 与 l2 都与 x 轴垂直时，虽然 两条直线平行与斜率之间的关系l1 l 2但斜率都不存在设两条不重合的直线l1，l2，倾斜角分别为 1，2，斜率存在时斜率分别为k1，k2.则对应关系如下：前提条件12 901290对应关系l1 l2? k1k2l1 l2? 两直线斜率都不存在图示两条直线垂直与斜率之间

4、的关系【问题导思】1如图，直线 l1 与 l2 的倾斜角分别为 1与 2，若 l 1l 2，则 1 与 2 之间存在什么关系？【提示】2190. 2当直线 l1的倾斜角为 0时，若直线 l1l2，则 l2的斜率应满足什么条件？【提示】直线 l 2 的斜率不存在， 如图，当直线 l 1的倾斜角为 0时，若 l 1l2，则 l 2的倾斜角为 90，其斜率不存在两条直线垂直与斜率的关系对应关系l1 与 l 2的斜率都存在， 分别为l 1 与 l2 中的一条斜率不存在，另一条斜k1，k2，则 l1l2? k1k2 1率为零，则 l 1与 l2 的位置关系是 l 1l 2图示【课堂互动探究】两条直线平行

5、判断下列各组中的直线 l 1 与 l2 是否平行：(1)l1经过点 A(1， 2)，B(2,1)，l2经过点 M(3,4)，N(1，1)；(2)l1的斜率为 1，l2经过点 A(1,1)，B(2,2)；(3)l1 经过点 A(0,1)，B(1,0)，l2 经过点 M(1,3)，N(2,0)；(4)l1经过点 A(3,2)，B(3,10)，l2经过点 M(5， 2)，N(5,5)【思路探究】依据两条直线平行的条件逐一判断便可【自主解答】(1)k112211，k2135 4，k1k2，l1 与 l 2 不平行(2)k11，k221 211，k1k2，l 1 l2 或 l 1与 l2 重合01 03

6、 (3)k110 1，k221 1，k1k2，31 而 kMA10 21， l1 l2. (4)l1 与 l2 都与 x 轴垂直， l1 l 2. 判断两直线平行，要 “ 三看”：一看斜率是否存在；在斜率都存在时，二看斜率是否相等；若两直线斜率都不存在或相等时，三看直线是否重合，若不重合则两直线平行已知直线 l1 经过两点 (1，2)，(1,4)，直线 l2 经过两点 (2,1)，(x,6)，且 l 1 l 2，则 x_. 【解析】直线 l 1的斜率不存在，且l1 l 2， l2 的斜率也不存在点 (2,1)及(x,6)的横坐标相同， x2. 【答案】2 两条直线垂直判断下列各组中的直线 l

7、1与 l2 是否垂直：(1)l1经过点 A(1， 2)，B(1,2)，l2经过点 M(2， 1)，N(2,1)；(2)l1 的斜率为 10，l 2经过点 A(10,2)，B(20,3)；(3)l1经过点 A(3,4)，B(3,100)，l2经过点 M(10,40)，N(10,40)【思路探究】求出斜率，利用l 1l 2? k1k21 或一条直线斜率为0，另一条斜率不存在来判断【自主解答】(1)直线 l1 的斜率 k121212，直线 l 2的斜率 k212121 2，k1k21，故 l1 与 l 2不垂直(2)直线 l 1 的斜率 k1 10，直线 l 2的斜率 k232 2010 1 10，

8、k1k2 1，故 l 1l 2. (3)l1的倾斜角为 90，则 l1x 轴直线 l 2的斜率 k240400，则 l2 x 轴故 l1l 2. 1010利用斜率公式来判定两直线垂直的方法 (1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在只需看另一条直线 的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式(3)求值：计算斜率的值，进行判断尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进 行讨论已知三角形三个顶点的坐标为 A(4,2)，B(1， 2)，C(2,4)，则 BC 边上的高的斜率为 ( ) A2 B 2 C.1

9、2 D1 2【解析】BC 边上的高所在的直线与 BC 边所在的直线垂直而 kBC4221 2，所以 BC 边 上的高的斜率 k1 kBC1 2. 【答案】C 直线平行与垂直关系的综合应用已知 A(4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(3,0)四点，若顺次连接 A、B、C、D 四点，试判 定图形 ABCD 的形状【思路探究】先由图形判断四边形各边的关系，猜测四边形的形状，再由斜率之间的关系完 成证明【自主解答】A、B、C、D 四点在坐标平面内的位置如图，由斜率公式可得kAB25341 3，kCD 03361 3，kAD3034 3，kBC35 621 2. kABkCD，由图可知 AB 与

10、CD 不重合， AB CD. 由 kADkBC， AD 与 BC 不平行又 kABkAD1 3(3)1， ABAD. 故四边形 ABCD 为直角梯形1利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤2证明两直线平行时，仅 k1k2是不够的，注意排除重合的情况3判断多边形形状问题要进行到底，也就是要得到最具体的多边形为(已知 A(1，1)，B(2,2)，C(3,0)三点，且有一点 D 满足 CDAB，CB AD，则 D 点的坐标) A(1,0) B(0，1) C(1,0) D(0,1) 【解析】设 D(x，y)，则 kCDy0 x3x3，kADy1 x1，)，又 kAB21 213，kCB20 232，

11、CDAB，CB AD， kCDkABy x33 1kCBkAD ，x13y3xf(y1 2 x3y3，2xy1. x0y1 ，即 D(0,1)【答案】D 【思想方法技巧】分类讨论思想在直线平行与垂直中的应用(12 分)已知直线 l1经过点 A(3，a)，B(a1,2)，直线 l2经过点 C(1,2)，D(2，a2)(1)若 l1 l2，求 a 的值；(2)若 l 1l2，求 a 的值【思路点拨】(1) xCxD 斜率存在 , l1 l2 k1k2 a的值(2) l1l2 分情况讨论 求a的值【规范解答】设直线 l2 的斜率为 k2，则 k221a22a 3.2 分(1)若 l 1 l2，设直线

12、 l 的斜率为 k1，则 k1a 3. 又 k1a4，则 2a a4 a 3，a1 或 a6. 4 分经检验，当 a1 或 a6 时，l 1 l2. (2)若 l1l2，当 k20 时，此时 a0，k11 2，不符合题意 .8 分12 分当 k2 0时， l2 的斜率存在，此时k12a a4. 由 k2k1 1，可得 a3 或 a 4.所以，当 a3 或 a4 时， l1l2. 【思维启迪】1由 l1 l2 比较 k1，k2时,应首先考虑斜率是否存在， 当 k1k2时，还应排除两直线重合的情况2由 l1l 2比较 k1，k2 时，既要考虑斜率是否存在，又要考虑斜率是否为 0 的情况3在 l1

13、l 2及 l1l2 相关问题的处理中，树立分类讨论的意识【课堂小结】1两条直线平行的条件是在两直线不重合且斜率存在的条件下得出的，即在此条件下有 l1 l2? k1k2；若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则两直线也平行2两条直线垂直的条件也是在两条直线的斜率都存在的条件下得出的，即在此条件下有 l1l2? k1k2 1；若一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率等于 0，则两条直线也垂直3在两条直线平行或垂直关系的判断中体会分类讨论的思想【当堂达标检测】) 1下列说法中正确的是 ( A平行的两条直线的斜率一定存在且相等 B平行的两条直线的倾斜角一定相等 C垂直的两直线的斜率之积为1 D只

14、有斜率相等的两条直线才一定平行【解析】A 不正确，平行的两条直线可能斜率都不存在；B 正确； C 不正确，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，它们也垂直；【答案】B D 不正确，斜率都不存在的两条直线也平行2已知直线 l1 的斜率 k18 5，直线 l2 的斜率 k25 8，则 l1 与 l2 的位置关系为 ( ) A平行 B重合 C垂直 D无法确定【解析】k1k21， l1l2. 【答案】C 3直线 l 1的斜率为 2，直线 l2 上有三点 M(3,5)，N(x,7)，P(1，y)，若 l1l2，则 x_，y_. 【解析】l 1l 2，且 l 1的斜率为 2，则 l 2的斜率为1 2

15、，75 x3 y5131 2，x 1，y7. 【答案】1 7 4(1)已知直线 l 1经过点 M(3,0)，N(15，6)，l2 经过点 R2，3 2，S 0，5 2，试判断 l1 与l2 是否平行(2)l1 的倾斜角为 45，l2 经过点 P(2， 1)，Q(3，6)，问 l 1与 l2 是否垂直？【解】(1)kMN306151 2，kRS02321 2，l 1 l2. (2)k1tan 45 1，k263211， k1k2 1.l1l 2. 【课后知能检测】一、选择题1下列说法正确的有 ( ) 若两直线斜率相等，则两直线平行；若 l 1 l2，则 k1k2；若两直线中有一条直线的斜率不存在

16、，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；若两直线斜率都不存在，则两直线平行A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【解析】当 k1k2 时， l1 与 l2 平行或重合，不成立；中斜率不存在时，不正确；同也不正确只有正确，故选 A. 【答案】A 2(2014 昆明高一检测 )直线 l1的斜率为 2，l1 l2，直线 l2过点(1,1)且与 y 轴交于点 P，则 P点坐标为 ( ) A(3,0) B(3,0) C(0，3) D(0,3) 【解析】k12，l1 l2， k22，设 P(0，y)则 k2y1 01y12，y3，即： P(0,3)【答案】D 3若直线 l1，l2的倾斜角分别为 1，2，且

17、l1l2，则( ) A1290B2190C|12|90D12180【解析】如图所示由图 (1)可知 1290，由图 (2)可知 2190， |12|90. 【答案】C 4如果直线 l1 的斜率为 a，l1l2，则直线 l2 的斜率为 ( ) A. 1 a BaC1 a D1 a或不存在【解析】当 a 0时，直线 l2 的斜率 k2 为1 a；当 a0 时，直线 l2 的斜率不存在【答案】D 5以 A(1,1)，B(2，1)，C(1,4)为顶点的三角形是 ( ) A锐角三角形 B钝角三角形C以 A 点为直角顶点的直角三角形 D以 B 点为直角顶点的直角三角形【解析】kAB11 21 2 3，kA

18、C41 113 2， kABkAC 1，ABAC， A 为直角【答案】C 二、填空题6(2014 南京高一检测 )l1的倾斜角为 60，l2经过点 M(1，与 l 2的位置关系是 _3)，N(2， 2 3)，则两直线 l1【解析】由题意知， k1tan 603，k22 333，k1k2，所以直线 l 1 与直线 l 221平行或重合【答案】平行或重合7经过点 M(m,3)和 N(2，m)的直线 l 与斜率为 4 的直线互相垂直，则 m 的值是 _【解析】由题意知，直线 MN 的斜率存在， MNl，kMN2m1 4，解得 m14 5 . 14【答案】58已知平行四边形 ABCD 中，A(1,1)

19、，B(2,3)，C(0，4)，则点 D 的坐标为 _【解析】设 D(x，y)，由题意可知， AB CD 且 AD BC. )kABkCD 且 kADkBC，21y4 x，f(43y1 x1，02解得x3，y6， D 点的坐标为 (3，6)【答案】(3，6) 三、解答题9如图所示，在 ?OABC 中，O 为坐标原点，点 C(1，3)(1)求 OC 所在直线的斜率(2)过 C 作 CDAB 于 D，求直线 CD 的斜率【解】(1)点 O(0,0)，C(1,3)， OC 所在直线的斜率kOC30 103. (2)在?OABC 中，AB OC，CDAB， CDOC， kOCkCD1，kCDkOC 1 3. 故直线 CD 的斜率为1 3. 10在平面直角坐标系中，四边形 OPQR 的顶点按逆时针顺序依次是 O(0,0)，P(1，t)，Q(12t,2t)，R(2t,