2022年两条直线平行与垂直的判定教案

1、3.1.2 两条直线平行与垂直的判定 三维目标1知识与技能 (1)让学生掌握直线与直线的位置关系(2)让学生掌握用代数的方法判定直线与直线之间的平行与垂直的方法2过程与方法 (1)利用“ 两直线平行，倾斜角相等” 这一性质，推出两直线平行的判定方法(2)利用两直线垂直时倾斜角的关系，得到两直线垂直的判定方法3情感、态度与价值观 (1)通过本节课的学习让学生感受几何与代数有着密切的联系，对解析几何有了感性的 认识(2)通过这节课的学习，培养学生用“ 联系” 的观点看问题，提高学习数学的兴趣(3)通过课堂上的启发教学，培养学生勇于探索、创新的精神 重点难点 重点：根据直线的斜率判定两条直线平行与垂

2、直难点：两条直线垂直判定条件的探究与证明重难点突破： 以初中学习的平面内两直线平行和垂直关系为切入点，利用数形结合的思 想，导出直线倾斜角间的关系，再通过直线的倾斜角同斜率的关系，猜想得出两条直线平行 和垂直判定的方式为了更好的理解两直线垂直的条件，老师可利用几何画板直观演示，验证当两条直线的斜率之积为 教学建议1 时，它们是相互垂直的即可本节课是在学习直线的倾斜角、斜率概念和斜率公式等知识的基础上，进一步探究如何用直线的斜率判定两条直线平行与垂直的位置关系核心内容是两条直线平行与垂直的判定结合本节知识的特点，建议采用引导发现法，先从学生已有的知识经验出发，采用数形结合的思想， 把两条直线平行

3、与垂直的几何关系代数化，由于学生面对的是一种全新的思维方法， 首次接触会感到不习惯，故教学过程中，教师应采取循序渐进的原则，注意到直线的 倾斜角同斜率的关系，在几何关系代数化的过程中，注意向学生渗透分类讨论思想 教学流程 创设问题情境，引出问题：直线的平行与垂直同其斜率间分别存在什么关系？?引导学生回忆初中几何知识，先建立倾斜角同平行与垂直间的关系 . ?通过引导学生回答所提问题理解斜率同直线的平行与垂直的关系 . ?通过例 1及其变式训练，使学生理解直线的平行同其斜率间的关系 .? 通过例 2及其变式训练，使学生理解直线的垂直同其斜率间的关系 . ?借助直线的斜率公式及倾斜角的内在联系，完成

4、例 3及其变式训练，使学生的知识进一步深化 .? 归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识 . ?完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正 .1.理解两条直线平行或垂直的判断条件(重点 ) 课标解读2会利用斜率判断两条直线平行或垂直(难点 ) 3利用斜率判断含字母参数的两直线平行或垂直时，对字母分类讨论 (易错点 )两条直线平行与斜率之间的关系【问题导思】1若两条直线平行，其倾斜角什么关系？反之呢？【提示】两条直线平行其倾斜角相等；反之不成立2有人说：两条直线平行，斜率一定相等这种说法对吗？【提示】不对，若两直线平行，只有在它们都存在斜率时，斜率相等，若两直线都垂直于 x 轴，虽然它

5、们平行，但斜率都不存在两条直线平行与斜率之间的关系设两条不重合的直线l 1，l2，倾斜角分别为1，2，斜率存在时斜率分别为k1，k2.则对应关系如下：前提条件12 901290对应关系l1 l2? k1k2l 1 l 2? 两直线斜率都不存在图示两条直线垂直与斜率之间的关系【问题导思】1如图，直线 l 1与 l 2 的倾斜角分别为【提示】21 90. 1 与 2，若 l 1l 2，则 1 与 2 之间存在什么关系？2当直线 l1 的倾斜角为 0时，若直线 l1l 2，则 l 2 的斜率应满足什么条件？【提示】直线 l2 的斜率不存在，如图，当直线 l1 的倾斜角为 0时，若 l1l 2，则 l

6、2 的倾斜角为 90 ，其斜率不存在两条直线垂直与斜率的关系对应关系l1 与 l2 的斜率都存在，分别为k1，k2，l1 与 l 2 中的一条斜率不存在，另一条斜则 l1l 2? k1k2 1率为零，则l 1 与 l 2的位置关系是l 1l 2图示两条直线平行关系的判定判断下列各组中的直线 l1 与 l2 是否平行：(1)l 1 经过点 A(1， 2)，B(2,1)，l2 经过点 M(3,4)，N(1， 1)；(2)l 1 的斜率为 1，l 2 经过点 A(1,1)，B(2,2)；(3)l 1 经过点 A(0,1)， B(1,0)， l2 经过点 M(1,3)，N(2,0)；(4)l 1 经过

7、点 A(3,2)，B(3,10)， l2 经过点 M(5， 2)，N(5,5)【思路探究】【自主解答】(2)k11，k2依据两条直线平行的条件逐一判断便可(1)k11 21，k2145 4，k1 k2， l1 与 l2 不平行2 113211，k1k2，21l 1 l 2 或 l 1 与 l 2重合(3)k101 1，k21003 1， k1 k2，而 kMA31 2 1，102 1l 1 l 2. (4)l 1 与 l 2 都与 x 轴垂直， l1 l 2. 判断两直线平行，要“ 三看 ”：一看斜率是否存在；在斜率都存在时，二看斜率是否相等；若两直线斜率都不存在或相等时，三看直线是否重合，若

8、不重合则两直线平行已知直线 l1 经过两点 ( 1， 2)，(1,4)，直线 l 2 经过两点 (2,1)，(x,6)，且 l1 l 2，则 x_. 【解析】直线 l1 的斜率不存在，且l1 l2，l 2的斜率也不存在点(2,1)及(x,6)的横坐标相同，x2. 【答案】2 两条直线垂直关系的判定判断下列各组中的直线 l1 与 l2 是否垂直：(1)l 1 经过点 A(1， 2)，B(1,2)，l2 经过点 M(2， 1)，N(2,1)；(2)l 1 的斜率为 10，l 2 经过点 A(10,2)，B(20,3)；(3)l 1 经过点 A(3,4)， B(3,100) ，l2 经过点 M (1

9、0,40)，N(10,40)【思路探究】求出斜率，利用l1l 2? k1k2 1 或一条直线斜率为0，另一条斜率不存在来判断【自主解答】(1) 直线 l 1 的斜率 k12 22，直线 l 2 的斜率 k21 11 2，k1k21 12 21，故 l1 与 l2 不垂直32 1 (2)直线 l1 的斜率 k1 10，直线 l2 的斜率 k2201010，k1k2 1，故 l1l2. (3)l 1 的倾斜角为 90，则 l1x 轴4040 直线 l2 的斜率 k20，则 l2 x 轴故 l1l 2. 10 10使用斜率公式判定两直线垂直的步骤：(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，

10、则直线的斜率不存在，若不相 等，则进行第二步；(2)二用：就是将点的坐标代入斜率公式；(3)三求值：计算斜率的值，进行判断尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式 要对参数进行讨论已知直线 l1l 2，若直线 l1 的倾斜角为30，则直线 l 2 的斜率为 _【解析】由题意可知直线l 1 的斜率 k1tan 303 3，设直线 l 2 的斜率为 k2，则 k1 k2 1，k23. 3 【答案】直线平行与垂直关系的综合应用已知 A(4,3)，B(2,5) ，C(6,3)，D(3,0)四点，若顺次连接 A、B、C、D 四点，试判定图形 ABCD 的形状【思路探究】先由图形判断四边形各边的关系，猜测

11、四边形的形状，再由斜率之间的关系完成证明【自主解答】A、B、C、D 四点在坐标平面内的位置如图，由斜率公式可得kAB2 4 531 3，kCD36 0 31 3，03kAD 3，3 435 1 kBC622. kABkCD，由图可知 AB 与 CD 不重合，AB CD. 由 kAD kBC，AD 与 BC 不平行又 kAB kAD1 3 (3) 1，ABAD. 故四边形 ABCD 为直角梯形1在顶点确定的情况下，确定多边形形状时，要先画出图形，由图形猜测其形状，为下面证明确定目标2证明两直线平行时，仅k1k2 是不够的，注意排除重合的情况3判断四边形形状问题要进行到底，也就是要得到最具体的四边

12、形已知四边形ABCD 的四个顶点分别为A(0,0)，B(2， 1)，C(4,2)，D(2,3)，试判断四边形 ABCD 的形状，并给出证明【解】四边形 ABCD 是平行四边形证明如下：如图所示，AB 边所在直线的斜率kAB 101 2，20CD 边所在直线的斜率BC 边所在直线的斜率DA 边所在直线的斜率kCD321 2，24kBC2 13 2，42kDA30203 2. 所以 kABkCD， kBCkDA，由题意知 AB CD，BC DA. 故四边形 ABCD 是平行四边形分类讨论思想在直线平行与垂直中的应用(12 分)已知直线 l1 经过点 A(3， a)， B(a1,2)，直线 l2 经

13、过点 C(1,2)，D(2，a2)(1)若 l 1 l 2，求 a 的值；(2)若 l 1l 2，求 a 的值【思路点拨】(1) xC xD 斜率存在 , l 1 l2 k1k2 a的值(2) l 1l 2 分情况讨论 求a的值【规范解答】设直线 l 2 的斜率为 k2，则 k22 a21 2a 3.2 分(1)若 l 1 l 2，设直线 l 的斜率为 k1，则 k1a 3. 又 k12a，则 a42aa4a 3，a1 或 a6.4 分经检验，当 a1 或 a6 时， l1 l2. (2)若 l 1l 2，当 k20 时，此时 a0，k11 2，不符合题意 .8 分当 k2 0 时， l 2

14、的斜率存在，此时 k12a. a4由 k2k1 1，可得 a3 或 a 4. 所以，当 a3 或 a 4 时，l1l 2.12 分1由 l 1 l2 比较 k1，k2 时，应首先考虑斜率是否存在，当 重合的情况k1k2 时，还应排除两直线2由 l1 l2 比较 k 1，k2时，既要考虑斜率是否存在，又要考虑斜率是否为 0 的情况3在 l1 l2 及 l1l 2 相关问题的处理中，树立分类讨论的意识1两条直线平行的条件是在两直线不重合且斜率存在的条件下得出的，即在此条件下有 l 1 l2? k1k2；若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则两直线也平行2两条直线垂直的条件也是在两条直线的斜率都

15、存在的条件下得出的，即在此条件下有 l 1 l2? k1 k2 1；若一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率等于 0，则两条直线也垂直3在两条直线平行或垂直关系的判断中体会分类讨论的思想1已知直线l 1 l2，直线 l 1 的斜率 k12，则直线 l 2的斜率 k2() A不存在B.1 2C2 D12【解析】l1 l2 且 k12，k22. 【答案】C 2已知直线 l 1 的斜率 k18 5，直线 l 2 的斜率 k25 8，则 l1 与 l 2 的位置关系为 ( ) A平行 B重合C垂直 D无法确定【解析】k1k 2 1，l 1l 2. 【答案】C 2，直线 l 2 上有三点M(3,5)，

16、N(x,7)，P( 1，y)，若 l 1l2，则 x3直线 l 1 的斜率为_，y_. 【解析】l1l 2，且 l 1 的斜率为 2，则 l2 的斜率为1 2，5 2)，试判75x3y5131 2，x 1， y7. 【答案】 17 3 4(1)已知直线 l 1经过点 M( 3,0)，N(15， 6)，l 2 经过点 R(2，2)，S(0，断 l 1 与 l 2 是否平行(2)l 1 的倾斜角为45， l 2 经过点 P(2， 1)，Q(3， 6)，问 l 1 与 l 2是否垂直？【解】(1) kMN0 61 2，kRS5 23 21 2，l 1 l2. 3 150 2(2)k1tan 451，

17、k26 1 1，3 2k1k21.l1l 2.一、选择题1下列说法正确的有() 若两直线斜率相等，则两直线平行；若 l1 l2，则 k1k2；若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；若两直线斜率都不存在，则两直线平行A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【解析】当 k1k2 时， l1 与 l2 平行或重合，不成立；中斜率不存在时，不正确；同也不正确只有正确，故选 A. 【答案】A 2经过两点 A(2,3)，B(1，x)的直线 l1 与斜率为 1的直线 l2 平行，则实数 x 的值为 ( ) A0 B 6 C6 D3 【解析】直线 l 1 的斜率 k1x33x 3

18、，由题意可知3x 1，x6. 123【答案】C ) 3若直线 l1，l 2 的倾斜角分别为1，2，且 l 1l2，则 (A1290B 2 190C|12|90D12180【解析】如图所示由图 (1)可知 1290，由图 (2)可知 2190，|12|90. 【答案】C ) 2)，4过点 (3，6)，(0,3)的直线与过点 (6，2)，(2,0)的直线的位置关系为(A垂直B平行6，C重合D以上都不正确【解析】过点 (3，6)，(0,3)的直线的斜率k136323；过点 (0(2,0)的直线的斜率k22032.因为 k1k2 1，所以两条直线垂直故选A. 62【答案】A 5以 A(1,1)，B(2

19、， 1)，C(1,4)为顶点的三角形是() A锐角三角形 B钝角三角形 C以 A 点为直角顶点的直角三角形 D以 B 点为直角顶点的直角三角形【解析】kAB11 212 3，kAC41 113 2，kABkAC 1，ABAC，A 为直角【答案】C 二、填空题6若 A(4,2)，B(6， 4)，C(12,6)， D(2,12)，则下面四个结论：AB CD ； ABCD； AC BD； ACBD.其中正确的序号是_【解析】kAB3 5， kCD3 5，kAC1 4，kBD 4，kABkCD，kAC kBD 1，AB CD，ACBD . 【答案】7经过点 M(m,3)和 N(2，m)的直线 l 与斜

20、率为 4 的直线互相垂直， 则 m 的值是 _【解析】由题意知，直线 MN 的斜率存在，MN l，kMNm32m1 4，解得 m14 5 . 【答案】1458(2013 洛阳高一检测 )已知平行四边形 D 的坐标为 _ABCD 中，A(1,1)，B( 2,3)，C(0， 4)，则点【解析】设 D(x， y)，由题意可知，AB CD 且 AD BC. kABkCD 且 kADkBC，3121y4 x，4302y1，解得 x3，y 6，x1D 点的坐标为 (3， 6)【答案】(3， 6) 三、解答题图 3 15 9如图 3 15，在 ?OABC 中， O 为坐标原点，点 C(1，3)(1)求 OC

21、 所在直线的斜率(2)过 C 作 CD AB 于 D，求直线 CD 的斜率【解】(1) 点O(0,0)，C(1,3)，30OC 所在直线的斜率 kOC3. 10(2)在?OABC 中， AB OC，CD AB，CD OC，kOCkCD 1，kCD1 kOC 1 3. OPQR 的顶点按逆时针顺序依次是O(0,0)， P(1，t)，故直线 CD 的斜率为1 3. 10在平面直角坐标系中，四边形Q(12t,2t)，R(2t,2)，其中 t(0， )，试判断四边形【解】OP 边所在直线的斜率kOPt，t，1t，QR 边所在直线的斜率kQRt2 212t 2tOR 边所在直线的斜率kOR1 t. PQ

22、 边所在直线的斜率kPQ2t t12t 1kOPkQR，kORkPQ，OP QR，OR PQ，四边形 OPQR 是平行四边形又 kQRkOR t (1 t) 1，QROR. 四边形 OPQR 是矩形OPQR 的形状，并给出证明11已知 A(0,3)，B(1,0)，C(3,0)，求 D 点的坐标， 使四边形 ABCD 为直角梯形 (A、B、C、D 按逆时针方向排列 )【解】设所求点 D 的坐标为 (x，y)，如图由于直线 AB 的斜率 kAB3，直线 BC 的斜率 kBC0，则 kABkBC0 1，即 AB 与 BC不垂直故AB、BC 都不可作为直角梯形的直角边D(1)若 CD 是直角梯形的直角边，则BCCD， ADCD . kBC0，CD 的斜率不存在从而有x3. y3 又直线 AD 的斜率 kADkBC，x0，即 y3.此时 AB 与 CD 不平行故所求点的坐标为 (3,3)，(2)若 AD 是直角梯形的直角边，则 ADAB，ADCD . y3 y y3kADx，直线