3引力场中的高斯定理

1、引力场中的高斯定理保守力是物理学中一个非常重要的概念，学过普通物理学的人都知道，所谓保守力是指， 质点在力场中运动时，如果作用于质点的力所作的功，只与质点的起始和终了位置有关，而 同质点运动的路径无关，则质点所受的力就是保守力或有势力。保守力还可以用另外一种方 式来表述，一个质点沿闭合路径运动一周，如果作用于质点的力所作的功等于零，则质点所 受的力就是保守力。引力和静电力都是有势力，相应的引力势和静电势都满足三维空间里最简单的二阶（偏 微分）方程一一拉普拉斯方程。用甲代表引力势或者静电势场，它在三维空间里所满足的拉 普拉斯方程采取如下的形式：（彻/&+彻/内2+彻/盘2）q （x,y,z）=0

2、.由于相应的静电力和引力 等于势的微分（的负值），它的大小便与半径r成反比了，即甲（r）81/r,F（r）=- dq /dr 81/r2由于万有引力定律与Coulombs law本质是一样的，因此引力场中也存在Gauss， theorem，并且与万有引力定律等价。1、预备知识引力场场强：引力场场强是一个向量，其大小等于1千克的质点在该处所受引力的 大小，方向与该质点在该处所受引力的方向一致。引力线：如果在引力场中出一些曲线，使这些曲线上每一点的切线方向和该点的引 力场强方向一致，那么所有这样可以作出的曲线叫做引力线。引力线数密度：在引力场中任一点取一小面元S与该点的场强方向垂直，设穿过S 的引

3、力线有 N根，则比值乙N/A S叫做该点的引力线数密度，它的意义是通过该点单位垂 直截面的引力线根数，规定引力场场强E-A N/A S。引力线性质：引力线其自无穷远点，止与该质点，引力线在宇宙中处处存在。一个 质点的任何两条引力线不会相交，不形成闭合线。引力通量:通过一面元A S的引力通量为该点场强的大小E与A S在垂直于场强方向 的投影面积A S=A Scos0的乘积。2、引力场中的Gauss， theorem通过一个任意闭合曲面S的引力通量？ =4n GEm，与闭合曲面外的引力质量无关。证明：（1）通过包括质点m的同心球面的引力通量都等于4n Gm。以质点m所在处为中心以任意半径r作一球面

4、.根据万有引力定律，在球面上 各点场强大小一样E=G m *场强的方向沿半径向外呈辐射状。在球面上任意取一面元dS， 其外法线向量n也是沿着半径方向向外的，即n和E间夹角。=0，所以通过dS的引力通量Iff Gm!r2,., 一，dS= G m /r2X4n r2=4n Gm。(2 )通过包围质点的任意闭合曲面S的引力通量都等于4n Gm在闭合面S内以质点m所在处O为中心作一任意半径的球面S,根据(1)通过此 球面的引力通量等于4n Gm。由于引力场分布的球对称性，这引力通量均匀地分布在4n球 面度的立体角内，因此在每个元立体角dQ内的引力通量是GmdQ。如果把这个立体角的锥 面延长，使它在闭

5、合面S上截出一个面元dS。设dS到质点m的距离为r, dS的法线n与场 强E的夹角为。，则通过dS的引力通量d? =Ecos0 dS=Gm/r2cos0 dS, cos0 dS= dS是dS 在垂直于场强方向的投影面积，所以d? =EdS= G m /rdS= GmdQ。所以通过面元dS的引 力通量和通过球面S上与dS对应的面元dS的引力通量相等，所以通过整个闭合面S的 引力通量都必定和通过球面S的引力通量一样，等于4n Gm。(3)通过不包括质点的任意闭合面S的引力通量恒为0。因为单个质点产生的引力线是辐向的直线，它们在空间连续不断。当质点在闭合面 S之外时，从某个面元dS上进入闭合面的引力

6、线必然从另外一个面元dS上穿出，而这一对 面元dS和dS对质点所张的立体角相等，通过dS的引力通量和通出dS的引力通量的代数 和为0，通过整个闭合面S的引力通量是通过这样一对对面元的引力通量之和，当然也是等 于0的。(4)多个质点的引力通量等于它们单独存在时的引力通量的代数和。设物体有mi.m2.m3mk个质点，其中第1到第n个被高斯面S所包围，第n+1到第k个在高 斯面之外，则k个质点同时存在时通过S的引力通量为？ =? +? +? +? +? +?= 123n n+1k? 1+? 2+? 3+? =4n G(m1+ m2+ m )= 4n GEm.证毕。3、引力场中的Gauss， theo

7、rem的应用(容晓晖)、，.1 m(1).单个质点：g =; (2).均匀质量球壳：当rR时，g =-m (相当于质量集中在球壳中心)4Kg r 201m1m(3).均匀质量的实心球体：当rR时，g =4 兀 g R 34兀 g r 200(相当于质量集中在球体中心);,无限长的棒土液-表示质量的线密度如.无限大的平面b(一个)：g =2 g 0（6）.两个无限大的平行平面：两板之间g = 0 ,两板之外g = （b表示质 g 0量的面密度）求万有引力场中的引力位，或引力位差（万有引力的位，或称为重力势能位）单个质点：=-7 （无限远为零势能点）4Kg r1 m均匀质量球冗：当rR时，4ng

8、R=-T m （无限远为零势能点）4兀g r1 m1 m3.均匀质量的实心球体：当rR时，8兀g R34Kg R9 = 4g（无限远为零势能点）无限长的棒：甲=? In（人表示质量的线密度）；5.无限大的平面（一个）:12 2 兀gr9 = 一(r r )2g06.两个无限大的平行平面：两板之间9内2b=r （两板之间为零势能点），两板两（外） g0b ,边912=(r r ) (b表示质量的面密度) g 012附录1：美国物理学家J.B.福斯勒利用2个原子干涉重力仪，找到了测量万有引力常数的新 方法，测量精度可达百万分之一。该科研成果发表在近期的美国科学杂志上。万有引力常数G的精确测量不仅对

9、弄清引力相互作用的性质非常关键，而且对于理论物理 学、地球物理、天文学、宇宙学以及精确测量等具有重要的理论与现实意义，但它的精度至 今仍不理想。自1798年英国科学家卡文迪许采用精密扭秤获得历史上第一个较为精确的万 有引力常数G测量值以来，人们虽经努力，但迄今对G的测量精度仍低于万分之一。因此， 万有引力常数G的精确测量作为一个热点和难点为各国科学家所关注，并投入大量人力和物 力进行研究。目前测G的方法大致分三大类。地球物理学方法引力效应明显，但实验精度较 低；空间测量方法面临着很多新的技术难题，目前仍在探索之中；实验室内测量是目前获得 高精度G值的主要方，常用工具是精密扭秤，但其工作艰巨而又困难，实验精度的提高主要 受到引力相互作用十分微弱的限制。近年来出现的利用原子干涉测量G的方法，测量精度也 不高。美国研究人员为此对原子干涉测量方法进行了改进，他们将2个相同的原子干涉重力 仪安装在不同的高度，在两者之间固定了重540千克的铅垂，铅垂对2个重力仪中原子所受 的重力影响不同，由于增加铅垂的引力，上面的重力仪所受的重力很容易增加，下面的很容 易减少，这样就可以获得仅来自于铅垂引力的差别。由于地球的引力不会影响这种差别，而 与所处高度有关的地球引力作用可以通过多次重复实验消除。在这一过程中，铅垂的重量和 位置的测定精度很高