基于放射性废料浅海掩埋方法可行性的讨论

1、-. z.2013数学建模训练题承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括、电子、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从1/2/3中选择一项填写）： 1 参赛队员 (打印并签名) ： 1. * 2. * 3

2、. * 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 2013 年 8 月 17 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：-. z.2013数学建模训练题编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：-. z.关于放射性废料浅海掩埋法可行性分析及验证摘要为了解决放射性废物最终处置这一实际问题，在题设已知条件下，考虑水的阻力与圆桶速度大小的关系且不考虑海水温度、密度等实际存在约束，本文运用 了物理学以及微分方法，建立了装放射性废料

3、的圆桶下沉的微分模型，同时利用了Matlab2007和C+编程，分别对模型进行求解，并对所得结果进行分析和验证，以此判断圆桶是否破裂导致核污染。首先找出圆桶的运动规律，由于圆桶在运动过程中受到本身的重力以及水的浮力H 和水的阻力f 的作用，利用物理学知识列一般方程来表示圆桶运动规律。对问题1，水的阻力与圆桶速度大小存在线性关系=，通过分析圆桶运动规律，对圆桶运动过程建立微分方程模型，在Matlab中编写程序解决所列方程求取解。对问题2，题设中由于海水阻力与圆桶速度大小关系变为=，也即在问题1模型的基础上改变水的阻力，重新建立圆桶运动过程的微分方程模型，同时在Matlab中编写程序解决所列方程求

4、取解。结果表明：题设条件下问题1浅海掩埋法不合理，圆桶到达海底的速度为13.7720，因此大于12.2故不合理；若速度小于12.2，求取圆桶的时间为13.0025，位移为84.8438。关键词：放射性废料；浅海掩埋；可行性；微分模型 一 问题的提出美国原子能委员会以往处理浓缩的放射性废料的方法，一直是把它们装入密封的圆桶里，然后扔到水深为90多米的海底。生态学家和科学家们表示担心，怕圆桶下沉到海底时与海底碰撞而发生破裂，从而造成核污染。原子能委员会分辩说这是不可能的。为此工程师们进行了碰撞实验。发现当圆桶下沉速度超过12.2 m/s 与海底相撞时，圆桶就可能发生碰裂。这样为避免圆桶碰裂，需要计

5、算一下圆桶沉到海底时速度是多少。已知圆桶质量为239.46 kg，体积为0.2058，海水密度为1035.71，如果圆桶速度小于12.2 m/s就说明这种方法是安全可靠的，否则就要禁止使用这种方法来处理放射性废料。假设水的阻力与速度大小成正比例，其正比例常数k=0.6。问题1： 判断这种处理废料的方法是否合理问题2： 一般情况下，v大，k也大；v小，k也小。当v很大时，常用kv来代替k，则这时速度与时间关系如何 并求出当速度不超过12.2 m/s，圆桶的运动时间和位移应不超过多少 (k的值仍设为0.6)二 问题分析在不考虑海水温度、密度变化等自然条件影响，同时在满足题设条件约束情况下，通过对圆

6、桶在海水中受力分析，找出圆桶的运动规律，分析和验证圆桶浅海掩埋的可行性。已知圆桶质量=239.46,体积V=0.2058，海水的密度1035.71，将圆桶扔进海水里，假定初速度为0，圆桶在落入海底之前的速度低于12.2，即满足要求圆桶不会破裂而导致污染。分析可知，圆桶沉入海底的过程由于受到各方面的力而有一定的运动规律，因此首先我们要找到圆桶的运动规律，其次建立微分方程模型。问题1可以分为以下三个步骤：通过对圆桶物理学上受力分析，列出一般方程；根据一般方程，列出微分方程模型；利用数学工具解决，得出结果判断圆桶的速度是否在要求围。问题2类似于问题1的模型，只需将阻力改为=，圆桶速度达到12.2时，

7、求解出圆桶的位移和时间。 三 模型假设1.假设水的阻力与速度大小成正比例，其正比例常数=0.6；2.当很大时，常用来代替；3.假设水流速度为0，即此区域海水静止；4.假设圆桶形状不影响其下沉速度；5.假设圆桶下沉过程中可以自由下沉，只受重力和浮力以及海水阻力作用；6.假设圆桶下沉过程中不会粘黏上附着物而导致圆桶质量发生变化；7.假设圆桶下沉过程中，重力加速度为一定值；8.圆桶在整个下落过程中所受浮力为一恒定值；9.圆桶从接触水面到完全沉入水里过程中，圆桶所受浮力的变化不予考虑,并以 以圆桶恰好完全浸入海水中为起始点；10.假设海底为平面，忽略海床形状对圆桶受力的影响；11.假设题目所给的数据真

8、实可靠。四 符号说明 圆桶的质量：圆桶的体积：海水的密度: 地球表面重力加速度：圆桶的重力：圆桶位移： 圆桶下降的速度：圆桶所受合力： （）圆桶完全沉入水中所受浮力： （）水对圆桶的阻力： （问题一：；问题二：）五 模型的建立与求解5.1问题一的模型 5.11模型的建立 首先要找出圆桶的运动规律，由于圆桶在运动过程中受到本身的重力以及水的浮力H和水的阻力f 的作用，所以根据牛顿运动定律得到圆筒受到的合力F满足 (1)又因为 =可得到圆桶的位移和速度分别满足下面的微分方程：=- (2) =- (3) 5.12模型的求解由（2）式，加上初始条件 ，以及题设初始数据，求得位移函数为： =-17151

9、0.9924+429.7444+171510 (4)由方程式（3）及初始条件求得速度函数： (5)由=90,求得求得圆筒到达水深90m的海底需要时间=12.9994, 再把它带入方程(5),求出圆桶到达海底的速度 =13.7720。根据和的数值解绘出两者之间的关系图象显然此圆桶的速度已超过 12.2 ，可以得出这种处理废料的方法不合理。因此，美国原子能委员会禁止用这种方法来处理放射性废料。5.2问题二的模型 5.21模型的建立由题设条件，圆桶受到的阻力应改为,类似问题一的模型，可得到圆桶的速度应满足如下的微分方程:= （6）5.22模型的求解根据方程（44），加上初始条件，求出圆桶的速度：=2

10、0.7303tanh(0.0519)这时若速度要小于 12.2，则经计算可得圆桶的运动时间就不能超过=13.0025，利用位移 ，计算得位移不能超过 84.8438。六 模型结果分析与检验从问题一的模型求解结果可以看出，如果将圆桶投入90米深的海域，则圆桶与海底相撞时的速度，显然大于12.2m/s，所以这种处理方法是不合理的。而根据第二问的模型求解结果，可以得出，若要坚持将核废料投入海底进行处理，为了保证圆桶不破裂，则所投海域的海水深度不得大于84.8438m.七 模型的评价与推广7.1模型评价 模型优点：模型假设较为合理，所建立的模型简单，易于操作便于求解。模型缺点：在进行模型假设时忽略了海

11、水流速、海水密度会随着海水深度变化而变化等因素。此外当很大时，常用来代替，如何界定很大值的值；第二问中一开始就用来代替显得很不妥，这些都会影响到模型精度。7.2模型推广这个模型可以推广到物体在其他介质(如空气)中下落的情况,也可将介质流速考虑到模型中去，从而将模型从静态场推广到动态场。八 参考文献1 王沫然，MATLAB与科学计算，电子工业，2003 2 启源，数学模型(第二版)，高等教育，1993.8九 附录计算问题一的Matlab程序如下：clc,clear syms m V rho g k s=dsolve(m*D2s-m*g+rho*g*V+k*Ds,s(0)=0,Ds(0)=0);

12、s=subs(s,m,V,rho,g,k,239.46,0.2058,1035.71,9.8,0.6); s=vpa(s,10) %求位移函数v=dsolve(m*Dv-m*g+rho*g*V+k*v,v(0)=0); v=subs(v,m,V,rho,g,k,239.46,0.2058,1035.71,9.8,0.6); v=vpa(v,7) %求速度函数y=s-90; tt=solve(y) %求到达海底90米处的时间vv=subs(v,tt) %求到底海底90米处的速度绘制模型一图像Matlab程序如下：t=0:0.0001:14;s=-171510.9924+429.7444*t+171510.9924*e*p(-0.0025056*t);v=429.7444-429.7444*e*p(-0.0025056*t);plot(s,v)hold ony=12.2;*=0:0.01:90;plot(*,y,:)*=90;y=0:0.01:16;plot(*,y)y=13.7720;*=0:0.01:90;plot(*,y)*label(海水深度s)ylabel(下落速度v)te*t(40,11.5,v=12.2m/s)a*is(0 100 0 16)计算问题二的Matlab程序如下：clc,clear syms m V rho g