高考数学第一轮复习教案专题9不等式

1、专题九 不等式一、考试内容：不等式不等式的基本性质不等式的证明不等式的解法含绝对值的不等式二、数学探索考试要求：数学探索（1）理解不等式的性质及其证明数学探索（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用数学探索（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式数学探索（4）掌握简单不等式的解法数学探索（5）理解不等式a-ba+ba+b三、命题热点高考对该部分主要从以下几个方面考查：一元二次不等式、一元二次不等式组和简单的线性规划问题、基本不等式的应用等。高考在解答题中一般有一道数列题，各地高考的试题不尽相同，但总的趋势是难度在下降；试卷中没有不等式解

2、答题，通常会在小题中设置1到2道，而对不等式的深层考查则在数列解答题、解析几何解答题、函数导数解答题中考查。四、知识回顾不等式的基本概念不等（等）号的定义：不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.同向不等式与异向不等式.同解不等式与不等式的同解变形.2.不等式的基本性质（1）（对称性）（2）（传递性）（3）（加法单调性）（4）（同向不等式相加）（5）（异向不等式相减）（6）（7）（乘法单调性）（8）（同向不等式相乘）（异向不等式相除）（倒数关系）（11）（平方法则）（12）（开方法则）3.几个重要不等式（1）（2）（当仅当a=b时取等号）（3）如果a,b都是正数，那么 （当仅当a=b

3、时取等号）极值定理：若则： eq oac(,1)如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小； eq oac(,2)如果S是定值, 那么当x=y时，P的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等. （当仅当a=b=c时取等号）（当仅当a=b时取等号）（7）4.几个著名不等式 （1）平均不等式： 如果a,b都是正数，那么 （当仅当a=b时取等号）即：平方平均算术平均几何平均调和平均（a、b为正数）：特别地，（当a = b时，）幂平均不等式：注：例如：.常用不等式的放缩法：（2）柯西不等式： （3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两

4、点有则称f(x)为凸（或凹）函数.5.不等式证明的几种常用方法 比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.6.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）. 步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解.特例 一元一次不等式axb解的讨论；一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)解的讨论.（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则（3）无理不等式：转化为有理不等式求解 eq oac(,1) eq oac(,2) eq oac(,3)（4）.指数不等式：转化为代数不等式（5）对数不等式：转化为代数不等式（6）含绝对值不等式 eq oac(,1)应用分类讨论思想去绝对值； eq

5、 oac(,2)应用数形思想； eq oac(,3)应用化归思想等价转化注：常用不等式的解法举例（x为正数）： 类似于，7、二元一次不等式（组）与简单线性规划问题(一)二元一次不等式表示的区域 对于直线(A0) 当B0时, 表示直线上方区域; 表示直线的下方区域.当B0时, 表示直线下方区域; 表示直线的上方区域.（二）线性规划(1)不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z=Ax+By是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，我们把它称为目标函数.由于z=Ax+By又是关于x、y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函

6、数. 另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题. (3)那么，满足线性约束条件的解（x,y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（）和（）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解. 线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得;而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.2.设z=0

7、，画出直线l0.3.观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解.4.最后求得目标函数的最大值及最小值.(5) 利用线性规划研究实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数.然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解.最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解.五、典型例题例1 在ABC中，已知lgtgA+lgtgc=2lgtgB.求证：B.这个问题的已知是三角形中量的一种相等关系，要求从相等的条件出发，去推证出关于另一(些)量的不等关系.虽说本题考查的是对数、三角函数、不等式的

8、一些相关基础知识，并要求把分析法、综合法加以综合运用，但问题的实质却是某种“相等关系”向“不等关系”的转化，抓住这一实质特征，就可以找到解决问题的方法.当然要熟练掌握对数、三角函数及不等式的知识，在这里根据题意激活知识也是必不可少的.简解：lgtgA+lgtgC=2lgtgB=lgtgAtgctg2B=tgAtgctgB=tg(-(A+C)=-tgA+tgC=tgB(tg2B)tgA+tgC2=2tgB即 tg2B-12tgB B 这里，抓住了tg2B=tgAtgC这一相等关系及tgB=-隐含关系.通过tgA+tgC2这一恒成立的不等式得出关于tgB的不等式，求解即得结论.b)“不等”向“相等

9、”的转化.)由实数理论知：若ab且ab则必有a=b，这是由“不等”变为“相等”的典型模型，在数学运算中经常用到，例如：由(x-y)20及隐含条件(x-y)20可以导出(x-y)0)添加变量使“不等”变“相等”.例如：由x+y0y-x可含y=-x+t，这里t0，从而把x,y的“不等”关系转化为某种“相等”关系.例2 已知a、b、cR，函数f(x)=axbx+c，g(x)=ax+b，当-1x1时，f(x)1(1)证明：c(2)证明：当x1时，g(x)2(3)设a0，当x1时，g(x)的最大值是2，求f(x).本题综合了函数、方程、不等式的知识与方法，由于是以证明不等式为主，对逻辑思维和推理论证能力

10、的要求很高，难度很大，它以二次函数和一次函数为载体，侧重考查函数的概念，含绝对值的不等式的性质，函数的单调性等数学知识的综合灵活运用，并利用函数作为材料，考查恒等变形，放缩变形的方法和技能，等式和不等式的联系和转化.这里仅剖析第(3)小题.已知告诉我们：对一切x-1,1，g(x)2恒成立，这是不等的关系，由此(加上“a0”)要得出f(x)的表达式，即给出一组值，使之分别与a、b、c相等，很明显是“不等”向“相等”的转化.简解如下：a0，g(x)=ax+b是-1,1上的增函数，当x=1时，g(x)max=g(1)即：a+b=g(1)=2=f(1)-f(0) -1f(0)=f(1)-21-2-1c

11、=f(0)=-1当-1x1时f(x)-1恒成立，即f(x)f(0)直线x=0是抛物线y=f(x)的对称轴，由此可得-=0，即b=0代入得a=2f(x)=2x2-12.“相等”与“不等”的构造从上可以看出，“相等”向“不等”的转化，其关键之处在于构建出相关的不等关系，再将这个不等关系向目标(不等式)作进一步的变形处理即可.a)在“相等关系”中构造出“不等关系”：途径：利用重要不等式：)a2+b22ab)a、b、cR，a+b2，a+b+c3)+2(a、b0)等等利用函数单调性：f(x)是区间I上的增函数，若x1、x2I，则f(x)f(x)；f(x)是区间I上的减函数，若x1、x2I，则f(x1)f

12、(x2)；利用等量关系中的隐含条件，如 x-0 xay= x2+y2=a2 y0 ya例3 已知a、bR且a+b=1，求证a2+b2=1这是一道脍炙人口的名题，其证法有多种，常见的方法有：平方法、三角法、几何法等，但另辟蹊径，巧用“相等”与“不等”，又可别开生面，证明如下：证明：a b两式相加得a+b 1又已知a+b =1，则上述两不等式必同时取等号即a= ,b= a2+b2=1例4 求满足(x2+2x+3)(y2+1)=2的实数x,y解：x2+2x+3=(x+1)2+22 y2+11(x2+2x+3)(y2+1)2 当且仅当x2+2x+3=2,y2+1=1时成立解之得x=-1且y=0b)在“

13、不等”关系中构造“相等”关系. x=rcos途径：设元构造.例：x2+y21 (0r1) y=rsin数形结合，构造函数(或方程).例：x可设y1=,y2=x例5 求证： (nN，n2)证明：2n=(1+1)n1+n+n2，nN,右端展开式中的各项为正2n即例6 为使不等式x2+4xy+4y2+10 x+ay+b0对任意实数x、y恒成立，求实数a、b应满足的条件.解：为使不等式恒成立，须且仅须x2+4xy+4y2+10 x+ay+b为一个实数的平方加上一个正增量t，可令x2+4xy+4y2+10 x+ay+b=(x+2y+m)2+t=x2+4xy+4y2+2mx+4my+m2+4 10=2m

14、a=20根据多项式相等的条件有： a=4m b=m2+t(t0) b=25+t25所以当a=20,b25时，原不等式恒成立.例7 已知x2+y21，求x+y的最大值.分析：这里，量x+y与x2+y2的直接关系可以通过2(x2+y2)(x+y)2得出，还可以通过换元令x=rcos，y=rsin，则有r210r1x+y=rcos+rsin=rsin(+) r 得出.3.由不等进行估算估计变数或式子的取值范围，对某些数学问题能起到挖掘隐含信息，找到思维的切入点，从而使困难的问题迎刃而解. x+y=6例8 求解方程组 z2=xy-9这是二个方程三个变量的方程组，按常规似乎有无数个解.但可对xy进行估算

15、，可知xy9，否则z20,x+y0 x0,且y0且6=x+y2xy9故z2=xy-99-9=0z=0且x=y=34.由不等推出矛盾：反证法是“数学家最精良的武器之一”，它在数学解题中确有奇效，若能有意识地挖掘问题中潜在的不等关系，使两者联手，往往可以及时找到矛盾点由不等导出矛盾.例9 已知锐角，满足+=2，求证+证明：假设+，则-，-，-2，-(0，)coscos(-)sincoscos(-)=sin从而2=+=2矛盾故+，同理+，+=(二)不等式与函数、方程的关系前面谈到“不等”与“相等”的相互依存，转化，在不等式与函数、方程中尤为突出.1.一元二次不等式与二次函数，一元二次方程的关系(1)

16、一元二次方程的根(二次函数图像与x轴交点的横坐标)是对应一元二次不等式解集的端点值，由此可引申出解一元高次不等式的“根轴法”，可以由数形结合，根据函数图像求不等式的解集.(2)方程的条件根问题可以借助所设辅助函数与关于函数值的不等式，得出等价转化.例10 2x-3x=k在-1,1内有实根，求实数k的取值范围.此题是有关一元二次方程根的个数讨论，通过构造二次函数，讨论其零值点的分布，借助不等式求出k的范围.解：设y=2x2-3x-k=f(x)若方程2x2-3x-k=0在-1，1上有两根，则 0 f(-1)0 9+8k0 f(1)0 2+3-k0 解之得：-k-1 -11 2-3-k0若方程2x2

17、-3x-k=0在-1,1上仅有一根则 0 k- -1k5 f(-1)f(1)0 (5-k)(1-k)0综上可知，k-,52.不等式与函数最值(1)求函数的最大值与最小值涉及的范围极为广泛，可使用的方法很多，代数的，三角的，几何的问题中都有大量的求最值问题，求函数的值域也常归结为函数的最值；许多实际问题的应用题也能利用最值解决.而最值问题往往归结为不等问题，用不等式的性质以及求解不等式的方法都可用于解决最值问题，代数课本上册P26例2实际上是两个极值定理，有着广泛的应用价值，(课本上虽为二个正数，但可推广到三、四个及多个的情形)在利用它解决问题时，要注意三个条件“一正、二定、三能等”即：这几个数

18、都必须是正数.例如：当xy=4，如果没有x、y都为正数这个条件，就不能说x+y有最小值4，因为若x=y=-2虽满足xy=4但x+y=-44.这几个数必须满足条件“和为定值”或“积为定值”，如果找不出“定值”这个条件，就不能应用这两个定理.例如：当x0时，求y=x2+的最小值，若写成y=x2+2=2(等号当且仅当x2=即x=1时ymin=2=2)则最小值为2，这是错误的.而应该是这样的：由于x2=4为定值，故y=x2+=x2+3=，即ymin(显然()3=8 即2要保证等号能成立，如果等号不能成立，则求出的仍不是最值，例如：当0 x时求y=sinx+的最小值，尽管y=sinx+2=4.但ymin

19、是错误的，因为当sinx=时可推出sinx=2(sinx0)不成立，这只能说y4恒成立，因此ymin4必成立，实际上由y=t+在(0，1上是单调减函数可知，当sinx=1时ymin=5(2)不等式与二次函数y=ax2+bx+c(a0)的最椎xR时当a0时，x=-时，ymin=；当a0，x=-时ymax=当xm,n(mn时，易画出图像(是抛物线的一部分)“看图说话”.例11 若a0，y=ax2+bx+c的最值如下表n-m-nm-最大值f(m)f(m)f(n)f(n)最小值f(n)f(-)f(-)f(m)当a0时，可依上表写出类似结论.(3)重要函数y=x+c，(a0,x0)的单调性.利用不等式的

20、性质可证明，y=x+ f(m) 在(o，)上是减函数，在QS，+)上是增函数.例12 求y=的最值解：y=+令t=2，于是y=t+在1,+)单调递增，可知t=2，即x=0时ymin=(三)不等式与几何的关系数学关系实质上是反映现实生活中的量与量的关系的，因而往往具有一些实际意义(或几何意义)，不等关系也是这样.1.构造几何图形证明不等式1)对于一些含有“A+BC”结构的不等式问题，可联想“三角形两边之和大于第三边.”构造三角形证明例13 x、y、zR+，求证： +简析： x2+y2-xy=x2+y2-2xycos60由 y2+z2-yz=y2+z2-2yzcos60联想到余弦定理，构造三棱锥

21、z2+x2-xz=x2+z2-2xzcos60o-ABC得证(如图)，AB= BC= CA=及ABC中，AB+BCAC2)对于一些含有“AB或(A+B)C”结构的不等式问题，可联想面积证明之例14 设ac,bc0,求证：+简析：()2+()2=()2()2+()2=()2即勾股定理，+= (+)联想到梯形面积可用补形法构造一个梯形.(如图二)3)对于含有“a2+b2=c2”结构的不等式问题，可联想长方体中的对角线与棱长的公式，构造长方体.4)对于一些含有“(a-m)2+(b-n)2”或”结构的不等式问题可用解几中的两点间的距离，点到直线的距离公式进行构图求证.5)对含有“a2+b2=R2且aA

22、+bB+C=0”结构的不等问题，可构造圆与直线的位置关系求证.2.运用不等式知识解决几何最值这类问题主要是通过建立目标函数之后，应用不等式知识(如函数单调性，基本不等式等)求出函数最值，这里不作详述.(四)不等式与其它杂题1.不等关系的探索.现实生活中量与量的不等关系是普遍的、大量的，高考中探索性问题即包含对不等关系的探索，下面举例说明之：例15 已知Sn=1+ (nN),设f(n)=S2n+1-Sn+1.试确定m的取值范围，使得对于一切大于1的自然数，不等式f(n)m恒成立.分析：依题意f(n)=S2n+1-Sn+1=+ (nN)由于f(n)无法求和化简，故应把f(n)看作n的函数，只须求出

23、f(n)的最小值即可.略解：f(n)= + f(n+1)=+且f(n+1)-f(n)=+ -=(-)+(-)0f(n+1)f(n) (n1，nN)f(2)是f(n)(n1，nN)的最小值f(2)=要使f(n)m恒成立，只须f(2)m恒成立，故m例16 已知等差数列an和等比数列bn中，a1=b1,a2=b2,a1a2,an0,nN(1)试比较a3,b3及a4,b4的大小.(2)推测an与bn的大小，并证明你的结论.(结论：bnan对任意nN，n3成立)简析：运用归纳法进行探测，猜出一般性的结果，用数学归纳法证明之.例17 定义在(-1，1)上的函数f(x)满足()对任意x、y(-1，1)有f(

24、x)+f(y)=f() ()当x(-1,0)时，有f(x)0，试研究f()+f()+f()与f()的关系.简析：由()、()可知f(x)是(-1，1)上的奇函数且是减函数.f()=f()=f()=f()+f(-)=f()-f()f()+f()+f()=f()-f()+f()-f()+f()-f()=f()-f()f()(01，f()0)2.不等式问题中的思维策略1)反客为主当从正面按常规方法不易得出问题的解时，可以变换角度从侧面入手寻找突破口.例18 当p2时，不等式2x-1p(x2-1)恒成立，求x的取值范围 x2-1=0 x2-10 x2-10简析：若按常规思路，将问题转化为 或 或 2x

25、-10 2 -2分别解三个不等式组获解，但太繁琐.若“反客为主”将原不等式化为关于P的不等式：(1-x2)p+(2x-1)0构造函数f(p)=(1-x2)p+2x-1问题转化为对一切p2，f(p)0恒成立当1-x2=0时易得x=1 f(-2)0当1-x20时，当且仅当 解之得x且x1 f(2)0综上 x2)以退为进有时从问题的整体去思考颇为费解，但若退出局部着手，常能轻易找出问题的解决途径.例19 在锐角ABC中，求证：sinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosC简析：观察此题，求证式整体与局部，三个角的三角函数有轮换的特征可退出局部考察A、B的关系是否有sinAsinB证明：A+

26、B=-CA-B0sinAsin(-B)=cosB同理 sinBcosCsinCcosA三式相加得sinA+sinB+siCcosA+cosB+cosC五、二元一次不等式（组）与简单线性规划问题（一）二元一次不等式(组)与平面区域（1）求约束条件及平面区域的面积例20.双曲线的两条渐近线与直线x=3围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（ ）A. B. C. D. 【解题思路】依据平面区域的画法求解.ABC解析双曲线的两条渐近线方程为，两者与直线围成一个三角形区域时有，故选A。例21.不等式组表示的平面区域的面积为_【解题思路】作出平面区域,再由平面几何知识求面积.解析不等式表示直线上及右上

27、方的平面区域,表示直线 上及右上方的平面区域,表示直线上及左边的平面区域，所以原不等式表示的平面区域如图8-3-1中的阴影部分,其中,故所求面积（2）求非线性目标函数的最大（小）值例22 已知，求：（1）的最小值;（2）的范围【解题思路】分别联想距离公式和斜率公式求解【解析】作出可行域，并求出顶点的坐标、（1）表示可行域内任一点到定点的距离的平方，过M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，故的最小值是（2）表示可行域内任一点到定点连线斜率的两倍；因为，故的取值范围为（3）线性规划中求目标函数的最值问题例24. 设，式中变量满足条件，求的最大值和最小值.l0【解题思路】按解题步骤求解.解析作

28、出可行域如图8-3-6所示,作直线:上, 作一组平行于的直线：，可知:直线往右平移时，随之增大。由图象可知,当直线经过点时，对应的最大，当直线经过点时，对应的最小，所以，（4）线性规划在实际问题中的应用在线性规划模型下的最优化问题.例25为迎接2008年奥运会召开，某工艺品加工厂准备生产具有收藏价值的奥运会标志“中国印舞动的北京”和奥运会吉祥物“福娃”.该厂所用的主要原料为A、B两种贵重金属，已知生产一套奥运会标志需用原料A和原料B的量分别为4盒和3盒，生产一套奥运会吉祥物需用原料A和原料B的量分别为5盒和10盒.若奥运会标志每套可获利700元，奥运会吉祥物每套可获利1200元，该厂月初一次性

29、购进原料A、B的量分别为200盒和300盒.问该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套才能使该厂月利润最大，最大利润为多少？解析:设该厂每月生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为套，月利润为元，由题意得 （）目标函数为作出可行域如图所示目标函数可变形为，当通过图中的点A时，最大，这时Z最大。解得点A的坐标为（20,24），10分将点代入得元答:该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为20，24套时月利润最大，最大利润为42800元.六、近年高考试题分析（2011年湖南文科）的A充分不必要条件必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分又不必要条件答案：A解析：因，反之，不一定有。（2011年湖南文科）1

30、4设在约束条件下，目标函数的最大值为4，则的值为 答案：3解析：画出可行域，可知在点取最大值为4，解得。（2011年湖南理科）10.设,则的最小值为 。答案：9解析：由柯西不等式可知。七、总结八、命题预测高考对该部分主要考查：一元二次不等式、一元二次不等式组和简单的线性规划问题、基本不等式的应用等。高考试卷中没有不等式解答题（选做题除外），通常会在小题中设置1到2道，而对不等式的深层考查则在数列解答题、解析几何解答题、函数导数解答题中考查。预测1. 设变量x，y满足约束条件：则目标函数z=2x+3y的最小值为A6 B7 C8 D23解析：画出不等式表示的可行域，让目标函数表示直线在可行域上平移

31、，解方程组得，知在点（2，1）处目标函数取到最小值，所以，选B。 动向解读：不等式主要考查应用，即应用不等式研究函数的性质、研究直线与曲线的关系等，利用基本不等式求待定函数的最值，利用不等式表示的平面区域解决线性规划问题。九、巩固练习1. 已知是定义在上的奇函数，当时，。（1）求函数的解析式；（2）求不等式的解集。 解：（1）是定义在上的奇函数， 。 设，则， （2）当时，由得； 当时，符合题意； 当时，由得； 原不等式的解集为。2. 直线过曲线上一点，斜率为，且与x轴交于点，其中试用表示；证明：； 若对恒成立，求实数a的取值范围。解：（1）依题意得直线的方程为，令，即则直线的方程为轴无交点，

32、故（2）由于又若从而，这与矛盾，因此（3）单调递减，恒成立，则只需故的取值范围是. 3. 已知实数x满足求函数|的最小值。解：原不等式等价于于是，当x1，3）时，f（x）2（当且仅当x=1时取等号）；当 x（-，-2时，可证得f（x）在（-，-2上单调递减，故（当且仅当x=-2时取等号）所以，所求函数的最小值为2。4. 已知 函数f(x)=的图像关于原点对称，其中m,n为实常数。求m , n的值；试用单调性的定义证明：f (x) 在区间-2, 2 上是单调函数；理科做 当-2x2 时，不等式恒成立，求实数a的取值范围。解： (1)由于f(x)图象关于原点对称，则f(x)是奇函数,f(-x)=-

33、f(x) f(x)在-2,2上是减函数。（3）由（2）知f(x)在-2,2上是减函数，则-2时,故-2不等式f(x)恒成立5. 已知函数和点，过点作曲线的两条切线、，切点分别为、（）设，试求函数的表达式；（）是否存在，使得、与三点共线若存在，求出的值；若不存在，请说明理由（）在（）的条件下，若对任意的正整数，在区间内总存在个实数，使得不等式成立，求的最大值解：（）设、两点的横坐标分别为、， ， 切线的方程为：，又切线过点， 有，即， （1） 同理，由切线也过点，得（2）由（1）、（2），可得是方程的两根， （ * ） ，把（ * ）式代入,得,因此，函数的表达式为 （）当点、与共线时，即，化简

34、，得， （3） 把（*）式代入（3），解得存在，使得点、与三点共线，且 （）解法：易知在区间上为增函数，则依题意，不等式对一切的正整数恒成立， ，即对一切的正整数恒成立， ，由于为正整数， 又当时，存在，对所有的满足条件因此，的最大值为 解法：依题意，当区间的长度最小时，得到的最大值，即是所求值，长度最小的区间为， 当时，与解法相同分析，得，解得 后面解题步骤与解法相同（略）6. 已知函数（1）求的定义域；（2）在函数的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x轴；（3）当a、b满足什么条件时，在上恒取正值。解：（1）由得，且，得，所以，即的定义域为。（2）任取，则，所以，即，故。所

35、以在为增函数；假设函数的图象上存在不同的两点，使直线平行于x轴，则。这与是增函数矛盾。故函数的图象上不存在不同的两点使过两点的直线平行于x轴。（3）因为是增函数，所以当时，。这样只需，即当时，在上恒取正值。7. 已知正项数列的前项和，（）求数列的通项公式；（）定理：若函数在区间D上是凹函数，且存在，则当 时，总有请根据上述定理，且已知函数是上的凹函数，判断与的大小；（）求证：解：（）时，或由于是正项数列，所以当时， 整理，得由于是正项数列，数列是以1为首项，1为公差的等差数列 从而，当时也满足（） （）由（）知对于上的凹函数，有根据定理，得整理，得令，得 ，即 （）由（），得8. 设函数f（x

36、）=在1+，上为增函数. （1）求正实数a的取值范围. （2）若a=1，求征：（nN*且n2）解：（1）由已知： = 依题意得：0对x1，+恒成立 ax10对x1，+恒成立 a10即：a1 （2）a=1 由（1）知：f（x）=在1，+上为增函数， n2时：f（）= 即： 设g（x）=lnxx x1，+， 则对恒成立，g（x）在1+为减函数n2时：g（）=lng（1）=10 即：ln=1+（n2）综上所证：（nN*且2）成立. 9. 已知数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）当时，证明不等式：.解：（1）当时，因为，所以，所以.因此：当时，数列是各项为0的常数列，所以.当时，数列是以为首项，为

37、公比的等比数列，所以，所以.又适合此式，因此.综，得.（2）由，得.因为，所以，所以，所以.因为，所以，因此不等式成立.10. 已知数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）证明不等式：.解：（1）当时，因为，所以，所以.因此数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以.又适合此式，因此.综，得.（2）由，得.因为，所以，所以.因此不等式成立.11. 已知函数 ()求证：函数上是增函数. (）若上恒成立，求实数a的取值范围.（）若函数上的值域是，求实数a的取值范围.解：（1）当用定义或导数证明单调性均可. （2）上恒成立.设上恒成立.可证单调增。故，的取值范围为 （3）的定义域为 当上单调增 故

38、有两个不相等的正根m，n， 当时，可证上是减函数. 综上所述，a的取值范围为12. 已知函数的定义域为R，对任意的都满足，当时，. （1）判断并证明的单调性和奇偶性； （2）是否存在这样的实数m，当时，使不等式 对所有恒成立，如存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由.解：（1）令 有 即为奇函数 在R上任取，由题意知 则 故是增函数 （2）要使，只须 又由为单调增函数有令原命题等价于恒成立令上为减函数，时，原命题成立.13. 已知二次函数满足：对任意实数x，都有，且当（1，3）时，有成立。（1）证明：;（2）若的表达式;（3）设 ,，若图上的点都位于直线的上方，求实数m的取值范围。解：（1

39、）由条件知 恒成立又取x=2时，与恒成立,.（2） . 又 恒成立，即恒成立.，解出：,.（3）由分析条件知道，只要图象（在y轴右侧）总在直线 上方即可，也就是直线的斜率小于直线与抛物线相切时的斜率位置，于是： .解法2：必须恒成立,即 恒成立.0，即 4(1m)280，解得： ; 解出：. 总之，.14. 设集合，若，求实数a的取值范围.解： 实数a的取值范围是：15. 对于函数（a0），如果方程有相异两根，（1）若，且的图象关于直线xm对称求证：；（2）若且，求b的取值范围；（3）、为区间，上的两个不同的点，求证：解：（1），且a0因为，所以，即，于是（2）由方程，可知，所以、同号由，则，

40、所以，所以，即4a2b-10，又，所以，（因为a0）代入式得：，解之得（3）由条件得，不妨设，则，故16. 已知函数f(x)=ax2+4x+b,(a,bR，a0),设关于x的方程f(x)=0的两实根为x1和x2,f(x)=x的两实根为和。（）若a,b均为负整数，|-|=1,求f(x)的解析式；（）（理）若12，求证：x1x22。（文）若为负整数，f(1)=0,求证：1|x1-x2|2.解：（）的两实根为 （1）又令则的两实根为 （2）即均为负整数，为负奇数，从而满足（1），（2），故（）（理） 且 即 由得（）（文） 又由（）得 即 又 不妨令 1，0，17. 如关于的方程有解，求实数的取值范

41、围。解：18. 已知函数（其中且） （I）求函数f(x)的反函数 （II）设，求函数g(x)最小值及相应的x值； （III）若不等式对于区间上的每一个x值都成立，求实数m的取值范围。解：（I） 函数的值域为 由，得 因此，函数的反函数 （II） 当且仅当 即时，g(x)有最小值 （III）由 得 设，则 根据题意，对区间中的一切t值，恒成立 则得 即实数m的取值范围是19. 设a0，函数f（x）-ax在1，）上是单调函数（1）求实数a的取值范围；（2）设1，f（x）1，且f（f（），求证：f（）解：（1）任取、1，且，则，显然，不存在一个常数a，使得恒为负数f（x）有确定的单调性，必存在一个常

42、数a，使恒为正数，即a3，这时有f（）f（）f（x）在1，上是增函数，故a的取值范围是（0，3（2）设f（）u，则f（u），于是则，即，又，即，故20. 已知，3（1）求f（x）；（2）求；（3）在f（x）与的公共定义域上，解不等式f（x）（1）设tx-1，得，将上式代入得，（），（）（2）令，得由于，（3）f（x）与的公共定义域为-1，2原不等式等价于不等式的解集为21. 已知不等式的解集为P。（1）若P,求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a，使PZ=6,8,若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由。解：(1) 即(4x-6+2x+a+1)(4x-6-2x-a-1)0(6x+a-5

43、)(2x-a-7)-4(2)若PZ=6，8,则 无解不存在满足要求的实数a。22. 解关于x的不等式(k0，k1).解：原不等式即， 1若k=0，原不等式的解集为空集；2若1k0，即0k0，若0k1，由原不等式的解集为x|2x；3若1k1时，原不等式等价于此时恒有2，所以原不等式的解集为x|x2.23. 设函数f(x)=x2+(lga+2)x+lgb，g(x)=2x+2，若f(1)=0，且对一切实数x，不等式f(x)g(x)恒成立； （）（本问5分）求实数a、b的值； （）（本问7分）设F(x)=f(x)g(x)，数列an满足关系an=F(n)， 证明：解：（I）依题意，f(1)=0即lgb=

44、lga+1，又f(x)g(x)0恒成立， x2+xlga+lgb20恒成立，=(lga)24(lgb2)0， 消去b得(lga2)20，lga=2，且lgb=3，a=100，b=1000； （II）由F(x)=(x+1)2，an=(n+1)2 ,k(k+1)ak(k+1)(k+2)， 故 令k=1、2、n，并将所得到的n个不等式相加， 可得， ，不等式两端除以n，命题即证.24. 设函数的定义域是R，对于任意实数，恒有，且当时，（）求证：，且当时，有；（）判断在R上的单调性；（）设集合，集合，若，求的取值范围解：(1)，令，则，且由时，所以；设，（2），则时，在R上单调递减（3），由单调性知，

45、又，从而w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 二、不等式的综合应用1.某广场中心要建一灯柱，广场边缘A点距灯柱根部(B点)100米，已知该点的照明亮度I和灯光射到这点的光线与地面夹角的正弦成正比，和这点的光源P的距离r的平方成反比，若要使A点获得最好的照明亮度，灯柱应建多高?(精确到0.1米)本题考查三角函数、立体几何解决实际问题的能力，同时考查数形结合思想、成比例的概念，利用不等式求最值的方法.2.已知xn=sin21sin22sin23sin2 yn=1-(cos21+cos22+cos2n)(nN)(1)判断x1与y1，x2与y2的大小关系，加以证明.(2)猜想xn与yn的关系，并证明

46、你的结论.(3)若cosn=(cos)n+1，证明xn.本题考查三角函数的恒等变形，不等式的证明及观察、归纳由特殊到一般的推理能力.3.某科研所要到某药厂买100桶药剂作试验用，每天用一桶，无论多少桶每趟的运费都是100元，而每桶药在科研所每天的储存保质费用需2元，问应分几趟(每趟购量相等)购买，才能使总的花费最省?(注：运回当天用一桶，不考虑买药剂的费用)本题主要考查学生对实际问题的理解，建模(利用函数求最小值)和求解能力及等差数列的综合运用.4.某县地处水乡，县政府计划从今年起用处理过的生活垃圾和工业废渣填河造池，(1)若该县以每年1%的速度减少填河面积，并为保持生态平衡，使填河总面积永远

47、不会超过现有水面面积的，问今年所填面积最多只能占现有水面面积的百分之几?(2)水面的减少必然导致蓄水能力的降低，为了保持其防洪能力不会下降，就要增加排水设备，设经费y(元)与当年所填土地面积x(亩)的平方成正比，比例系数为a，又设每亩水面年平均经济收入为b元，所填的每亩土地年平均收入为c元，那么，要使这三项收入不少于支出，试求所填面积x的最大值.(其中a、b、c为常数).本题考查由实际问题转化为等比数列的能力，及求函数最值的方法，建立数学模型的能力，阅读理解能力.5.已知f(x)=x2+(lga+2)x+lgb,f(-1)=-2,且对任何实数都有f(x)2x，求a、b的值.本题考查一元二次不等

48、式恒成立的充要条件和实数的性质，及由“不等”向“相等”转化的能力.6.渔场中鱼群的最大养殖量为m吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量，已知鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k0)(1)写出y与x的函数关系式，并指出这个函数的定义域.(2)求鱼群的年增长量达到的最大值.(3)当鱼群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围.本题考查二次函数区间上的最值，及不等式的实际应用.7.m为何值时，关于x的方程x2-2(m+2)x+m2-1=0，(1)有两个正根；(2)有两个大于2的根；(3)一根在(0，1)内，另一根在(1，2)内.

49、本题考查一元二次方程二次函数的图像，应用不等式与它们的关系进行问题转化的能力.8.若a、b、c、dR，且a2+b2=1，c2+d2=1，求证abcd，本题考查不等式的应用，由相等关系向不等关系的转化.9.求3yz=7850中的数字x，y，z.本题考查整数及不等式知识，由相等向不等的转化.10.已知y=3x2+x-2，求log4y的值.本题考查反三角函数知识.11.若正整数p、q、r使方程px2-qx+r=0在区间(0，1)内有两个不同的实根，求p的最小值.本题考查方程，不等式知识，分析问题解决问题的能力.12.边长为5的菱形，它的一条对角线的长不大于6，另一条对角线的长不小于6，则这个菱形两对角线长度之和的