2015-16自动控制原理505频率法

1、第5章 频率响应法 本章研究内容： 频率特性及表示法、典型环节的频率特性、系统开环频率特性的绘制、 Nyquist稳定判据、稳定裕量及计算。（1）频率特性具有明确的物理意义，它可以用实验的方法来确定，这对于难以列写微分方程式的元部件或系统来说，具有重要的实际意义。（2）主要利用开环频率特性图的特点对闭环系统性能进行分析，因而具有形象直观和计算量少的特点。（3）频率响应法不仅适用于线性定常系统，而且还适用于传递函数不是有理数的纯滞后系统和部分非线性系统的分析。频率特性的特点：5.1 频率特性的基本概念定义：频率特性又称频率响应，它是线性定常系统（环节或元件），在不同频率的正弦信号作用下，响应到达

2、稳态时，输出与输入的复数比。 定义表达式为理解：因为线性定常系统满足叠加性和齐次性，因此当其输入端施加一正弦信号，系统响应到达稳态时必为一与输入信号同频率的正弦信号，且输出响应的幅值和相位均为输入信号频率的函数。3设系统输入信号为证明：其中，Ci、B、D均为待定系数。响应到达稳态时其暂态分量为： 其稳态分量为： 由于:所以:（欧拉公式）用图形表示为G(s)R(s)C(s)G(s)r(t)Arc(t)Ac()c()G(j)R(j)C(j)设：则有：用复数形式表示为：意义：频率特性反映了系统对于正弦信号幅值和相位的改变情况。定义： 为幅频特性，即系统输出与输入的幅值之比。为相频特性，即系统输出与输

3、入的相位之差。系统模型间的关系三种数学模型之间的关系输出响应到达稳态时有： t s=+j j G(j)=G(s)|s= j频率特性的表示形式 代数形式： G(j)=P()+jQ() 幅相 (极坐标)式：G(j)=| G(j) | G(j) 指数式 ： G(j)=A()e j()实频特性虚频特性 正弦式 ：G(j)=A()cos()+j sin ()四种表达式之间的关系图5.1 复数的表示 幅相频率特性曲线（奈奎斯特Nyquist曲线,又称奈氏图）的幅值和相位也随之作相应的变化，其端点在复平面上移动的轨迹称为乃氏图。也称为极坐标图。定义：当输入信号的频率 变化时，向量频率特性的几何图示法 特点：

4、 是一种复平面中的极坐标图。 一般为绕坐标原点顺时针转动的一条曲线。 曲线上面必须表明的方向。 A()()作用：主要用于判断系统的稳定性乃氏稳定判据图5.2 乃氏图的特点 对数频率特性曲线对数坐标图-Bode图特点：两条曲线绘在同一坐标系中。 横坐标/ s-1：按10倍频程（dec）即lg 分度。纵坐标按线性分度L()/dB：0，20，40，60等。()： 0 ，90 ，180等。作用：用实验法求系统传函，进行系统的性能校正。0.1 1 10 102 103 10-4 /s-1( -1 0 1 2 3 4 lg)L()/dB () 270 60 180 40 90 20 0 0 - 90 -2

5、0-180 -40-270 -60注意(1) 横坐标每10倍频程段刻度是相同的，每10倍频程内刻度由稀到密。 (2) 斜率- 20dB/dec 表示每增加10倍频程，幅值L()下降20分贝。- 40dB/dec- 20dB/dec-40dB/dec(3) 根据直线斜率的定义有:-40=-tan=-L() / lg(2 / 1 )则: L()= 40 lg(2 / 1 )1 2 L()图5.3 对数坐标系的表示L()/dB () 0 0.30 0.48 0.70 0.85 0.95 0.60 0.78 0.90 1 lg图5.4 十倍频程的表示 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10/s-5.

6、2 典型环节的频率特性 乃氏图的绘制 “三点法” 起点：0，A(0),(0)终点： ，A(),()与负实轴的交点：令() =-180 x 则交点为A(g)，-180G(j)= A()ej() A()：起止位置 () ：起止方向相位截止频率或相位剪切频率注意：由(0) ()的变化范围可判断乃氏图所在 的象限。一、 频率特性的概略绘制 Bode图的绘制 “两段一点法” 低频段渐近线：0， L(0)； (0)高频段渐近线： ， L()； ()转折点：高低频段渐近线的交点。 令L(0)= L() 0 交点0， L(0)G(j)= A()ej() L()=20lgA()()对于相频特性就是对称点二、典型

7、环节(8个)的频率特性1. 比例环节图5.5 比例环节乃氏图（K，0）（1）乃氏图与无关，是正实轴上的一个点（K，0） 。（2）Bode图L()=20lgK ()=0是与无关的两条水平线 。图5.6 比例环节的Bode图作用：比例环节只改变原系统的幅值（K1，降低；K 1，抬高），不改变原系统的相位。2. 积分环节（1）乃氏图图5.7 积分环节乃氏图起点：, -90；终点： 0, -90特点：是一条与负虚轴重合并指向坐标原点的直线。图5.8 积分、微分环节Bode图积分环节（2）Bode图 L()= - 20lg是一条斜率为-20dB/dec，并过（1，0）点的直线。 ()=-90， 是一条与

8、无关的- 90直线。-20dB/dec3. 纯微分环节图5.9 微分环节乃氏图（1）乃氏图起点：0, 90；终点： , 90是一条与正虚轴重合，由坐标原点指向的直线。注意： Bode图与积分环节以轴为镜像对称。传递函数与积分环节互为倒数（2）Bode图L()= 20lg，是一条斜率为20dB/dec，并过（1，0）点的直线。 ()=90，是一条与无关的+90直线。图5.8 积分、微分环节Bode图积分环节微分环节4. 惯性环节（1）乃氏图 起点：（1, 0） 终点： （0, -90） 特点：惯性环节的乃氏图是位于第四象限的半圆。图5.10 惯性环节的乃氏图（1, 0）Re0Im（2）Bode图

9、联立消去可以得到实部和虚部 的关系式：故，惯性环节的乃氏图是圆心为点（0.5，j0）上，半径为0.5的半园（=0）。证明：实频特性和虚频特性为低频段：0L()0dB，幅频特性是一条0dB的直线。() 0，相频特性是一条0的直线。高频段：L()-20lgT = -20lg -20lgT 幅频特性是一条斜率为-20dB/dec的直线() -90 相频特性是一条-90的直线转折点：令-20lgT =0dB或令-arctan T =- 45 可得转折频率=1/T 转折点的实际幅频值： L(1/T)=-20lg - 3dB 转折点的相位： (1/T) - 45低频渐近线 高频渐近线 精确曲线 Asymp

10、tote Asymptote Corner frequency：n=1/T =10Exact curve精确曲线 Exact curve图5.11 惯性环节的Bode图 图5.12 惯性环节对数频率响应的误差曲线5. 一阶微分环节图5.13 一阶微分环节乃氏图（1）乃氏图 起点：（1, 0） 终点： （, 90） 特点：一阶微分环节的乃氏图是位于第象限（ 0 90 ）的垂线。传递函数与惯性环节互为倒数。（2）Bode图转折点：令20lgT =0dB或令arctan T =45 可得转折频率=1/T，与惯性环节相同，特性曲线与惯性环节以轴为镜像对称。低频段：0L()0dB() 0低频段与惯性环节

11、相同高频段：L()20lgT() 90 高频段与惯性环节互为相反数，即以轴为镜像对称。Bode Diagram of G(jw)=jwT+1) T=0.1Frequency (rad/sec)Phase (deg)Magnitude (dB)051015202510010110204590图5.14 一阶微分环节的Bode图 316. 振荡环节（1）乃氏图起点：（1, 0）终点： （0, -180）图5.15 振荡环节的乃氏图 =r特点：振荡环节的乃氏图是位于第、 象限（ 0 180 ），随变化的一簇曲线。与负虚轴的交点： 令()=-90 得：=n=1/T， A(n)=1/2 有谐振：低频段：

12、0L()0dB() 0低频段与一阶环节相同（2）Bode图高频段：L()- 40lgT 幅频特性是一条斜率为-40dB/dec的直线。() -180相频特性是一条-180的直线。 转折点：令- 40lgT =0dB或令arctan T =-90 可得转折频率= n=1/T，与一阶环节相同。 L (n)=-20lg1/2， (n)= -90谐振点： = L(r)=-20lgA (r)=-20lgMr=特点：振荡环节的Bode图是随变化的一簇曲线。当值在一定范围内时，其相应的精确曲线都有峰值，渐近线误差随不同而不同，在附近为最大，并且值越小，误差越大。图5.16 振荡环节的Bode图n图5.17

13、振荡环节的误差修正曲线7. 二阶微分环节图5.18 二阶微分环节的乃氏图（1）乃氏图（2）Bode图 与振荡环节以轴为镜像对称。8. 延迟环节图5.19 延迟环节的乃氏图Re0Im1-1（1）乃氏图延迟环节的乃氏图是一单位园。图5.20 延迟环节的Bode图（2）Bode图= -0 1 K j 1比例2积分3微分4惯性5一阶微分6振荡7二阶微分8滞后结论：零点环节（三种微分环节），相位为正，乃氏图位于上半平面；无零点环节（积分、惯性、振荡）相位为负，乃氏图位于下半平面；比例环节乃氏图为正实轴上的（K,0）点；滞后环节乃氏图为单位圆。典型环节乃氏图小结（1）比例环节：相频Bode图为0线 ；幅频Bode图为20lgKdB线。（2）零点环节（三种微分环节）： 相频Bode图相位分别为：