二元函数极限

1、关于二元函数的极限第一张，PPT共三十八页，创作于2022年6月回忆一元函数的极限. 设 y = f (x),当 x 不论是从 x0的左边还是从x0的右边无限接近于x0时, 对应的函数值无限接近于数 A.表示如图xyA0f (x)f (x)y = f (x)x0 xxx x0就是 0, 0.当0|x x0| 时, 有|f (x) A | .第二张，PPT共三十八页，创作于2022年6月设二元函数 z = f (X) = f (x, y), 定义域为D.如图Dz = f (x, y)XX如果当X在D内变动并无限接近于X0时 (从任何方向, 以任何方式),对应的函数值 f (X)无限接近于数 A,

2、 则称A为当X趋近于X0时f (X)的极限.MX0Ayzxof (X)第三张，PPT共三十八页，创作于2022年6月类似于一元函数, f (X)无限接近于数 A可用 | f (X) A | 0, 0, 当对应的函数值满足| f (P) A | 0，P0 的去心 邻域 U(P0, )。在U(P0, )内，函数的图形总在平面及之间。第七张，PPT共三十八页，创作于2022年6月例1 用“”定义验证极限 证明因为 第八张，PPT共三十八页，创作于2022年6月先限制在点（2，1）的的方邻域内讨论，则有 所以 第九张，PPT共三十八页，创作于2022年6月于是 ，取，则当时，就有 由二元函数极限定义知

3、 第十张，PPT共三十八页，创作于2022年6月例 求证 证当 时，原结论成立第十一张，PPT共三十八页，创作于2022年6月例2设证明 证明： 对函数的自变量作极坐标变换 这时等价于对任何都有.由于 第十二张，PPT共三十八页，创作于2022年6月因此，只须取，当时，不管取什么值都有所以 第十三张，PPT共三十八页，创作于2022年6月定理16.5 的充要条件是：对于的任一子集,只要是的聚点，就有 推论1 设是的聚点.若不存在，则也不存在 第十四张，PPT共三十八页，创作于2022年6月推论2 设是它们的聚点，但,则不存在 若存在极限第十五张，PPT共三十八页，创作于2022年6月推论3 极

4、限存在的充要条件是：对于中任一满足条件且的点列，它所对应的函数列都收敛. 上述定理及其推论相当于数列极限的子列定理与一元函数的海涅归结原则 第十六张，PPT共三十八页，创作于2022年6月注意： 是指 P 以任何方式趋于P0 .一元中多元中第十七张，PPT共三十八页，创作于2022年6月确定极限不存在的方法：(1) 令),(yxP沿)(00 xxkyy-+=趋向于),(000yxP， 若极限值与k有关，则可断言极限不存在； (2) 找两种不同趋近方式，使),(lim00yxfyyxx存在，但 两者不相等，此时也可断言),(yxf在点),(000yxP 处极限不存在 第十八张，PPT共三十八页，

5、创作于2022年6月例3. 设f (x, y) = 证明 f (x, y)在 (0, 0)点的极限不存在.证: 只须证明当X 沿不同的线路趋于(0, 0)时, 函数f (x, y)对应的极限也不同即可.第十九张，PPT共三十八页，创作于2022年6月考察 X =(x, y)沿平面直线 y = kx 趋于(0, 0)的情形.如图对应函数值xoy第二十张，PPT共三十八页，创作于2022年6月从而, 当 X = (x, y) 沿 y = kx 趋于(0,0)时, 函数极限请考察当X = (x, y)沿 x 轴, 沿 y 轴趋于(0, 0)的情形.当 k 不同时, 极限也不同. 因此, f (x,

6、y) 在 (0, 0)的极限不存在 .第二十一张，PPT共三十八页，创作于2022年6月沿 x 轴, y = 0. 函数极限= 0沿 y 轴, x = 0. 函数极限= 0但不能由此断定该二重极限为0第二十二张，PPT共三十八页，创作于2022年6月例4 二元函数请看p95图16-7，沿任何直线趋于原点时都趋于零，但也不能说该函数在原点的极限沿抛物线的值趋于而不趋于零，尽管当就是零，因为当趋于原点时 所以该极限不存在.第二十三张，PPT共三十八页，创作于2022年6月非正常极限 极限的定义 设二元函数为定义在上的二元函数，为的一个聚点，如果使得当时，都有则称在上当时，存在非正常极限记作 点 或

7、 第二十四张，PPT共三十八页，创作于2022年6月仿此可类似地定义与例5 设函数证明 证明：因为 ，只要取，当时，都有 第二十五张，PPT共三十八页，创作于2022年6月由此推得即 所以 第二十六张，PPT共三十八页，创作于2022年6月二元函数极限的性质性质（四则运算）与一 元函数运算相同 除了这些相似性之外，我们也指出，多元函数的极限较之一元函数的极限而云，要复杂得多，特别是自变量的变化趋势，较之一元函数要复杂。第二十七张，PPT共三十八页，创作于2022年6月例 求解二元函数的极限运算举例第二十八张，PPT共三十八页，创作于2022年6月例 求极限 解其中第二十九张，PPT共三十八页，

8、创作于2022年6月二.累次极限中的两个自变量以任何方式趋于时的极限，我们称它为二重极限.与依一定次序趋于与时的极限，称为累次极限. 对于两个自变量对于二元函数在与依一定次序趋于与时的累次极限有两个 和 第三十张，PPT共三十八页，创作于2022年6月例6 设, 求在点解 当时，有 从而有 同理可得 的两个累次极限.第三十一张，PPT共三十八页，创作于2022年6月1.两个累次极限可以相等也可以不相等，所以计算累次极限时一定要注意不能随意改变它们的次序. 例7 函数关于原点的两个累次极限分别是 与.第三十二张，PPT共三十八页，创作于2022年6月2.两个累次极限即使都存在而且相等，也不能保证二重极限存在 例如 设 两个累次极限都存在 且相等. 但二重极限却不存在. 第三十三张，PPT共三十八页，创作于2022年6月3.二重极限存在也不能保证累次极限存在，即二重极限存在时, 两个累次极限可以不存在. 例8 函数 由于，故由定义知二重极限存在,且 但对任何，当时的第二项不存在极限 第三十四张，PPT共三十八页，创作于2022年6月同理对任何，当时的第一项不存在极限，从而两个累次极限都不存在.第三十五张，PPT共三十八页，创作于2022年6月定理16.6 若二重极限极限 和累次极限 (或另一次序)都存在 , 则它们必相等. 推论1 若二重极限