四川省中考突破复习题型专项(十)圆的简单证明与计算

1、题型专项(十)圆的简单证明与计算1(2016乐山)如图，在ABC中，ABAC，以AC边为直径作O交BC边于点D，过点D作DEAB于点E，ED，AC的延长线交于点F.(1)求证：EF是O的切线；(2)若EBeq f(3,2)，且sinCFDeq f(3,5)，求O的半径与线段AE的长解：(1)证明：连接OD.ABAC，BACD.OCOD，ODCOCD.BODC.ODAB.DEAB，ODEF.EF是O的切线(2)在RtODF和RtAEF中，sinCFDeq f(3,5)，eq f(OD,OF)eq f(AE,AF)eq f(3,5).设OD3x，则OF5x.ABAC6x，AF8x.EBeq f(3

2、,2)，AE6xeq f(3,2).eq f(6xf(3,2),8x)eq f(3,5).解得xeq f(5,4).O的半径长为eq f(15,4)，AE6.2(2016鄂州改编)如图，在RtABC中，ACB90，AO是CAB的平分线以O为圆心，OC为半径作O.(1)求证：AB是O的切线；(2)已知AO交O于点E，延长AO交O于点D，tanDeq f(1,2)，求eq f(AE,AC)的值解：(1)证明：过点O作OFAB于点F.AO平分CAB，OCAC，OFAB，OCOF.AB是O的切线(2)连接CE.ED是O的直径，ECD90，即ECOOCD90.ACB90，ACEECO90.ACEOCD.

3、OCOD，OCDODC.ACEODC.CAECAE，ACEADC.eq f(AE,AC)eq f(CE,DC).tanDeq f(1,2)，eq f(CE,CD)eq f(1,2)，eq f(AE,AC)eq f(1,2).3(2016云南)如图，AB为O的直径，C是O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AEDC，垂足为E，F是AE与O的交点，AC平分BAE.(1)求证：DE是O的切线；(2)若AE6，D30，求图中阴影部分的面积解：(1)证明：连接OC.OAOC，OACOCA.又AC平分BAE.OACCAE.OCACAE.OCAE.OCDE.又AEDC.E90.OCD90.OCDC.点

4、C在O上，OC为O的半径，DE是O的切线(2)在RtAED中，D30，AE6.AD2AE12.在RtOCD中，D30.DO2OCDBOBDBOC.DBOBOCOAeq f(1,3)AD4，DO8.CDeq r(DO2OC2)eq r(8242)4eq r(3).SOCDeq f(CDOC,2)eq f(4r(3)4,2)8eq r(3).又D30，OCD90.DOC60.S扇形OBCeq f(1,6)OC2eq f(8,3).S阴影SOCDS扇形OBC，S阴影8eq r(3)eq f(8,3).阴影部分的面积为8eq r(3)eq f(8,3).4(2016广安岳池县一诊)如图，PA为O的切线

5、，A为切点，过点A作OP的垂线AB，垂足为点C，交O于点B.延长BO与O交于点D，与PA的延长线交于点E.(1)求证：PB为O的切线；(2)若OCBC23，求sinE的值解：(1)证明：连接OA.PA为O的切线，PAO90.OAOB，OPAB，BCCA，PBPA.在PBO和PAO中，eq blc(avs4alco1(PBPA，,OPOP，,OBOA，)PBOPAO(SSS)PBOPAO90.PB为O的切线(2)连接AD.BD是直径，BAD90.由(1)知BCO90，ADOP.ADEPOE.eq f(EA,EP)eq f(AD,PO).BCAC，OBOD，OC是ABD的中位线，AD2OC.OCB

6、C23，设OC2t，则BC3t，AD4t.OBCPBC90，BOCOBC90，BOCPBC.OCBBCP，PBCBOC.eq f(BC,OC)eq f(PC,BC)，即eq f(3t,2t)eq f(PC,3t)，PCeq f(9,2)t，OPeq f(13,2)t.eq f(EA,EP)eq f(AD,OP)eq f(8,13).设EA8 m，EP13 m，则PA5 m.PAPB，PB5 m.sinEeq f(PB,EP)eq f(5,13).5(2014攀枝花)如图，ABC的边AB为O的直径，BC与圆交于点D，D为BC的中点，过点D作DEAC于点E.(1)求证：ABAC；(2)求证：DE为

7、O的切线；(3)若AB13，sinBeq f(12,13)，求CE的长解：(1)证明：连接AD.AB是O的直径，ADB90.ADBC.又D是BC的中点，ABAC.(2)证明：连接OD.O，D分别是AB，BC的中点，ODAC.ODEDEC90.ODDE.DE是O的切线(3)AB13，sinBeq f(12,13)，eq f(AD,AB)eq f(12,13)，即AD12.由勾股定理得BD5.CD5.BC，eq f(DE,CD)eq f(12,13)，即DEeq f(60,13).根据勾股定理得CEeq f(25,13).6(2016苏州)如图，AB是O的直径，D，E为O上位于AB异侧的两点，连接

8、BD并延长至点C，使得CDBD.连接AC交O于点F，连接AE，DE，DF.(1)证明：EC；(2)若E55，求BDF的度数；(3)设DE交AB于点G，若DF4，cosBeq f(2,3)，E是弧AB的中点，求EGED的值解：(1)证明：连接AD.AB是O的直径，ADB90，即ADBC.CDBD，AD垂直平分BC.ABAC，BC.又BE，EC.(2)四边形AEDF是O的内接四边形，AFD180E.又CFD180AFD，CFDE55，又EC55.BDFCCFD110.(3)连接OE.CFDAEDC，FDCDBD4.在RtABD中，cosBeq f(2,3)，BD4，AB6.E是eq o(AB,su

9、p8()的中点，AB是O的直径，AOE90.AOOE3.AE3eq r(2).E是eq o(AB,sup8()的中点，ADEEAB.又AEGDEA.AEGDEA.eq f(AE,GE)eq f(DE,AE)，即EGEDAE218.7(2016雅安)如图1，AB是O的直径，E是AB延长线上一点，EC切O于点C，OPAO交AC于点P，交EC的延长线于点D.(1)求证：PCD是等腰三角形；(2)CGAB于点H，交O于点G，过点B作BFEC，交O于点F，交CG于Q点，连接AF，如图2，若sinEeq f(3,5)，CQ5，求AF的值解：(1)证明：连接OC.EC切O于点C，OCDE，即OCPDCP90.又OPOA，OAPOPA90.OAOC，OCPOAP.DCPOPA.又OPADPC，DCPDPC.DPDC，即PCD为等腰三角形(2)连接OC，BC.DE与O相切于点C，OCE90，即OCBBCE90.OCOB，OCBOBC.OBCBCE90.又CGAB，O