7.1 空间几何中的平行（精练）（解析版）

1、空间几何中的平行（精练）【题组一线面平行】（2021 北京清华附中）如图，在四棱锥PA3C。中AB/CD求证：43/平面PCO【答案】证明见解析【解析】因为AB/CO，平面PCO. COu平面PCO,所以A3平面PCO；（2021 浙江高三期末）如图，四棱锥CABEO中，四边形力版是正方形，假设G,尸分别是线段与口（1）求证：GF平面4%.（2）在线段切上是否存在一点只 使得平面G/7V/平面力比？并说明理由.【答案】（1）证明见详解；（2） P为线段C少中点，理由见详解.【解析】（1）证明：由四边形月版为正方形可知， 连接力必与协相交于中点凡又6是线段欧的中点，故G/ AC,上一点，且 AD

2、 = DC = BC = C0 = CC=gAB = 2, AB1/CD, CO = 1（CA + CB）,求证：G。平面 ADAy【答案】证明见解析【解析】因为四棱柱ABC。一斗石GR为直四棱柱，所以A4J/CG， 乂。=；（或+5），所以点。为A8的中点，又CD = gAB,且ABHCD,所以CQ = OA且CEV/Q4,所以四边形AOCO为平行四边形，所以4力 2hoc,又在平面A AQ中，M n A。= A,在平面C0C中，CG nCO = c，由面面平行的判定定理得平面AADH平面G。，又GOu平面G。，所以G。平面ada；14. （2021 重庆南开中学高三其他模拟）如图，AN是圆

3、柱底面圆。的直径，点C、尸是A3的两个三等分点，8、应:为圆柱的母线，求证：EF平面OCD【答案】证明见解析【解析】证明：连结8尸，丁点C、产是A8的两个三等分点，8/0。，尸平面OCO；又。、8石均为圆柱的母线，BEC力，BE平面OCO，又=平面/平面OCO,又Fu平面庞尸，,所平面08.【题组二 面面平行】（2021 全国高三）如下图，四棱柱的侧棱与底面垂直，4。= 20,例=八。=。0 = 2,4。,3。交于点后，且尸分别为AC,CG的中点，BE =浮,求证:平面用。0/平面A8Q【答案】证明见解析【解析】如图，连接A。，设AAcAO = ，那么为4。的中点，而E为力。的中点，连接E77

4、,那么为AC的中位线，所以77。，乂 EH .平面, CD平面BD所以EH/平面4c2 , 乂因为侧棱与底面垂直，所以84/。1,8q=。2，所以四边形3HQ。为平行四边膨，所以4R /8O, BDu平面8cR,平面与。2,所以8。/平面与CR,又BDcEH = E，平面AB。，所以平面与C。/平面AB。.（2021 山西太原市）如图，在三棱锥P-4BC中，PA8是正三角形，G是PA8的重心，D, E， ”分别是BA, BC, PC的中点，点尸在BC上，且BF = 3FC,求证：平面DFH 平面PGE【答案】证明见解析【解析】证明：连结8G,因为PA8是正三角形，G是248的重心，。为QA的中

5、点,【答案】证明见解析【解析】证明：连结8G,因为PA8是正三角形，G是248的重心，。为QA的中点,所以BG与G。共线，且BG = 2GO，因为E为8C的中点，BF = 3FC,所以尸是C的中点,所以需BE EF=2,所以 GEDF,又GEi平面尸GE, Oz平面尸GE,所以OF平面PGE,因为“是尸。的中点，所以FHPE,因为“仁平面PGE, PEu平面PGE,所以“平面PGE,因为FHcDF = F，九”,Obu平面力切,所以平面。-7平面PG；3.（2021 河北衡水中学）如图，在多面体ABCOEF中，ABCD是正方形,AB = 2, DE=BF,M为棱AE的中点，求证：平面3M。/平

6、面EFCBF/DE,【答案】证明见解析【解析】证明：如图，连接AC,交8。于点A；为AC的中点，连接MN,由勿为桂AE的中点，那么MM/EC.,: MN u 面 EFC, ECu 面 EFC.MN / / 平面 EFC .V BF/DE,四边形3。石尸为平行四边形，/. BDHEF .又 BDa 平面 EFC，EFu平面 EFC，； BD/平面 EFC,又 MNCBD=N,平面胡）/平面瓦C.（2021 河南高三三模）如图，在几何体A3C中，四边形43co是矩形，AB = BE = EC = 2, G ,F, M分别是线段BE, DC, A8的中点，求证：平面GM/平面ADE【答案】证明见解析

7、【解析】如图，因为A3中点为M，连接MG，乂G是破的中点，可知GMAE,乂AEq平面GMa平面AOE，所以GM 平面4。石.在矩形ABC。中，由M，尸分别是A3, C。的中点得M/ AO.乂 AOq平面AOE, M/72平面ADE，所以加少|平面AOK.又因为GMcMF = M, GMq平面GM/, Mbq平面GMV,所以平面GMF|平面七（2021 安徽省舒城中学）如图，四边形力直方是边长为2G的菱形，BB尸D仄=2, E,/分别是加，AR 的中点，证明：平面做卯平面啰【答案】证明见解析【解析】证明：连接4C，交8。点O,连接0,那么。为AC的中点,是4。1的中点，.二。七/。OEu平面BD

8、EF, CD、（z平面5。瓦，所以CR 平面BDEF又“是AS】的中点.ER/3QEFu平面BDEF, BQ、D平面87无尸，所以与。/平面BDEF 乂CR,8Qu平面C4Q, B、DCCD=D1,所以平面 8。瓦7/平面CgQ .（2021 全国高三二模）如图，矩形ABC。所在的平面垂直于直角梯形A8PE所在的平面，且EP = 5 BP = 2, AD = AE= AE1.EP，AE/BP, F, G 分别是 8C, 8尸的中点，求证:平面平面尸ECP【答案】证明见解析【解析】尸，G分别是8C,族的中点，FGCP,且bGa平面C庄，那么bG平面CPE，BG=PG = AE=1,且 AE/BP

9、, AELEP，四边形AEPG是矩形，那么律AG,且4G z平面。庄，那么AG 平面C庄：乂GAcGF = G,故平面 AR7平面 PEC（2021 安徽省舒城中学）如图，四边形ABC。是边长为26的菱形，。/1，平面48。，BBJ平面ABC。，且Bq=。=2, /分别是4。3片的中点，证明：平面BDEF 平面CBQi【答案】证明见解析【解析】旦尸分别是的中点，尸BQ,又所已平面BQ】u平面即平面CBR ； 连接AC,交BD于点O,连接尸0,四边形A8CO为菱形，.二。为AC中点，又F为AB、中点、，：.FOB,平面。片0, BCu平面. FO平面 CBQ；又 EFCFO=F, EF, FO

10、u 平面 BDEF， 平面 BDEF 平面 CBR ；8.（2021嚏:国高三）在四棱锥P-A3C。，平面Q4O_L平面A3CD,四边形力以刀为直角梯形，AB/DC, AB1AD, PALPD, AO = DC = 2A8 = 2,为比的中点，点/、在/T上，且夕尸=3户C,证明：EF ! / 平面PAD【答案】证明见解析【解析】证明：取的中点G,连接比，取口;的中点连结掰FH,在梯形/出。7中，48/DC且A8 =，DC, 2所以 A8QG且 A3 = QG,所以 8G/AQ,因为为比1的中点，所以EH/3G,那么EH/AO,因为E仁平面A。, AOu平面APD所以切/平面APD，又CH =

11、LcGCD,因为尸尸=3/。，所以C =，CP,所以FH/PD, 244因为FH C = 0E = A,所以四边形力侬是菱形，所以AC7/OE,且Z）E3 =瓦.AC EF CE 2 BD _ EF 2 BD _ 1乂族=3，,丽-就一写，而，一函守8.（2021 辽宁朝阳市高三一模）如图，在三棱锥PA3C中，PC_L底面ABC, CA = CB = CP = AB 2例、N分别是PA、P8的中点，AN与BM交于点、E,b是尸。上的一个点，记万=4卮（04 1）,假设尸平面八8C,求实数4的值P【解析】连接收，并延长交A81点D，PE 9因为M、N分别是Q4、/归的中点，所以点为P4B重心，且

12、。为A3的中点，所以丽=，因为砂平面ABC，平面尸。门平面ABC = CO, EFu平面PC。，所以EF/CD,所以pp pF 77=-,又因为所= /LPC（0四边形ABCO为矩形，那么ADHBC，QAOa 平面 BC5, BC u 平面 BCF, AD平面 BCF,.AOcAE=4，所以，平面 ADE/平面 BC77，OEu 平面 ADE，故 OE平面 BCF:11.（2021 江苏徐州市）如图，正方体ABCO-AGR的棱长为2, E是。A的中点.设平面48MA与平面4CE的交线为1,求证：/平面ACE【答案】证明见解析【解析】在正方体- 中，平面平面 又因为平面abqaCI平面ACE = /,平面co/ZGn平面ACE=CE，所以/CE,又因为/7平面ACE，CEu平面4CE,所以/平面ACE.（2021 陕西渭南市）如图，在多面体ABC。斯中，矩形5OEF所在平面与正方形A3C。所在平面 垂直，48 = 1，点M为4E的中点，求证：BM / /平面EFC【答案】证明见解析【解析】连接AC交/。于点N .连接MN.因为四边形4BCO是正方形，所以N为AC的中点，由于为AE