关于“芝诺悖论”的一些思考

1、关于“芝诺悖论的一些考虑王玉峰北京大学哲学系如今流传下来而广为人所知的所谓“芝诺悖论共有九个：四个是关于运动的，三个是指向“多的，一个是反对空间观念的，另一个那么试图说明感觉是不可靠的。色这些芝诺“悖论长久以来就引起了人们的广泛兴趣，其中尤以关于所谓运动的那四个悖论最为著名。而芝诺反对运动的那些论证其原著已经佚失，现有资料来自亚里士多德在？物理学？中的阐述，主要是该书第六卷第九章。回根据亚里士多德的记载，这四个所谓关于运动的悖论分别是：两分法，阿喀琉斯，飞矢不动和运动场。蚂亚里士多德在其？物理学？中分别反驳了芝诺，指出了芝诺的这些“悖论都是“错误的。后来的大多数学者们根本上是继承了亚里士多德的

2、看法，而近代以来也有一些数学家和逻辑学家们借助于当时的数学和逻辑学成就，主要是微积分理论，来试图“解决这些“悖论。外表上看来，这些学者们似乎是“解决了这些“悖论，可是带有悖谬性的是，正是通过这些“悖论的“解决，芝诺由一个哲学家变成了一个没有常识的人。而在本文中，笔者那么通过对芝诺关于所谓运动的这四个“悖论的重新诠释，来试图恢复芝诺作为一个严肃的哲学家的本来面目。根据这四个悖论的内容，我把它们分成两组来分别加以阐述，那就是两分法和阿喀琉斯一组，飞矢不动和运动场一组。我将说明芝诺的这两组悖论分别是针对当时在数学和物理学中流行的错误”前提的，所以他的这些“悖论没有什么所谓的“逻辑错误。一两分法与阿喀

3、琉斯根据亚里士多德的记载，所谓的“两分法是指，一个位移的事物在到达目的地之前必须先抵达一半处，可是这种一再二分的一半是为数无限的，因此不可能走完为数无限的路程，因此运动不存在。国有人认为这和中国古代哲学中的“一尺之槌，日取其半，万世不竭的道理是一样的。5而“阿喀琉斯的悖论意思是说：“一个跑得最快的人永远追不上一个跑得最慢的人。因为追赶的人必须首先跑到被追的人的出发点，因此走的慢的人必然永远领先。6亚里士多德说，“这个论证和第一个论证，即二分法的论证是一回事，分别只在于：在分划那个量时这里不是用的二分法。回弗里曼用现代数学来解释这个论证：设慢跑者为快跑者速度的1/10,快者跑10单位长度，慢者只

4、能跑1单位长度，按10:1列式为：1/10+1/100+1/1000+1/n,这样只能无限接近，不能赶上。8对这两个“悖论，亚里士多德认为芝诺的这些想法都是错误的。针对“两分法，亚里士多德说，“芝诺在有一个论证里犯了错误。他主张一个事物不可能在有限的时间里通过无限的事物，或者分别地和无限的事物相接触。须知长度和时间被说成是无限的有两种涵义，并且一般地说，一切连续事物被说成是无限的都有两种涵义：或分起来的无限，或延伸上的无限。因此，一方面，事物在有限的时间里不能和数量上无限的事物相接触，另一方面，却能和分起来无限的事物相接触，因为时间本身分起来也是无限的。因此通过一个无限的事物是在无限的世界里而

5、不是在有限的时间里进展的，和无限的事物接触是在无限数的而不是在有限数的如今上进展的。因此，既不能在有限的时间里通过无限的量，也不能在无限的时间里通过有限的量；而是：时间无限，量也无限，量无限，时间也无限。回也就是说，在亚里士多德看来，芝诺是混淆了以上两种不同的无限概念，有限的时间固然不能穿越无限延展的间隔而到达终点，可是有限的时间却可以越过一定量度它是可以被无限分割的中无限数的点而到达终点，因为这有限的时间也是同样可以被无限分割的。W对于“阿喀琉斯悖论，亚里士多德认为，由于它和“二分法的论证是一回事，所以“对这个论证的解决方法也必然是同一个方法。口亚里士多德说，“认为在运动中领先的东西不能被追

6、上这个想法是错误的。因为在它领先的时间内是不能被赶上的，但是，假设芝诺允许它能越过所规定的有限的间隔的话，那么它是可以被赶上的。回因此我们可以看到，芝诺的这两个悖论是以时空的“无限分割为前提，亚里士多德对这两个悖论的解决方式是：成认了时空的这种无限可分性，但是通过区分了两种不同的“无限，而主张在有限的时间里通过有限间隔的无限的点是可能的。因为有限的时间和间隔本身都是可以无限分割的。近代以来的数学家和逻辑学家们用微积分的方式来解决这两个悖论的方法和亚里士多德的方式是很相似的，他们都是首先成认了时空的某种无限可分性，然后再对这个问题加以处理。且不管数学家们求极限和积分的运算是否正确，我们的一个问题

7、是：这是否是芝诺提出这两个“悖论的原意？这些学者们是否理解了芝诺“悖论的意图？在我看来，亚里士多德和近代以来的微积分学者们所说的这些固然是“正确的，因为这些显然可以被我们的经历所直接证明。可是由于他们误解了芝诺“悖论的”意图，所以他们对这些“悖论的解决本身乃是无的放矢的！下面我讲试图说明这一点。众所周知，芝诺是哲学家巴门尼德的学生及好友，而根据柏拉图在？巴门尼德篇？中的记载，芝诺不仅仅原意在友谊方面和巴门尼德相契，而且在他的著作中也愿意和他保持一致。也就是说芝诺的学说是以另外一种方式来论证他的老师的观点。因此，要想理解芝诺悖论的意图，我认为必需要首先理解巴门尼德的一些根本思想。在巴门尼德看来，

8、存在是一种不生不灭，连续的和绝对完美的“一。13在这里需要特别注意的是，在巴门尼德那里，这个绝对完美的“一乃是“有限的，他曾把之比喻为“滚圆的球体。因此，“无限反而表示不完美和有缺陷的意思。也正是如此，绝对的无限乃是根本不存在的东西，任何有限的事物也不可能“无限可分。所以根据巴门尼德的哲学，”无限和”无限可分乃是一些违犯“自然的概念。芝诺悖论必需要放到巴门尼德哲学的这种背景中来考虑。第欧根尼.拉尔修认为芝诺是辩证法的创始人。芝诺的这种辩证法和苏格拉底的方法是很相似的，他们都是从一个假定的“前提出发，然后推导出一个明显荒唐的结论，或者推导出两个正相反对的结论，以此来否认那个原先假定的“前提。对芝

9、诺的这些“悖论因此也必需要放到这种“辩证法的思想方式中来把握。在说明了以上两点后，我们下面就可以来看一看芝诺的“两分法和“阿喀琉斯悖论了。毫无疑问，这两个“悖论是以时空的某种“无限可分性为前提的，并且它们的结论也明显是荒唐的，一个运动的物体当然可以经过整个路程的一半而到达终点，阿喀琉斯当然可以追上乌龟。根据“辩证法的思路，这两个明显荒唐的结论显然是在质疑事物的“无限可分这个前提。因此，芝诺在此根本不存在什么逻辑矛盾，假设一个有限的间隔真的可以“无限分割，即所谓“日取其半，万世不竭的话，那一个运动的物体当然永远不可能到达终点，阿喀琉斯当然永远不可能追上乌龟。因此，问题就在于：“无限分割这个观念是

10、否是正确的或它是否是符合自然的？这才是芝诺这两个悖论的真实意图。而显然，在这里芝诺是通过“另一种方式和他的老师巴门尼德在思想上保持了一致：存在是“有限的完美的，不存在什么广延上的“无限，也不存在什么在量上的“无限可分。芝诺“两分法和“阿喀琉斯的悖论除了捍卫他的老师的观点外，似乎也是直接针对当时毕达哥拉斯学派的某些观点的。比方十九世纪后期法国研究科学和哲学史的泰纳利PaulTannery就认为亚里士多德误解了芝诺，芝诺并不是否认运动的可能性，他只是说运动和多不相容。芝诺的真正目的是反对毕达哥拉斯学派关于线，面，体是无数的点的总和这种观点。吧我个人认为，显然泰纳利的观点更加符合芝诺悖论的原意和初衷

11、。芝诺并不是要否认运动，他只是在质疑某些数学家们的一些错误”前提。二飞矢不动与运动场悖论所谓的“飞矢不动悖论是指，由于飞矢在其运动中的每一时刻都占据着一个固定的位置，因此飞矢在每一个时刻都是静止不动的。亚里士多德说，“这个结论是因为把时间当作是由“如今合成的而引起的，假设不肯定这个前提，这个结论是不会出现的。15而“运动场悖论，根据亚里士多德的记载是这样的，“跑到上有两排物体，大小一样，数量一样，一排从终点排到中间点，另一派从中间点排到起点，它们以一样的速度作相反的运动，芝诺认为可以说明：一半的时间可以和整个时间相等。四而亚里士多德认为，“这里的错误在于他把一个运动的事物经过另一个运动的事物和

12、以同速度经过同大小的静止事物所花的时间看作是相等的，事实上这两者是不相等的。也亚里士多德说的这些固然“正确，可是我认为对于芝诺悖论我们必需要从其“辩证法的角度来考虑才能领会其原意。我之所以把“飞矢不动和“运动场悖论放到一组来考察，那是因为在我看来这两个悖论可以看作是芝诺对“运动的相对性的质疑或批评。先让我们来看一下所谓“飞矢不动这个悖论。之所以会造成“飞矢不动这种不符合经历和理性的悖谬，那是由于某种“参考系所造成的。也就是说，是因为人们首先是用一个静止的“参考系来衡量一个运动着的物体，这样才会造成“飞矢相对于那个静止的参考系而言，在每一时刻都占据一个所谓的“位置，从而“不动这种悖论。因此，这是

13、以一种外在的标准参照系来衡量一个内在状态运动所带来的后果。可是，假设一个“运动的物体它的“运动是由其内在的本质状态来决定的话，那么就不会出现这种情况了。“运动场悖论也是由这种“参照系的不同而引起的。假设AAAM大小相等的不动的一排事物，BBB/于由AAAA勺中间至IJ起点处，CCC(Cl于终点到AAAA勺中间处，A,B,C大小数目都相等，并且B,C的速度相等。于是当BBBBffiCCC儆相反方向的运动时，第一个B到达最末一个C的同时第一个C也到达了最末一个B处。这时第一个C已经经过了所有的B,而第一个B只经过了A的一半，因此一半的时间和全部的时间相等。吧我们可以看到，之所以会出现“一半的时间等

14、于全部的时间这种悖论，那是由于同一个运动的物体BBBBW时以静止的AAAM参照系，又和运动着的CCCC目参照而出现的情况。这个悖论虽然较“飞矢不动较为复杂一些，但是道理是一样的，它们都是在质疑能否以一个或两个，多个外在的参照系来衡量一个事物由其内在本质所决定的某种状态运动。假设“运动仅仅是“相对的话，那么显然就会出现芝诺所指出的这些“悖论，因为同一个运动对于不同的参照系会呈现出完全不同的情况。因此，显然芝诺的“飞矢不动和“运动场理论并非在单纯的否认事物的“运动，而是在质疑“运动的相对性这种观点。小结：芝诺“悖论给我们的启示和意义在数学和物理学迅速开展，尤其是“微积分和“相对论在其各自领域获得了

15、宏大成就的今天，再来看看这些“芝诺悖论似乎别有一番感受。“无限，”无限分割这些观念真的是“符合自然的吗？“运动真的是“相对的吗？重新考虑两千多年以前“芝诺悖论所提出的这些问题似乎对于当今的科学而言仍然不算过时。芝诺悖论似乎也在让我们考虑：哲学家和一般的数学家，也包括物理学家们的区别在哪里呢？柏拉图在？理想国？中的那个说法我想仍然是非常有道理的，那就是辩证法家是从“前提上升到“原理，而数学家们那么是从“前提下降到“结论。也因此哲学家们总是具有一种一般的科学家所不具有的“前提批判精神。假设说芝诺是历史上第一位“辩证法家的话，那么他通过这些“悖论无疑很好地诠释了只有哲学才具有的那种“辩证精神。在我看

16、来，芝诺是一位头脑清楚而严谨的思想家，而不是一个没有常识的人，而最好的证明就是他的这些所谓“悖论。参考文献：柏拉图，？理想国？，郭斌和，张竹明译，商务印书馆，1997年。亚里士多德，？物理学？，张竹明译，商务印书馆，1997年。汪子嵩，范明生，陈村富，姚介厚，？希腊哲学史？，第一卷，人民出版社，1988年。赵敦华，？西方哲学简史？，北京大学出版社，2001年W.K.C,Guthrie,AHistoryofGreekPhilosophy,VolumeI,CambridgeUniversityPress,1975.AnthonyGottlieb,Thedreamofreason:Ahistoryo

17、fphilosophyformtheGreekstotheRenaissance,NewYorkandLondon,2002.作者简介：王玉峰1980年一一，男，北京大学哲学系在读博士，外国哲学专业91参见亚里士多德，？物理学？，233a23-35吧参见汪子嵩，范明生，陈村富，姚介厚，？希腊哲学史？,社，1988年，第一卷，第706页。生参见亚里士多德，？物理学？，239b26。吧参见亚里士多德，？物理学？，239b27-29。曳参见赵敦华，？西方哲学简史？，北京大学出版社，2001年页。人民出版第 17-18人民出版14参见汪子嵩，范明生，陈村富，姚介厚，？希腊哲学史？,社，1988年，第一卷，第690Mo里参见亚里士多德,回参见亚里士多德,四参见亚里士多德,回参照亚里士多德,?物理学？,239b31-33。?物理学？，239b33-36。?物理学？，240a1-4。?物理学？,240a5-12。回参见柏拉图，？理想国？，511A-E1SeeAnthonyGottlieb,Thedreamofreason:ahistoryofwesternphilosophyfromtheGreekstotherenaissance(NewYorkandLondon:W.W.Norton&Company,2002),p.66.社参见汪子嵩，范明生，陈村富，姚介厚，？希腊哲