【数学】2.5.2-离散型随机变量的方差与标准差

1、 第2章 概 率2.5.2 离散型随机变量的方差与 标准差一般地，若离散型随机变量X的概率分布为 则称 E(X)x1p1x2p2xnpn为X的均值或数学期望，记为E(X)或Xx1x2xnPp1p2pn其中pi0，i1,2,n；p1p2pn1离散型随机变量的均值的定义复习离散型随机变量的方差与标准差 对于离散型随机变量X的概率分布如下表，(其中pi0，i1,2,n；p1p2pn1)Xx1x2xnPp1p2pn 设E(X)，则(xi)2描述了xi(i=1,2,.,n)相对于均值的偏离程度，故(x1)2 p1 (x2)2 p2. (xn)2pn称为离散型随机变量X的方差，记为V(X)或2离散型随机变

2、量X的标准差：甲、乙两个工人生产同一产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数分别用X1，X2表示， X1，X2的概率分布下：X20123pk0.50.30.20如何比较甲、乙两个工人的技术？X10123pk0.60.20.10.1探讨E(X1)00.610.220.130.10.7E(X2)00.510.320.2300.7由于E(X1)=E(X2)，即甲工人生产出废品数的均值与乙工人生产出废品数的均值相等，从这个意义上讲，看不出甲的技术和乙的技术谁的好。 看来分不出哪个技术好了，谁能帮我？分析V(X1)0.6(0-0.7)20.2(1-0.7)20.1(2-0.7)20.1

3、(3-0.7)21.01V(X2)0.5(0-0.7)20.3(1-0.7)20.2(2-0.7)20(3-0.7)20.61乙的技术稳定性较好现在可以分出谁的技术好了X01P1 pp解 因为E(X)0(1p)1pp，所以方差V(X)(0p)2(1p)(1p)2p p(1p)标准差例1 已知随机变量X的分布如下表所示，求方差和标准差.练习1 设X是一个离散型随机变量，其分布列如下：求q值，并求E X，V X .X-101P1/21-2qq2解：【分析】本题考查方差的求法可由分布列先求出X的期望E(X)，再利用方差定义求之也可直接利用公式V(X)E(X2)(E(X)2来解例2练习2已知随机变量X

4、的概率分布表为：求V(X)解：法一：E(X)0.100.1510.2520.2530.1540.152.5，V(X)(02.5)20.1(12.5)20.15(22.5)20.25(32.5)20.25(42.5)20.15(52.5)20.10.6250.33750.06250.06250.33750.6252.05.X012345P0.10.150.250.250.150.11求随机变量的均值、方差的一般步骤(1)写出的分布列在求取每一个值的概率时，要联系概率的有关知识如分布列，在求取每一个值的概率时，要联系概率的有关知识如古典概型、互斥事件的概率、独立事件的概率等(2)由分布列求E()，进而求出V()小结2期望(均值)仅体现了随机变量取值的平均水平当我们希望实际的平均水平比较理想时，则先求它们的均值，但不要误认为均值相等时，它们都一样好，这时，还应看它们相对于均