第三章_连续时间信号与系统的频域分析ppt课件

1、第三章 延续时间信号与系统的频域分析傅里叶级数周期信号的频谱非周期信号的频谱信号的功率谱和能量谱周期信号鼓励下的稳态呼应非周期信号鼓励下的零形状呼应理想低通滤波器的冲激呼应与阶跃呼应信号的调制与解调频分复用和时分复用信号无失真传输的条件周期信号可分解为是 n 的偶函数因此，周期信号可以分解为各次谐波之和。1 傅里叶级数傅里叶级数的三角函数方式：是 n 的奇函数或是 n 的偶函数； 是 n 的奇函数傅里叶级数的指数方式偶函数； 奇函数称为复傅里叶系数。令： 阐明恣意周期信号可以表示成 的线性组合，加权因子为 。傅里叶系数间的关系傅里叶系数：复傅里叶系数。周期信号的对称性与傅里叶系数的关系纵轴对称

2、偶函数原点对称奇函数半周镜象对称奇谐函数只含常数和余弦项。为偶函数；为奇函数；为奇函数；为偶函数；只含正弦项。无偶次谐波，只需奇次谐波。周期信号的对称性与傅里叶系数的关系半周重迭偶谐函数无奇次谐波，只需直流(常数)和偶次谐波。根据周期信号的对称性与傅里叶系数的关系，可使求解傅里叶系数的计算量大大减少；也可以确定信号所含的频率分量的类别；对绘波形图也有作用。 周期信号 f (t) 的傅立叶级数中所含有的频率分量是_。 (A) 余弦项的奇次谐波，无直流 (B) 正弦项的奇次谐波，无直流 (C) 余弦项的偶次谐波，直流 (D) 正弦项的偶次谐波，直流。 例 1偶函数：只含余弦项；半周重叠： 只含偶次

3、谐波和直流C例 2 周期信号 f (t) 的傅立叶级数中所含有的频率分量是_。 (A) 余弦项的奇次谐波，无直流 (B) 正弦项的奇次谐波，无直流 (C) 余弦项的偶次谐波，直流 (D) 正弦项的偶次谐波，直流。 奇函数：只含正弦项；半周镜象对称： 只含奇次谐波B例 3 知周期信号f (t)前四分之一周期的波形如下图，按以下条件绘出整个周期内的信号波形。 f (t)是t的偶函数，其傅里叶级数只需偶次谐波；解：波形纵轴对称；半周重叠。2 周期信号的频谱假设周期信号为 f (t) ，周期为T，其指数方式为称 为f (t)的频谱; 显然， 在 处有意义，即不延续，故称为离散频谱。令 称为抽样函数，为

4、偶函数。当 时 ，频谱为：为包络线，即 处为零。其中： 为基波频率， 在 有值，称为谱线；周期矩形脉冲的频谱周期T不变，脉冲宽度变化 ， 第一个过零点为 n =4 。情况 1：第一个过零点：谱线间隔 在 有值，称为谱线；周期T不变，脉冲宽度变化 ， 第一个过零点为 n =8 。情况 2：第一个过零点添加一倍谱线间隔不变脉冲宽度减少一倍幅值减小一倍周期T不变，脉冲宽度变化 ， 第一个过零点为 n =16 。情况 3：第一个过零点再添加一倍谱线间隔不变脉冲宽度再减少一倍幅值再减小一倍结 论 由大变小，Fn 的第一个过零点频率增大，即 ， 称为信号的带宽， 确定了带宽。 由大变小，频谱的幅度变小。由

5、于 T 不变，谱线间隔不变，即 不变。脉冲宽度不变, 周期T变化 第一个过零点谱线间隔 ， 第一个过零点 。情况 1：时，谱线间隔幅值: 脉冲宽度不变, 周期T变化 ， 第一个过零点 。情况 2：时，谱线间隔谱线间隔减小一倍第一个过零点不变幅值减小一倍 周期T扩展一倍脉冲宽度不变, 周期T变化 ， 第一个过零点 。情况 3：时，谱线间隔周期T再扩展一倍谱线间隔再减小一倍幅值再减小一倍 第一个过零点不变结 论 不变，Fn 的第一个过零点频率不变，即 ， 带宽不变。T 由小变大，谐波频率成分丰富，并且频谱的幅度变小。 T 时，谱线间隔 0 ，这时： 周期信号 非周期信号；离散频谱 延续频谱周期信号

6、频谱的特点离散性：频谱由不延续的线条组成，每一条线代表一个正弦量，故称为离散频谱。谐波性：频谱的每条谱线只能出如今基波频率的整数倍频率上。收敛性：各次谐波的振幅，总的趋势是随着谐波次数的增高而逐渐减小。离散频谱与延续频谱当周期增大，频谱也相应地渐趋密集，频谱的幅度也相应的渐趋减小。当 T 时，频谱线无限密集，频谱幅度无限趋小。这时，离散频谱就变成延续频谱。 周期信号频谱的性质时移特性：假设 ，那么证：设微分特性：即有以此类推假设 ，那么证： ，那么对称特性：假设 ，那么3 非周期信号的频谱傅里叶变换傅里叶反变换简记：F(j)=F f (t) 称频谱函数；或记为：对非周期信号，其频谱就是信号的傅

7、里叶变换 f (t) = F(j) 称为原函数。傅里叶变换的解释 恣意信号 f (t)可以分解为无穷多个不同频率的复指数信号 ，它包括了一切频率，且各分量的幅值 无穷小。这样系统的输入和输出的关系为：线性非时变系统(零形状) 输出频谱； 输出原函数。以上就是傅里叶分析的根本思想。几个根本函数的傅里叶变换【例 1】冲激函数【例 2】门函数几个根本函数的傅里叶变换【例 3】单边指数函数【例 4】符号函数为奇函数，为奇函数，为偶函数，故求傅里叶变换的思绪四个根本信号的傅里叶变换二十一个常用信号的傅里叶变换一切信号的傅里叶变换利用傅里叶变换的性质利用知信号推行求信号的傅里叶变换是一个难点, 也是进入变

8、换域分析的第一个积分变换!4 傅里叶变换的性质线性特性：时移特性：频移特性：阐明信号延时了t0 秒并不会改动其频谱的幅度，但是使其相位变化了 - t0阐明信号 f (t)乘以 ，等效于其频谱 F(j)沿频率右移 0由于：频谱搬移技术在通讯系统中得到广泛运用，如调幅、同步解调、变频等过程都是在频谱搬移的根底上完成的。4 傅里叶变换的性质尺度变换特性：对称特性：a为非零的实常数。可见，信号在时域中紧缩(a1)等效于在频域中扩展；反之，信号在时域中扩展(a1)那么等效于在频域中紧缩。信号在时域中反折(a=-1)那么等效于在频域中也反折。根据时移和尺变换特性有：假设 f (t) 是偶函数， f (t)

9、 R()，那么 R (t) 2 f ()，那么：同窗们可自行证明4 傅里叶变换的性质奇偶特性： 假设 f (t) 实函数 f (t)偶函数： 可见，R()=R(- )为偶函数； X()= -X(- )为奇函数；假设 f (t)是实偶函数，F(j )=R() 必为实偶函数。假设 f (t)是实奇函数，F(j )=jX() 必为虚奇函数。 |F(j)|是偶函数；( )是奇函数。即有F(-j)= F*(j) f (t)奇函数：举 例【例 5】常数 1【例 7】cos 0t, sin 0t 知：(t)1, 利用对称特性：1 2()【例 6】知：12() , 利用频移特性： 2(- 0)知：根据线性特性

10、：知：根据线性特性：举 例【例 10】cos 0t (t)【例 9】知：知：利用频移特性：根据线性特性：【例 8】单位阶跃函数 (t)知：举 例【例 11】脉冲调制信号 G (t)cos 0t利用频移特性：知：普通有:举 例【例 13】双边指数函数知：利用尺度变换特性：【例 12】知：课堂练习题求以下信号的傅里叶变换。解：课堂练习题求以下信号的傅里叶变换。解：时域微分和积分特性公式：普通的求法： ，先求 的频谱由以上三式，可推出普通公式：当时，普通公式：其中：时域微分和积分特性结论：每次对 f (t)求导后的图形的面积为，即 那么从上面公式可知，一个有始有终的信号,即 f ()= f (-)=

11、0, 那么 F(j)中无()项。一个无限信号能否含()，看能否有 f ()+ f (-)=0举 例【例 14】求以下信号的傅里叶变换：举 例【例 15】三角脉冲 QT(t)根据时域微分特性：频域微分和积分特性公式：【例 16】t 知： ，根据频域微分特性【例 17】t(t) 知： ，根据频域微分特性举 例【例 18】| t |根据尺度变换特性：也可以用时域微分特性知:根据时域微分特性：卷积定理时域卷积定理：如例15的三角脉冲的频谱，可用时域卷积特性来计算：三角脉冲可以看成两个一样门函数的卷积积分门函数的傅里叶变换为：根据时域卷积特性：卷积定理【例 19】余弦脉冲 频域卷积定理：根据频域卷积定理

12、：知:卷积定理【例 20】调制信号 根据频域卷积定理：知： ，根据对称性：将 换成2c，得：又知：课堂练习题知 f (t)F(j)，求以下信号的傅里叶变换。解：课堂练习题知 f (t)F(j)，求以下信号的傅里叶变换。解：方法1方法25 周期信号的傅里叶变换周期信号可表示为:上式阐明：周期信号的频谱是离散的，它集中在基频和它一切谐波频率上。也可以阐明，傅里叶级数是傅里叶变换的一种特例。举 例【例 21】冲激串函数 T(t)周期为=2/T举 例【例 22】周期函数的频谱周期函数 ，其中： 为第一个周期， 为冲激串。假设 ，根据时域卷积定理：周期函数的傅里叶变换的普通公式举 例【例 23】周期矩形

13、脉冲信号的傅里叶变换第一个周期：故信号的频谱为：显然这是T=2的频谱图信号为一电流功率信号与功率谱：功率信号：信号在时间区间(-,+ )内的能量为，但在一个周期(-T/2,+T/2) 内的平均功率为有限值，这样的信号称为功率信号。周期信号即为功率信号。功率信号的平均功率为：时域求得的信号功率频域求得的信号功率i 的有效值 I 为： 非正弦周期电流的有效值各项谐波分量有效值的平方和的平方根。6 信号的功率谱和能量谱信号作用于1殴电阻时，其功率为：时域求得的信号功率频域求得的信号功率帕塞瓦尔定理 在周期信号的表示方式对于周期信号，在时域中求得的信号功率频域中的信号各谐波分量功率之和。这就是 Par

14、seval 定理在周期信号时的表示方式功率谱： 将各次谐波的平均功率随 =n (n=0, 1, 2,) 的分布关系画成图形，即得周期信号的双边功率频谱，简称功率谱。单边功率谱:功率谱可将各次谐波的平均功率 随=n (n=0, 1, 2,) 的分布关系画成图形，从而构成单边功率谱。 功率谱为离散谱。能量信号：信号在时间区间(-,+ )内的能量为有限值，而在时间区间(-,+ )内的平均功率P=0，这样的信号称为能量信号。非周期信号当它在有限时间范围内有一定的数值；而当 t 时数值为0时。即为能量信号。能量信号的能量的计算公式： 信号的总能量： ，可以推导出：时域求得的信号能量频域求得的信号能量帕塞

15、瓦尔定理 在非周期信号的表示方式对于非周期信号，信号能量可以从时域中求得,也可以从频域中求得。这就是 Parseval 定理在非周期信号时的表示方式定义：为了阐明信号能量在频率分量中的分布，定义能量频谱为G()能量谱 能量谱为延续谱它描画了单位频带内信号的能量随分布的规律。可见能量谱为延续谱信号的能量为:即:简称能量谱例 1求如下图信号的功率谱和信号占有频带内的平均功率占整个信号平均功率的百分比。知： =0.05s, T=5=0.25s 。故在信号的占有频带内共有个谐波分量。整个信号的平均功率为解: 基波频率 =2/T=8频带: 因故故信号在占有频带内的平均功率为：故百分比为 例 2求信号 的

16、能量。解：知：根据频域卷积定理：信号的能量为：根据对称特性：令 =10课堂练习题求以下频谱函数F(j)的傅里叶反变换 f (t)。解：课堂练习题求以下频谱函数F(j)的傅里叶反变换 f (t)。解：课堂练习题求以下频谱函数F(j)的傅里叶反变换 f (t)。解：7 抽样信号与抽样定理 现实中存在的大多都是延续信号(如速度、温度、压力等)，而计算机处置的那么是离散信号。对延续信号进展抽样就可得到离散信号。 在什么条件下抽样信号可以保管原延续信号中的信息量而不受损失。这由抽样定理来保证。意义电影是延续画面的抽样： 电影是由一组按时序的单个画面所组成，其中每一幅画面代表着延续变化景象的一个瞬时画面时

17、间样本，当以足够快的速度来看这些时序样本时，就会觉得到是原来延续活动景象的重现。印刷照片是延续图象的采样： 印刷照片是由很多很细小的网点所组成，其中每一点就是一延续图象的采样点位置样本，当这些采样点足够近的话，这幅印刷照片看起来就是延续的。信号的抽样信号的抽样抽样信号抽样器抽样模型冲激串抽样=当 时*=当 时从频谱图可以看出：要使各频移不重叠，抽样频率s2m，m 为f (t)的频谱F(j)的最高频率。否那么， s 2m ，抽样信号的频谱会出现混叠。根据频域卷积定理：矩形脉冲串抽样=*=当 时根据频域卷积定理：从频谱图可以看出：要使各频移不重叠，抽样频率s2m，m 为f (t)的频谱F(j)的最

18、高频率。否那么， s m时为零。抽样频率 s2m或抽样间隔 。其最低允许抽样频率 f N =2 f m或N=2m称为奈奎斯特频率，其最大允许抽样间隔 称为奈奎斯特抽样间隔。这个定理亦称为香农抽样定理。例 1 假设电视信号占有的频带为z，电视台每秒发送25幅图像，每幅图象又分为625条程度扫描线，那么每条程度线至少要有_个抽样点。 ()625 ()768 ()1250 ()15625 B例 2 对带宽为20kHz的信号f (t)进展抽样，其奈奎斯特间隔Ts =_s；信号f (2t)的带宽为_kHz，其奈奎斯特频率 f s = _kHz。对f (t)： f m = 20kHz, f s = 2 f

19、 m = 40kHz, 对f (2t)： f m = 220=40kHz, f s = 2 f m = 80kHz, 信号在时域紧缩，在频域那么扩展。见讲义45页254080例 3 信号 频谱所占带宽(包括负频率)为_ 1/s，假设将它进展冲激抽样，为使抽样信号频谱 不产生混叠，最低抽样频率 f s=_Hz，奈奎斯特间 隔 Ts =_ s。 200100/100根据对称性：令 =200有：例 4H1(j)H2(j)如下图信号处置系统。(1)画出信号 f (t)的频谱图；(2)欲使信号 f s(t)中包含信号f (t)中的全部信息，那么T(t)的最大抽样间隔(即奈奎斯特间隔)TN应为多少？例 4

20、H1(j)H2(j)(3)分别画出在奈奎斯特角频率 N及2N时的 f s(t)的频谱图；当N=2m时当2N=4m时理想低通滤波器频谱例 4H1(j)H2(j)如下图信号处置系统。(4)在2N的抽样频率时，欲使呼应信号y(t)= f (t)，那么理想低通滤波器H2(j)截止频率c的最小值应为多大？从频谱图可看出：例 5 对周期信号f (t)5cos(1000 t)cos(2000 t) 每秒抽样4500次，使抽样信号经过截止频率为2600Hz的理想低通滤波器。假定滤波器在通带内有零相移和单位增益，试求输出信号？假设要在输出端得到重建的f (t)，问允许信号独一重建的最小抽样频率是多少？解：周期信

21、号表示式可展开为f (t)5cos(1000 t)(1+cos4000t)4000例 5抽样频率 f s = 4500Hz, 即：s =2 f s =9000。抽样信号的频谱为：理想滤波器的截止频率 f c =2600Hz, 即：c =2 f c =5200当抽样信号经过理想低通滤波器后, 其输出为：5200信号f(t)的最高角频率为：m=5000 , fm =2500Hz ；所以使信号独一重建的最小抽样频率为:8 周期信号鼓励下的稳态呼应求解方法一：求鼓励信号f (t)中第 n 次谐波(=n)的复数振幅 或 用正弦稳态分析的方法求正弦稳态传输函数H(jn)。其定义为： 式中， 为呼应y(t)

22、中第n次谐波(=n) 的复数振幅即相量。求解方法一 求呼应y(t)中第 n 次谐波(=n) 的复数振幅(即相量) ，即 写出呼应y(t)的指数方式或三角函数方式的傅里叶级数，即 有效值： ，或 总功率：其中： 为直流分量的功率； 为一次谐波的功率；等。求解方法二 按电路分析中的方法：运用叠加定理将鼓励信号按傅里叶级数展开，令鼓励的各次谐波信号单独作用：直流分量鼓励 呼应 r0(t)一次谐波分量鼓励 呼应 r1(t)二次谐波分量鼓励 呼应 r2(t)等呼应为：r(t)=r0(t)+ r1(t)+ r2(t)+用相量法求解举 例 用方法一求解如下图，周期矩形信号x(t)作用于RL电路，求呼应y(t

23、)的傅里叶级数(只计算前四个频率分量)。解：方法一：x(t)的傅里叶系数为(周期T=2, 基频1=2/T=系统传输函数 即：所以举 例 用方法二求解如下图，周期矩形信号x(t)作用于RL电路，求呼应y(t)的傅里叶级数(只计算前四个频率分量)。解：方法二：鼓励信号x(t)的傅里叶级数展开为所以直流分量鼓励：一次谐波分量鼓励：三次谐波分量鼓励：五次谐波分量鼓励：9 非周期信号鼓励下的零形状呼应根本思想 全呼应零输入呼应零形状呼应时域分析：频域分析：零输入呼应的求法与时域一样。零形状呼应的求法如下：其中：H(j)=Fh(t) 称频域系统函数。那么h(t)=F -1H(j) 频域系统函数定义设系统鼓

24、励e(t)的傅里叶变换为E(j)，系统零形状呼应rzs(t) 的傅里叶变换为Rzs(j),那么定义频域系统函数为：物理意义设鼓励 e(t)=ejt, 那么系统零形状呼应为式中 为h(t)的傅里叶变换，即有h(t)H(j)可见，系统的零形状呼应rzs(t)是等于鼓励ejt 乘以加权函数H(j)，此加权函数H(j)即为频域系统函数，亦即为h(t)的傅里叶变换。频域系统函数求法：从系统的传输算子H(p)求，即H(j)H(p) | p=j；从系统的单位冲激呼应h(t)求，即H(j)F h(t) ；根据正弦稳态分析方法从频域电路模型按H(j)的定义式求。用实验方法求。H(j)可实现的条件：在时域中必需满

25、足当t0时，h(t)0，即系统必需是因果系统。在频域中，其必要条件是| H(j)|0，即必需满足佩利维纳准那么。频域分析法 傅里叶变换方法求鼓励e(t)的傅里叶变换E(j)。求频域系统函数H(j)。求零形状呼应 rzs(t) 的傅里叶变换 Rzs(j)， 即 Rzs(j)= H(j) E(j)。求零形状呼应的时域解，即 rzs(t)=F -1Rzs(j)系统的零输入呼应 rzi(t) 按时域方法求解。系统的全呼应 r(t) = 零输入呼应 rzi(t) + 零形状呼应 rzs(t)。例 1设系统的系统函数为 令sj，鼓励e(t)e-3t(t)，求零形状呼应。解：零形状呼应为：例 2设系统的系统

26、函数为 令sj，鼓励e(t)(t)-(t-1) ，求零形状呼应。零形状呼应为：解：所以：例 3某线性非时变系统的幅频呼应|H(j)|和相频呼应()如下图。假设鼓励 , 求该系统的呼应y(t)。解：()-220-|H(j)|2-220该信号经过系统后，其呼应的频谱为：傅里叶反变换即可得：例 4在如下图系统中，e(t)为知鼓励 ， 。求零形状呼应 r(t)。h(t)h(t)e(t)r(t)解：设 e(t)E(j)即有：H(j)=F h(t)=-jsgn()故得：R(j)=H(j) H(j)E(j)= -jsgn()-jsgn()E(j) =-sgn()sgn()E(j)=-E(j)所以：r(t)=

27、 -e(t) 可见此系统为一反相器。例 5如下图系统，知f (t)的傅里叶变换F(j)如下图，子系统的H(j)=jsgn()。求零形状呼应 y(t)。F(j)0-221cos4tH(j)sin4tf (t)y (t)解：Y1(j)0-22-66|X(j)|0-221-1Y2(j)0-22-66-Y(j)0-441-66根据频域卷积定理：课堂练习题一个系统的系统函数为 求对于以下各输入的时域呼应y(t)。(1)(2)(3)10 理想低通滤波器的呼应理想低通滤波器特性：或：其中：c为截止频率。称为理想低通滤波器的通频 带，简称频带。冲激呼应知： ，根据对称性：将 换成2c，得：根据时移特性：阶跃呼

28、应令呼应的建立时间tr ，定义为从阶跃呼应的零值上升到1所阅历的时间。它与频带c的关系为即：阶跃呼应的建立时间与系统的截止频率(频带)成反比。此结论对各种实践的滤波器同样具有指点意义。理想低通滤波器是非因果系统，是物理不可实现的。例 1图示为信号处置系统，知 e(t)20cos100tcos104t2 ，理想低通滤波器的传输函数H(j)G240()，求零形状呼应 r(t)。H(j)e(t)r(t)H(j)0-1201201解：e(t)20cos100tcos104t2 10cos100t5(cos20210tcos19900t)故: E(j)10(+100)(-100)5(+ 20210) +

29、(-20210)+ (+19900)+ (-19900)R(j)H(j)E(j)10(+100)+ (-100) 故得: r(t)10cos100t 例 2理想低通滤波器的系统函数 H(j)|H(j)|e-jt0 如下图。证明此滤波器对于 和 的呼应是一样的。解：当鼓励为 时，呼应的频谱为： 当鼓励为 时，呼应的频谱为： 例 3图示是理想高通滤波器的幅频与相频特性，求该滤波器的冲激呼应。解：由理想高通滤波器特性可知，其特性可用理想低通特性门函数表示。即：故，冲激呼应为：例 4带限信号f (t)经过如下图系统，知f (t)、 H1(j)、 H2(j)频谱如下图，画出x(t)、y(t)的频谱图。解

30、：频谱图如下cos9tH1(j)f (t)y (t)H2(j)cos9tF(j)0-661915-9-15H1(j)019-9H2(j)029-91X(j)0-66915-9-15X(j)0-66915-9-15XS(j)0-66915-9-15Y(j)09-9-66例 5e1(t)为周期信号(T=1s)的第一周期，经过如下图系统，试求系统的零形状呼应 r(t)。e1(t)t011H(j)023-3H(j)e(t)r(t)e1(t)t011解：由于滤波器的通带为-33 ，故只需k =0, 1，即=0、的频率才干经过。即11 信号的调制与解调调制与解调： 所谓调制，就是用一个信号原信号也称调制信

31、号去控制另一个信号载波信号的某个参量，从而产生已调制信号，解调那么是相反的过程，即从已调制信号中恢复出原信号。根据所控制的信号参量的不同，调制可分为：调幅，使载波的幅度随着调制信号的大小变化而变化的调制方式。调频，使载波的瞬时频率随着调制信号的大小而变，而幅度坚持不变的调制方式。调相，利用原始信号控制载波信号的相位。这三种调制方式的本质都是对原始信号进展频谱搬移，将信号的频谱搬移到所需求的较高频带上，从而满足信号传输的需求。脉冲调制(pulse modulation)由调制信号去控制一个脉冲序列的脉冲幅度、脉冲宽度或脉冲位置等参数中的一个，或者去控制脉冲编码的组合，构成已调制的脉冲序列。已调波

32、： 调幅波、调角波调频波和调相波是延续波； 脉冲调制波是不延续的脉冲波。 调 幅调制信号载波信号已调信号fS (t)= f (t)cos0t其频谱为 FS(j)=Fj(- 0)+Fj(+ 0)y(t)= f (t)cos0t由此可见，原始信号的频谱被搬移到了频率较高的载频附近，到达了调制的目的。 解 调本地载波信号已调信号y (t)= f (t)cos0t其频谱为 G(j)=F(j)+Fj(-20)+Fj(+20)此信号的频谱经过理想低通滤波器，可取出F(j)，从而恢复原信号f (t) 。 例 1解：知：设：输出的频谱：由：故系统的呼应为求 的信号经过图(a)的系统后的输出。系统中的理想带通滤波器的传输特性如图(b)所示，其相位特性 。 例 2求 的信号经过图(a)的系统后的输出。系统中的