流体动力学理论基础和方程

1、流体动力学理论基础和方程 实际工程中经常遇到运动状态的流体。流体的运动特性可用流速、加速度等一些物理要素来表征。流体动力学研究运动要素随时空的变化情况，建立它们之间的关系式，并用这些关系式解决工程上的问题。 经典力学中有质量守恒定律、能量守恒定律及动量守恒定律。 本章先建立流体运动的基本概念，然后依据流束理论，从质量守恒定律出发建立流体的连续性方程、从能量守恒定律出发建立流体的能量方程，从动量定理出发建立流体的动量方程。本章的主要内容：流体运动的基本概念流体运动的总流理论 恒定总流连续性方程、能量方程和动量方程流体运动的流场理论 理想流体的运动方程、N-S方程和恒定平面势流任务：建立描述流体运

2、动的基本方程，并理解其物理意义、掌握其实际应用。本章重点：恒定总流的连续性方程、能量方程和动量方程及其应用3-1 描述流体运动的两种方法 一、拉格朗日法 (Lagrange Method) 拉格朗日法以研究个别流体质点的运动为基础，通过对每个流体质点运动规律的研究来获得整个流体运动的规律性。所以这种方法又可叫做质点系法。 用质点起始坐标(a，b，c)作为质点的标志,任意时刻质点的位置坐标是起始坐标和时间变量的连续函数。 运动轨迹 质点速度 (1) (a，b，c)=C , t为变数，可以得出某个指定质点在任意时刻所处的位置。 (2) (a，b，c)为变数，t=C，可以得出某一瞬间不同质点在空间的

3、分布情况。加速度 二、欧拉法(Euler Method) 欧拉法是以考察不同流体质点通过固定空间点的运动情况来了解整个流动空间的流动情况，即着眼于研究各种运动要素的分布场，所以这种方法又叫做流场法。通常在同一时刻不同空间点上的流速是不同的，同一空间点上不同时刻的速度也不同，即流速是空间坐标（x，y，z）和时间t的函数：速度 若令上式中x、y、z为常数，t为变数，即可求得在某一固定空间点上流体质点在不同时刻通过该点的流速的变化情况。 若令t为常数，x、y、z为变数,则可求得在同一时刻，通过不同空间点上的流体质点的流速的分布情况(即流速场)。 加速度是速度的全微分。对于流体质点，不同时刻位于不同的

4、空间位置。 故质点加速度必須按复合函数求导数的法则求导：分量 类似地有： ay=; az= 式中第一项叫时变加速度或当地加速度(Local Acceleration)，流动过程中流体由于速度随时间变化而引起的加速度；第二项叫位变速度，流动过程中流体由于速度随位置变化而引起的加速度(Connective Acceleration)。 恒定流时时变加速度为零，非恒定时时变加速度不等于零。但位变加速度是否等于零并不决定于是否是恒定流，而要看流体质点自一点转移到另一点时流速是否改变。均匀流是迁移加速度为零。 1、在水位恒定的情况下： (1)AA不存在时变加速度和位变加速度。 (2)BB不存在时变加速度

5、，但存在位变加速度。2、在水位变化的情况下： (1) AA存在时变加速度，但不存在位变加速度。 (2) BB既存在时变加速度，又存在位变加速度。问题：均匀流是： A、当地加速度为零 C、向心加速度为零 D、合加速度为零 B、迁移加速度为零 在实际工程中，一般都只需要弄清楚在某一些空间位置上流体的运动情况，而并不去追究流体质点的运动轨迹。 例如，研究一个隧洞中的水流，只要知道了液体经过隧洞中不同位置时的速度及动压力，这样就能满足工程设计的需要。 所以，欧拉（Euler）法对工程流体力学的研究具有重要的意义。恒定流(Steady Flow)：在流场中，任何空间点上所有的运动要素都不随时间而改变。

6、运动要素仅仅是空间坐标的连续函数，而与时间无关。 3-2 研究流体运动的若干基本概念一、恒定流与非恒定流水位不变 恒定流时，所有的运动要素对于时间的偏导数应等于零： 非恒定流(unsteady flow) ：流场中任何点上有任何一个运动要素是随时间而变化的。在实际工程中，常把运动参数随时间变化缓慢的流动按恒定流处理，以求简化。 流场和运动参数流场指充满运动流体的空间。运动参数指表征流体运动特征的物理量。二、一元流、二元流、三元流 凡流体中任一点的运动要素只与一个空间自变量有关，这种流体称为一元流(One-dimensional Flow)。 流场中任何点的运动要素和两个空间自变量有关，此种流体

7、称为二元流(Two-dimensional Flow) 。 若流体中任一点的流速，与三个空间位置变量有关，这种流体称为三元流。 三、迹线与流线 拉格朗日法研究个别流体质点在不同时刻的运动情况，引出了迹线的概念； 欧拉法考察同一时刻流体质点在不同空间位置的运动情况引出了流线的概念。 1、迹线与流线的概念 迹线(path line) ：某一流体质点在运动过程中，不同时刻所流经的空间点连成的线称为迹线，即流体质点运动时所走过的轨迹线。图示烟火的轨迹。 流线(Stream Line)：是某一瞬时在流场中绘出的一条曲线，在该曲线上所有各点的速度向量都与该曲线相切。2、流线的特性 1) 恒定流时，流线的形

8、状和位置不随时间而改变。 2) 恒定流时流体质点运动的迹线与流线相重合。 3) 流线不能相交。(因为根据流线定义，在交点的液体质点的流速向量应同时与这两条流线相切，即一个质点不可能同时有两个速度向量。 ) 4) 流线不能是折线，而是一条光滑的曲线。(因为流体是连续介质，各运动要素是空间的连续函数。 ) 5) 流线簇的疏密反映了速度的大小(流线密集的地方流速大，稀疏的地方流速小)。(因为对不可压缩流体，元流的流速与其过水断面面积成反比。) 3、流线方程设m为流线上的一点，该点的流速为u,从该点沿流线方向取一微元段dr，u和dr在x、y、z轴上的分量分别为ux、 uy、 uz和dx、dy、dz，根

9、据流线定义u与dr（即该点的切线方向)方向一致，即 流线的微分方程yuxuyudydxdr流线x迹线方程 由运动微分方程即可推出迹线的微分方程式中，时间t是自变量，而x,y,z是t的因变量。思考题 实际水流中存在流线吗？引入流线概念的意义何在？ 不存在。引入流线概念是为了便于分析流体的运动，确定流体流动趋势。解 (1)流线微分方程： 积分得： 流线方程 不同时刻(t=0,1,2)的流线是三组不同斜率的直 线族。例 已知速度场ux=a，uy=bt，uz=0。试求： (1)流线方程及t=0，t=1，t=2时的流线图； (2)迹线方程及t=0时过(0，0)点的迹线。(2)迹线方程 积分得yt0t1t

10、2t3t4C=1C=2C=3C=4C=5xt=0流线=012345yt=2流线012345迹线xyt0123450t=1流线C=1C=2由t=0,x=0,y=0,确定积分常数，c1=0,c2=0。得 再消去t，且过(0,0)点的迹线方程是一抛物线方程。四、流管、流束、元流、总流、过流断面 1、流管(stream tube) 在流体中任意一微分面积dA(如图)，通过该面积的周界上的每一个点，均可作一根流线，这样就构成一个封闭的管状曲面，称为流管。 2、元流 流束：流管内所有流线的集合。 充满以流管为边界的一束流体，称为微元流束,即就是过流断面无限小的流束。 注：(1)流束表面没有流体穿过； (2

11、)在元流断面上，运动参数各点相同； (3)元流的极限是流线。流束3、总流 任何一个实际水流都具有一定规模的边界，这种有一定大小尺寸的实际水流称为总流(total flow )。总流可以看作是由无限多个微小流束所组成。4、过流断面(cross section) 与微小流束或总流的流线成正交的横断面称为过流断面。该面积dA或A称为过流面积，单位m2。 注意：过流断面可为平面也可为曲面。 判断：均匀流过流断面是一平面，渐变流过流断面近似平面。(对)五、流量与断面平均流速 1、流量(discharge) 单位时间内通过某一过流断面的流体体积(质量)称为流量。流量常用的单位为 米秒（m3/s）、千克秒（

12、kg/s） ，符号表示。通常所说的流量一般指体积流量，用qv表示。质量流量用qm表示。 对于均质不可压缩流体，密度为常数，则质量流量为：2、断面平均流速 过流断面各点速度的断面平均值，是一个想象的流速，如果过流断面上各点的流速都相等并等于，此时所通过的流量与实际上流速为不均匀分布时所通过的流量相等，则流速就称为断面平均流速。 由此可见，通过过流断面的流量等于断面平均流速与过流断面面积的乘积，也即过流断面上各点均以同一平均流速运动。引入断面平均流速的概念，可以使流体运动的分析得到简化。六、均匀流与非均匀流、渐变流1、均匀流 均匀流：当流体的流线为相互平行的直线时，该流体称为均匀流 。 均匀 流具

13、有以下特性： 1)均匀流的过流断面为平面，且过流断面的形状和尺寸沿程不变。 2)均匀流中，同一流线上不同点的流速应相等，从而各过流断面上的流速分布相同，断面平均流速相等。 3)均匀流过流断面上的动压强分布规律与静压强分布规律相同，即在同一过流断面上各点测压管水头为一常数。 2、非均匀流 若流体的流线不是相互平行的直线该流体称为非均匀流按照流线不平行和弯曲的程度，分为渐变流、急变流两种类型： 1) 渐变流 当流体的流线虽然不是相互平行直线，但几乎近于平行直线时称为渐变流(缓变流)(gradually varied flow)。渐变流的极限情况就是均匀流。 2) 急变流 若流体的流线之间夹角很大或

14、者流线的曲率半径很小，这种流体称为急变流。 注意：渐变流动压强服从静压强分布；而急变流动压强分布特性复杂。 通常边界近于平行直线时，流体往往是渐变流。管道转弯、断面突扩或收缩，为急变流。思考题1. “只有当过流断面上各点的实际流速均相等时，水 流才是均匀流”，该说法是否正确？为什么？2. 恒定流、均匀流等各有什么特点？ 不对。均匀流是指运动要素沿程不发生改变，而不是针对一过流断面。 恒定流是指各运动要素不随时间变化而变化， 恒定流时流线迹线重合，且时变加速度等于0。 均匀流是指各运动要素不随空间变化而变化， 均匀流时位变加速度等于0。3-3 流体运动的连续性方程一、连续性微分方程在流场中取一空

15、间微分平行六面体如图所示。经一微小时段dt自x流入的流体质量为： 自x流出的流体质量为 dt时段内在x方向流进与流出六面体的流体质量之差： 同理CdxOxzADEFGHdyMNOdzyB 即在dt时间内流进与流出六面体总的流体质量的变化为 故经过dt时段内六面体内质量总变化为 在同一时段内，流进与流出六面体总的流体质量的差值应与六面体内因密度变化所引起的总的质量变化相等。 适用范围：理想流体或实际流体；恒定流或非恒定流；可压缩流体或不可压缩流体。 对不可压缩流体， 常数，因此得连续性方程式为算一算:不可压缩流体对下面的运动是否满足连续性条件？ (1) (2) (3) 不连续连续连续例1 有二种

16、的二元液流，其流速可表示为：(1)ux= -2y, uy=3x；(2)ux=0, uy=3xy。试问这两种液流是不可压缩流吗？解：（1） 符合不可压缩流的连续性方程，所以是不可压缩流。 （2） 不符合不可压缩流的连续性方程，所以不是不可压缩流。例2 已知不可压缩流体运动速度u在x、y两个轴方向的分量为ux=2x2+y，uy=2y2+z且z=0处，有uz=0。试求z轴方向的速度分量uz。解 对不可压缩流体连续性方程为 将已知条件代入上式，有4x+4y+ =0 即 积分可得 uz=-4(x+y)z+f(x,y) 又由已知条件对任何x、y，当z=0时， uz=0。 故有 f(x,y)=0 因此 uz

17、=-4(x+y)z 流体运动的连续性方程是质量守恒定律的一种特殊方式。取恒定流中微小流束，因流体为不可压缩的连续介质,有 根据质量守恒定律在dt时段内 流入的质量应与流出的质量 相等。二、恒定不可压缩总流的连续性方程 不可压缩流体恒定元流的连续性方程 对总流过流断面积分得 上式即为恒定总流的连续性方程。上式表明在不可压缩流体恒定总流中，任意两个过流断面平均流速的大小与过流断面面积成反比，断面大的地方流速小，断面小的地方流速大。 连续性方程总结和反映了总流的过流断面面积与断面平均流速沿程变化的规律。 适用范围：固定边界内的不可压缩流体分叉流的总流连续性方程或： qv1=qv2+qv3 问题：变直

18、径管的直径d1=320mm，d2=160mm，流速v1，v2为： A.3m/s B.4m/s D.9m/s C.6m/s3-4 理想流体的运动微分方程及其积分理想流体动压强的特性 第一，理想流体的动压总是沿着作用面的内法线方向。 第二，在理想流体中，任何点的动压强在各方向上的大 小均相等。 一、理想流体的运动微分方程欧拉方程 流体平衡微分方程式是表征流体处于平衡状态时作用于流体上各种力之间的关系式。 在运动着的理想流体中任取一微分平行六面体，作用于六面体的力有表面力与质量力。 左表面动压强 右表面动压强 假设单位质量的质量力在各坐标轴方向的投影为 ，故所有作用于六面体上的力在x轴上的投影的代数

19、和应等于六面体的质量与加速度在x方向的投影之积。有： 化简之得 同理 上式为理想流体运动微分方程式，又称为欧拉方程。 注：(1)方程对未加限制；(2)若 ，方程变成了静平衡微分方程；(3)对恒定流动，方程中 ；(4)方程未知数4个，只有与连续性方程联立才能求解。 二、 纳维斯托克斯方程 对于恒定不可压缩流体来说， ，故 或 上两式就是适用于不可压缩粘性流体的运动微分方程式，一般通称为纳维斯托克斯方程式。如果流体没有粘性(即理想流体)则 ，于是纳维斯托克斯方程式就变成理想流体的欧拉运动方程式。如果没有运动，则 均等于零，于是纳维斯托克斯方程式就变成静力学欧拉平衡方程式。所以纳维斯托克斯方程式是不

20、可压缩流体的普遍方程式。方程适用于=C及各种流态(层流、紊流)的流体；方程实质为四个力的平衡方程。方程有四个未知数，三条方程与连续性方程联立可求解，但很困难。例 理想流体速度场为 a、b为常数。试求：(1)流动是否可能（连续？）(2)流线方程；(3)等压面方程（质量力忽略不计）解 （1）满足连续性条件，流动可以实现。（2）由 得积分得 当a、b同号为双曲线 当a、b异号为椭圆。（3）不计质量力fx=fy= fz =0,由欧拉运动微分方程得： (1)、(2)两边分别乘以dx、dy并相加得：即积分得令p=常数，即得等压面方程分别取C=1、4、9、16，得4个等压面，如图所示。等压面是一组以坐标原点

21、为中心的同心圆柱面。xy等压面12344-4-4-2-20思 考 题 1. 实际流体区别与理想流体有何不同？理想流体的运动微分方程与实际流体的运动微分方程有何联系？ 2. 连续性微分方程有哪几种形式？不可压缩流体的连续性微分方程说明了什么问题？ 实际流体具有粘性，存在切应力；实际流体的运动微分方程中等式的左边比理想流体运动微分方程增加了由于粘性而产生的切应力这一项。一般形式，恒定不可压缩流；质量守恒。3-5伯努利方程 一、理想流体恒定元流的伯努利方程 欧拉运动微分方程是一个一阶非线性偏微分方程组(迁移加速度的三项中包含了未知数与其偏导数的乘积)，因而至今还无法在一般情况下积分，只能在一定条件下

22、积分。欧拉运动微分方程组各式分别乘以dx，dy，dz(流场任意相邻两点间距ds的坐标分量)，然后相加得： 考虑条件 1.恒定流： ；2.均质不可压缩流体，即=c；3.质量力只有重力，即fx=fy=0，fz=-g；4.流线与迹线重合 dx = uxdt, dy = uydt, dz=uzdt；因此I II III式中各项为： 由以上得：积分得：（基准面）P1/gV12/2gV22/2gYP2/gXz1z212 （对于同一流线上的任意两个点）上式即是理想流体恒定元流的伯努利方程。该式表明：在不可压缩理想流体恒定流情况下，元流内不同的过流断面上，单位重量流体所具有机械能保持相等(守恒)。该式是由瑞士

23、科学家伯努利于1738年首先推导出来的。 应用条件是：(1)理想液体；(2)恒定流动；(3)质量力只有重力；(4)沿元流（流线）；(5)不可压缩流体 。伯努利方程的物理意义1.几何意义 ：位置水头； ：压强水头； ：流速高度(速度水头);理想流体的伯努利方程表明沿同一元流上(沿同一流线)各断面的总水头相等，总水头线是水平线。：测压管水头;：总水头。总水头线测压管水头线2.能量意义：单位重量流体所具有的位置势能(位能)； ：代表单位重量流体所具有的压强势能(压能) ：单位重量流体所具有的动能； ：单位重量流体所具有的总势能； ：单位重量流体所具有的机械能。沿同一元流（流线），单位重量流体机械能守

24、恒。例 有一贮水装置如图所示，贮水池足够大，当阀门关闭时，压强计读数为个大气压强。而当将阀门全开，水从管中流出时，压强计读数是个大气压强试求当水管直径d=12cm时，通过出口的体积流量。解 当阀门全开时列1-1、2-2截面的伯努利方程 当阀门关闭时，根据压强计的读数，应用流体静力学基本方程求出H值：则：代入到上式 所以管内流量 （m3/s）二、实际流体恒定元流的伯努利方程 实际流体具有粘性，流动时，粘性流体克服阻力作功而消耗了一部分流体自身的机械能，产生能量损失(也叫水头损失)。设流体由1-1断面流到2-2断面的单位重量的能量损失为hw，则粘性流体元流的伯努利方程可写为：u22/2g1122z

25、1P1/gu12/2gz2P1/g00三、实际流体恒定总流的伯努利方程 1、实际流体恒定总流的伯努利方程的推导 不可压缩实际流体恒定元流的能量方程为 各项乘以重量流量 ，并分别在总流的两个过流断面A1及A2上积分得： 共含有三种类型积分： 1) 第一类积分 若过流断面为渐变流，则在断面上 积分可得 2) 第二类积分 因 所以 式中 为动能修正系数(流过过流断面真实动能与以断面平均速度计算动能的比值)，流速分布愈均匀，愈接近于1；不均匀分布时， 1； 在渐变流时，对于圆管层流 =2；对于圆管紊流 。为计算简便起见，通常取 1。 3) 第三类积分 假定各元流单位重量流体所损失的能量 都用一个平均值

26、 来代替，则第三类积分变为： 得不可压缩实际流体恒定总流的能量方程。 上式反映了总流中不同过流断面上( )值和断面平均流速v的变化规律。 方程的使用条件：(1)恒定流动；(2)不可压缩流体；(3)质量力只有重力；(4)渐变流过流断面；(5)流动连续无分支；(6)无外加能量。总流伯努利方程的意义能量均指断面上的单位重量流体所具有的平均能量。 是过流断面上单位重量流体的平均势能，又称测压管水头，对于渐变流断面则等于常数，可取断面上任一点为代表。 过流断面上单位重量流体的平均机械能，又称总水头。物理意义几何意义单位重流体的位能位置水头单位重流体的压能压强水头单位重流体的动能流速水头单位重流体总势能测

27、压管水头总机械能总水头能量方程的解题步骤 三选一列 1.选择基准面:基准面可任意选定，但应以简化计算为原则。例如选过流断面形心(z=0)，或选自由液面(p=0)等。 2.选择计算断面：计算断面应选择均匀流断面或渐变流断面，并且应选取已知量尽量多的断面。 3.选择计算点：管流通常选在管轴上，明渠流通常选在自由液面。对同一个方程，必须采用相同的压强标准。 4.列能量方程解题 注意与连续性方程的联合使用。问题 实际流体在等直管道中流动，在过流断面1，2上有A，B，C点，则下面关系式成立的是： A. C. D. B.例：如图，以d=100mm的水管从水库引水，已知H=4m（恒定），水头损失为hw=3m

28、H2O。求qV。V200V1=01122Hv22/2ghw解：以过水管出口中心的水平面为基准面，列1-1与2-2的能量方程： v1=0, v2待求取 ，将各项代入伯努利方程得： qv2、实际流体恒定总流能量方程的图示 实际流体恒定总流能量方程中共包含了四个物理量。位置水头Z，平均压强水头 ，流速水头 ，水头损失 。 称为测压管水头。工程流体力学中,习惯把单位重量流体所具有总机械能称为总水头,用 表示。 实际流体恒定总流各项水头沿程变化可用几何曲线表示(称为相应的各种水头线) 。水头线 水头线：沿程水头(如总水头或测压管水头)的变化曲线。 总水头线是对应 的变化曲线，它代表水头损失沿流程的分布状

29、况。 测压管水头线是对应 的变化曲线，它代表压强沿流程的变化状况。 实际流体总流的总水头线和测压管水头线实际流体总流的总水头线必定是一条逐渐下降的线（直线或曲线）：而测压管水头线则可能是下降的线（直线或曲线）也可能是上升的线甚至可能是一条水平线。 总水头线坡度：总水头线沿流程的降低值与流程长度之比。也称水力坡度，常用 J 来表示。（恒正）测压管水头线坡度（可正可负）注意：1.理想流动流体的总水头线为水平线；2.实际流动流体的总水头线恒为下降曲线；3.测压管水头线可升、可降、可水平。4.若是均匀流，则总水头线平行于测压管水头线。5.总水头线和测压管水头线之间的距离为相应段的流速水头。 3、应用恒

30、定总流能量方程式的注意点 1) 基准面的选择是可以任意的，但在计算不同断面的位置水头z值时，必须选取同一基准面。 2) 能量方程中 项，可以用相对压强，也可以有绝对压强，但对同 一问题必须采用相同的标准。 3) 在计算过流断面的测压管水头值 时，可以选取过流断面上任意点来计算，以计算方便为宜。对于管道一般可选管轴中心点来计算较为方便，对于明渠一般在自由表面上选一点来计算比较方便。 4) 不同过流断面上的动能修正系数 与 严格来讲是不相等的，且不等于1，实用上对渐变流多数情况可令 = =1，但在某些特殊情况下，值需根据具体情况酌定。 4.有能量输入（出）的伯努利方程 水泵扬程：水泵对单位重量流体

31、所做的功，即单位重量流体经过水泵后所增加的能量，以H表示。对水池断面1-1与水箱断面2-2列能量方程为 水泵提供的能量用来增加水能和克服阻力做功112-2z1z2四、恒定总流伯努利方程的应用1、皮托管测流速 当水流受到迎面物体的阻碍，被迫向两边(或四周)分流时，在物体表面上受水流顶冲的A点流速等于零，称为滞止点(或驻点)。在滞止点处水流的动能全部转化为势能。皮托管就是利用这个原理制成的一种量测流速的仪器。 如图，列A、B点伯努利方程 加系数修正：0huABP/g0P/g0huABP/g0P/g 修正原因： 1实际流体粘性作用引起水头损失。 2皮托管放入流体中所产生的扰动影响。 称为皮托管的校正

32、系数，一般 约为0.98- 。 想一想：皮托管通常用来测量( )水头，而测压管所测量的是( )水头，两者之差为( )水头。总测压管流速2、文丘里流量计 文丘里流量计是测量管道中流量大小的一种装置，由两段锥形管和一段较细的管子相联结而成。前面部分为收缩段，中间叫喉管，后面部分叫扩散段。 对1-1和2-2断面，总流的能 量方程 不计水头损失有 而 水头损失会促使流量减少，对于这个误差一般也是用文丘里管修正系数来修正，实际流量 流量系数 一般约为 所以有 因此通过文丘里流量计的流量为 式中注意：此式适用于管轴线水平或倾斜。问题1.文丘里流量计是通过测两个断面的( )来测量计算管道的流量的。2.文丘里

33、流量计流量公式能不能用来测量倾斜管道中的流量？测压管水头差(能)在工程中，有时需要求解液流对边界的动水作用力。如镇墩、消火枪喷头等。这类力不同于静水压力，不能用静水压力公式计算，而且边界上的压强分布复杂，也不能用能量方程求解。但可以用动量方程求解。流体力学的动量方程可以用物理学中的动量定律推导。R=?V1V23-6 动量方程动量定律：作用在物体上的冲量等于这个物体动量的增量，即 式中：动量 在恒定流中取渐变流断面1-1、 2-2为控制断面，经dt后1-2水体流至1-2，因是恒定流，1-2段动量不变。故任取一微小流束MN，微小流束1-1流段内流体的动量 。对断面A1积分有 同理 采用断面平均流速

34、v代替u，有 其中 ，动量修正系数是表示单位时间内通过断面的实际动量与单位时间内以相应的断面平均流速通过的动量的比值。1，其数值取决于速度分布的不均匀程度；对圆管层流；对圆管紊流，常采用 。因为 故有： 于是得恒定总流的动量方程为： 在直角坐标系中 的投影为： 恒定总流动量方程的含义：作用于流体上的合外力等于流体单位时间内动量增量。 方程应用的关键在于控制体的选择，其选择原则为： (1)控制体应包含受力影响的全部流体； (2)控制体界面上的参数应为已知或可求。动量方程的解题步骤 1. 选控制体：根据问题的要求，将所研究的两个渐变流断面之间的水体取为控制体； 2. 选坐标系：选定坐标轴的方向，确

35、定各作用力及流速的投影的大小和方向； 3. 作计算简图：分析控制体受力情况，并在控制体上标出全部作用力的方向； 4. 列动量方程解题：将各作用力及流速在坐标轴上的投影代入动量方程求解。计算压力时，压强采用相对压强。注意与能量方程及连续性方程联合使用。对于分叉水流，动量方程应用条件：恒、渐、不可压缩。 应用动量方程式时要注意的问题： 1) 动量方程式是向量式，因此，必须首先选定投影轴，标明正方向，其选择以计算方便为宜。 2) 控制体一般取整个总流的边界作为控制体边界，横向边界一般都是取过流断面。 3) 动量方程式的左端，必须是输出的动量减去输入的动量，不可颠倒。 4) 对欲求的未知力，可以暂时假

36、定一个方向，若求得该力的计算值为正，表明原假定方向正确，若求得的值为负，表明与原假定方向相反。 5) 动量方程只能求解一个未知数，若方程中未知数多于一个时，必须借助于和其他方程式（如连续性方程、能量方程）联合求解。想一想：由动量方程求得的力若为负值时说明什么问题？待求未知力的大小与控制体的大小有无关系？应用中如何选取控制体？(方向反；无关(无重力时)；计算断面与固体壁面)2、恒定总流动量方程应用举例 例 ：管路中一段水平放置的等直径弯管，直径d=200mm，转角 ，管中1-1断面平均流速为 ,其形心相对压强p1等于一个工程大气压。若不计管流的水头损失，求水流对弯管的作用力。解：取渐变流断面1-

37、1与2-2间的水体作为分析对象，建立直角坐标系xoy。两端水压力：YXO1122v1v2p1p2RxRy弯管对水流的作用力设为Rx、Ry，如图所示。因是等直径，V大小没变化，但方向改变，动量也改变。应用动量方程之前要先求V2和p2。由连：V1A1= V2A2, 得 V2=4 m/s由能：式中，Z1= Z2 ,hw =0, 代入可得 p2 = p1=1个工程大气压N/cm2=98000 N/m2YXO1122v1v2p1p2RxRy式中，代入已知数据得：Rx=1049（N） Ry=2532 （N） 水流对弯管的作用力方向相反。 应用动量方程求Rx、Ry：YXO1122v1v2p1p2RxRy例

38、有一沿铅垂直立墙壁敷设的弯管如图所示，弯头转角为900， 起始断面1-1与终止断面2-2间的轴线长度L为m，两断面中心高差 为2m，已知1-1断面中心处动水压强 为kN/m2，两断面之间水头损失hw为m，已知管径d为m，试求当管中通过流量qv为m3/s时，水流对弯头的作用力。 解： （1）求管中流速 （2）求2-2断面中心处动水压强 以2-2断面为基准面，对1-1与2-2断面写能量方程为 于是（3）求弯头内水重 （4）计算作用于1-1断面与2-2断面上动水总压力 将hwm， kN/m2代入上式可求出： （5）对弯头内水流沿x、y方向分别写动量方程式 令管壁对水体的反作用力在水平和铅垂方向的分力

39、为Rx及Ry。 沿X方向动量方程： 沿y方向动量方程： 管壁对水流的总作用力 令反作用力R与水平轴x的夹角为，则 水流对管壁的作用力与R大小相等，方向相反。3-7 流体微团运动的分析 一、流体微团运动的组成分析 流体微团的运动比刚体和固体复杂得多，它通常由平移、旋转和变形三部分组成，如图所示。 取正方形微团以A为基点，如图。1、ux、uy ：平动2、经dt时段， AB拉伸了 线应变为 AD线应变为 uxuyADCB3 、 如图分解为两种运动：(1)单纯角变形：AB与 AD在dt时段内相向转过同一个角度=+ABDCAABBDDCCAB与 AD在单位时间内转过同一个角度，即具有相同的角应变率：(2

40、)单纯旋转：AB与 AD在dt内同向旋转过同一个角度：AB与 AD在单位时间内同向旋转过同一个角度，即具有相同旋转角速度：M点的速度可表示为：推广到三元流：当平动(角变)旋转(线变)平动(线变)(角变)旋转由“连”知: x+y+z=0二、有旋运动和无旋运动 x、y、z 三者至少一个不为零的流动称有旋运动x、y、z 三者均为零的流动称无旋运动即例 已知某二元不可压缩流场速度分布为ux=x2+4x-y2 uy=-2xy-4y,试确定：(1)流动是否连续？(2)流场是否有旋？(3)速度为零的驻点位置。解 (1)由 判断可知流动连续。 (2)因为 所以流场无旋。 (3)由驻点ux=0，uy=0 解方程

41、 得驻点为3-8 理想流体无旋流动简介 流体运动可分为有旋流动和无旋流动。 本节简要介绍求解无旋流动的基本方法。 一、流速势函数对于无旋流动有该式使 成为某函数 全微分的充分必要条件，即得 称为流速势函数。问题1. 流速势函数存在的必要与充分条件是: A、平面无旋流动 B、理想流体平面流动 C、不可压缩流体平面流动2. 设流速势函数 =xyz，则点B(1，2，1)处的速度 uB为： A、5 B、1 D、2D、无旋流C、3二、流函数 对不可压缩流体平面流动，其连续性方程使流线方程 成为某函数 全微分的充分必要条件。即得 叫做不可压缩流体平面流动的流函数。 流函数存在的充分必要条件就是不可压缩流体

42、的连续性方程式，所以不可压缩流体作平面连续运动时就有流函数存在。三、流函数与流速势的关系平面势流中任何一点都有一个流函数和流速势。 流函数的性质： 1、任意两流线间所通过的单宽流量等于该两流线的流函数值之差。 2、等流函数线就是流线。 故等流函数（=常数）线就是流线。3. 对于平面恒定势流，等流线簇和等势线簇正交显然，这是平面流动的流线微分方程，例 已知某不可压缩流体平面势流 ，求流函数。解 得 由一式积分 所以 积分得 流函数为 本章小结一、基本概念 1.基本概念及其性质 1)元流：充满在流管中的流体称为元流或微小流束。元流的极限是一条流线。无数元流之和就构成总流。 2)过流断面：即垂直于流

43、体流动方向的横断面，即与元流或总流的流线成正交的横断面称为过流断面。 3)平均流速：由通过过流断面的流量qv除以过流断面的面积A而得的流速称为断面平均流速，常用v表示，即 4)渐变流：水流的流线几乎是平行直线的流动。或者虽有弯曲但曲率半径又很大的流体流动，则可视为渐变流。渐变流的极限是均匀流。 5)急变流：流线间夹角很大或曲率半径较小，流线是曲线。 6)动能(动量)修正系数：指按实际流速分布计算的动能(动量)与按断面平均流速计算的动能(动量)的比值。 它们的值均大于，且取决于总流过流断面的流速分布，分布越均匀，其值越小，越接近于。一般工程计算中常取。 流线的性质： a.同一时刻的不同流线，不能相交。 b.流线不能是折线，而是一条光滑的曲线。 c.流线簇的疏密反映了速度的大小。 流函数的性质：对于平面恒定势流，流线簇和等势线簇正交；任意两条流线的流函数之差等于通过这两条流线间的单宽流量；等流函数线是流线。 理想流体的伯努利方程