多目标决策完整教学课件

1、多目标决策完整教学课件Review of Lecture 2 概率的派别FrequentistBayesian 主观概率的确定Intuitionrationalityexistence theorem实用主观概率设定方法主观设定无信息先验位置密度/标度密度最大熵先验熵的概念（不确定程度的测度/平均信息量）2极大熵准则的理论依据3模型4决策者决策模型模型5决策者决策模型决策者最优决策模型6自然的决策模型决策者决策模型决策者最优决策74基于边际分布边际分布（预测密度）条件均值与条件方差：预测密度是与先验分布相关的，严格的写法为m(x|)8先验分布族具有特定函数形式的先验分布族称为先验分布的hype

2、r-parameter（超参数）具有特定结构的先验分布族邻近特定诱导先验分布9矩方法选择先验分布10ML-II方法选择先验分布11Example12Example (continued)13Example (continued)14Empirical Bayes Analysis15样本空间Empirical Bayes Analysis16样本空间参数空间Empirical Bayes Analysis17样本空间参数空间行动空间Empirical Bayes Analysis18样本空间参数空间行动空间195Hierarchical Priors定义层次先验分布（Hierarchical

3、prior）也称作多阶段先验分布（multi-stage prior）。是一种基于先验分布族，通过多阶段引入参数的先验信息，而获得的参数的先验分布。二阶段层次先验分布：20Example (Hierarchical prior)21 Solution:应收账款风险研究案例（continued）应收账款风险的影响因素（应收账款业务失败，X7）客户的偿债能力（X1）客户的偿债意愿（X2）本公司的管理缺位（X3）本公司的操作失误（X4）公司外部因素导致的失败（X5）本公司内部因素导致的失败（X6）22应收账款业务失败内部因素（X6)外部因素(X5)公司管理缺位（X3)公司操作失误（X4)客户偿债意愿

4、（X2)客户偿债能力（X1)概率分析1st stage prior2nd stage priors3rd stage priors23计算结果24Lecture 3：价值函数中国科学技术大学管理学院主讲: 丁晶晶内容结构图26决策分析基本概念与方法效用简介概率简介价值函数期望效用理论风险厌恶随机优势贝叶斯分析经验Bayes分析Bayes计算先验信息与先验概率确定方法层次Bayes分析多准则决策理论与方法序贯决策理论与方法第一部分第二部分第三部分内容结构图27决策分析基本概念与方法效用简介概率简介价值函数期望效用理论风险厌恶随机优势贝叶斯分析经验Bayes分析Bayes计算先验信息与先验概率确定

5、方法层次Bayes分析多准则决策理论与方法序贯决策理论与方法第一部分第二部分第三部分Questions?How do we determine the utility function? Are there more or less rational ways to assign such utilities? Are we sure that the utility apparatus is the right one to capture our intuition?2829本次课结构Existence of utility function3Preferences1Definition

6、of utility and axiom system2301偏好关系二元关系定义31常见次序关系偏序（partial order）: if a relation is transitive, reflexive and anti-symmetric,完全序（complete order or linear order）：if a relation is a partial order and complete,等价关系（equivalent relation）：if it is reflexive, symmetric and transitive. 32二元关系图33传递关系预序严格偏序偏

7、序严格序弱序线性序非自反性连通性自反性反对称性连通性反对称性连通性二元关系图34传递关系预序严格偏序偏序严格序弱序线性序非自反性连通性自反性反对称性连通性反对称性连通性35优先关系36理性偏好关系（rational preference relation）完全性传递性37Example382效用函数的定义和公理39确定情形效用理论消费者理论（consumer theory）：关于一个理性消费者如何做出消费决策的理论商品组合的集合优先关系的单调性（Monotonicity）40效用函数定义表示偏好关系的效用函数唯一吗？423效用函数存在性43效用函数存在性连续性44证明策略：（1）从下往上证（e

8、asy）（2）从上往下证（see the next slide）45假设46假设47假设48假设49假设50假设51假设52假设53假设54假设55假设56效用函数存在性效用函数存在性证明策略：（构造法）（1）对于任意K维空间的商品组合x，存在唯一的实数a(x)，使得a(x)(1,1,1)与x无差异；（2）令u(x)=a(x)，验证其满足效用函数的定义。存在唯一实数a(x)，使得a(x)(1,1,1) x57连续性存在唯一实数a(x)，使得a(x)(1,1,1) x58连续性存在唯一实数a(x)，使得a(x)(1,1,1) x59连续性存在唯一实数a(x)，使得a(x)(1,1,1) x60连

9、续性存在唯一实数a(x)，使得a(x)(1,1,1) x61连续性Review of Lecture 4 极大熵准则的解释先验分布族参数选择方法矩方法ML-II经验贝叶斯方法决策的风险层次先验分布（hierarchical prior）二元关系偏序和线性序理性偏好关系价值函数定义连续性62应收账款业务失败内部因素（X6)外部因素(X5)公司管理缺位（X3)公司操作失误（X4)客户偿债意愿（X2)客户偿债能力（X1)63效用函数存在性效用函数存在性证明策略：（构造法）（1）对于任意K维空间的商品组合x，存在唯一的实数a(x)，使得a(x)(1,1,1)与x无差异；（2）令u(x)=a(x)，验证

10、其满足效用函数的定义。存在唯一实数a(x)，使得a(x)(1,1,1) x64连续性存在唯一实数a(x)，使得a(x)(1,1,1) x65连续性存在唯一实数a(x)，使得a(x)(1,1,1) x66连续性存在唯一实数a(x)，使得a(x)(1,1,1) x67连续性存在唯一实数a(x)，使得a(x)(1,1,1) x68连续性确定性效用理论（价值函数）总结69理性偏好关系（传递和完全性）连续性价值函数存在性内容结构图70决策分析基本概念与方法效用简介概率简介价值函数期望效用理论风险厌恶随机优势贝叶斯分析经验Bayes分析Bayes计算先验信息与先验概率确定方法层次Bayes分析多准则决策理

11、论与方法序贯决策理论与方法第一部分第二部分第三部分内容结构图71决策分析基本概念与方法效用简介概率简介价值函数期望效用理论风险厌恶随机优势贝叶斯分析经验Bayes分析Bayes计算先验信息与先验概率确定方法层次Bayes分析多准则决策理论与方法序贯决策理论与方法第一部分第二部分第三部分721期望效用理论风险结果的偏好关系Simple lotterycompound lottery期望效用函数73效用函数定义74公理体系75公理体系（independence axiom）LL0.5L+0.5LLLL2/3L+2/3L2/3L+2/3L76存在性证明思路77两个结果的抽奖的比较(p1,c1;p2,

12、c2) vs. (p3,c1;p4,c2)存在期望效用函数(p1,c1;p2,c0) vs. (p3,c2;p4,c0)一般情形抽奖的比较性质1性质2性质3、4定理3.178简单抽奖的比较性质性质1：相同结果抽奖比较79简单抽奖的比较性质性质2：不同结果抽奖比较80简单抽奖的比较性质性质3：确定当量与无差异概率81简单抽奖的比较性质性质4：等价性效用函数的存在性证明策略：（1）无差异概率满足效用函数定义序关系；（性质1）（2）无差异概率满足线性性质。注：期望效用函数(U)与Bernoulli 效用函数(u)82832风险和效用的关系主要内容风险态度的定义风险厌恶的测度风险厌恶的比较常用的效用函

13、数84852.1风险厌恶定义风险态度的定义Def 1: a preference relation is risk averse if for any prospect p, .Def 2: Let be a preference represented by the vNM utility function U. The preference relation is risk averse if and only if u is concave.Def 3: A preference relation is risk averse if and only if for all p, . 86

14、Def 1 Def 287Def 1 Def 388P=(50000,0.5;75000,0.5).风险态度示意图89902.2风险厌恶测度与比较Fair game如果你想要让风险厌恶的人参与这个游戏（即也让其承担一个风险），应该给他多少期望收益？（调整p)如果是风险厌恶的人想把风险给去掉，那么你收他多少钱？91p=1/2(1-p)=1/2抽奖P风险厌恶的人不会参与风险厌恶的测度Arrow-Pratt Measures of Risk AversionAbsolute risk aversionRelative risk aversion92Arrow-Pratt measures of ri

15、sk aversion93Arrow-Pratt measures of risk aversion94风险厌恶的比较(I)(1) The preference relation is more risk averse than if for any prospect p and c, implies that (2) The preference relation is more risk averse than if for all p.95风险厌恶的比较(II)(3) Let u1 and u2 be vNM utility functions represent-ing and res

16、pectively. The preference relation is more risk averse than if the function defined by , is concave. (4) Let u1 and u2 be differentiable vNM utility functions representing and respectively. The preference relation is more risk averse than if r2(x) r1(x), where ri(x) is absolute risk aversion coeffic

17、ient.96风险厌恶的比较(III)(4) r2(x) r1(x),97(1) = (3)98假设存在c,常用的效用函数Constant Absolute Risk Aversion CARAConstant Relative Risk Aversion CRRA99Review of Lecture 4确定情形下的效用函数存在性证明连续性不确定情形下的效用理论公理体系存在性证明无差异概率与期望效用期望效用函数的性质风险厌恶的测度与比较定义（三种）Arrow-Pratt风险厌恶测度100内容结构图101决策分析基本概念与方法效用简介概率简介价值函数期望效用理论风险厌恶随机优势贝叶斯分析经验B

18、ayes分析Bayes计算先验信息与先验概率确定方法层次Bayes分析多准则决策理论与方法序贯决策理论与方法第一部分第二部分第三部分内容结构图102决策分析基本概念与方法效用简介概率简介价值函数期望效用理论风险厌恶随机优势贝叶斯分析经验Bayes分析Bayes计算先验信息与先验概率确定方法层次Bayes分析多准则决策理论与方法序贯决策理论与方法第一部分第二部分第三部分OutlineMean-Variance Criterion (Sec. 5.2,5.3)Stochastic Dominance (Sec. 5.1,5.4,5.5,5.6,5.7,5.8)1041平均值方差排序(Sec. 5.

19、2，5.3)105-法则基本思路在评价行动方案时，不仅考虑方案可能带来的期望值，也考虑代表风险的方差评价函数：对评价函数的要求106有效的投资组合图以标准差为横轴，均值为纵轴，根据平均值方差准则分析有效的有价证券的组合。107资产组合的收益与风险：计算公式108资产组合的风险109资产组合的风险与资产数量当资产组合中的种类增多时，组合中单个资产的风险变的越来越不重要，组合中资产之间的协方差变的越来越重要。110资产组合的风险与资产数量：一个简单情形考虑一种特殊组合,X1=X2,=Xn=1/N. 假设所有资产的方差相等( )，同时资产两两之间的协方差相等( )。分析N 根据上表列方差表达式Mor

20、kowitz模型111112风险资产与无风险资产的组合考虑一种有价证券与无风险资产的组合的收益和风险。资产组合用(X1,X2)表示，其中X1表示风险资产的持有比例。设第1种资产的收益率均值为1，方差为1，无风险资产收益均值为2，方差为0，那么资产组合的收益率与方差分别为113有效的投资组合图/EV有效前沿面假设存在无风险资产，以标准差为横轴，均值为纵轴，分析有效的资产组合？114市场均衡假设所有的投资者对所有证券的期望收益，方差和协方差有相同的估计，即所有投资者接收相同的信息homogeneous expectations所有人具有相同的无风险利率，进行借贷所有人都会持有市场组合115有效组合

21、的预期收益率确定资本市场线（CML）：均衡条件下，它代表证券市场上所有有效的投资机会，每一位投资者都将根据自己的偏好在CML上选择一点作为自己的投资目标斜率：均衡收益率有效组合116任意组合的预期收益率确定假设任意证券i，收益率为 ，标准差为 . 其与市场组合按照比例a, 1-a组合的新组合的收益率和标准差可以用如下的参数方程表示：参数方程在市场组合处的斜率参数方程在市场组合处的斜率等于CML斜率Beta系数1172随机优势（Sec.5.1,5.4,5.5,5.6,5.7,5.8）1182.1效用函数的类（Sec. 5.4）效用函数的类递增的效用函数类(strictly increasing)

22、递增的凹效用函数(strictly increasing concave)假设：递增、可导和有界1191202.2随机优势的概念与性质121Absolute dominance/State-by-state dominance (按状态占优)当满足下列条件时，称i确定性占优j如果一个行动是不被另外一个行动所占优，则称其为可接受行动（admissible）例1：X为一随机变量, Y=X+1. Sec 5.1 (P71)122123第一等随机优势（First-order stochastic dominance）或者生存函数进行定义Absolute dominance vs. First-orde

23、r dominance性质：Absolute dominance = first-order dominance性质：收益X分布F(x)第一等随机占优收益Y，其分布为G(y)。则存在随机变量X*,Y*,其中X*的分布函数服从F(.)，Y*的分布服从G(.)，且有 例:X和Y相互独立，XU(0,1)，YU(1,2)124125随机优势例子某种病的治疗可以采取立即做手术，或者不作处理。如果不做处理，病情可能恶化，患者因此可能死亡或者残疾。如果立即做手术，手术有风险，在手术过程中可能会在手术中死亡或者导致残疾。医生应该如何做？不做手术手术075100075100P (死亡) = 0.05P (残疾)

24、 = 0.25P (治愈) = 0.70P (死亡) = 0.01P (残疾) = 0.04P (治愈) = 0.95126随机占优例子不做手术，被做手术第一等随机占优例5.1127128随机占优与期望效用129第二等随机优势（second-order dominance）设X和Y的分布函数分别为F,G，满足以下条件称F 第二等随机占优G，记为。性质：第一等随机优势可以推导出第二等随机优势，反之未必成立130第二等随机占优性质如果F(.)和G(.) 为收益X和Y的分布函数，则下面的结论等价F(.)第二等随机占优G(.)对于任意的不减凹效用函数u(.)，有下式成立Hint: 两次利用分部积分13

25、1第二等随机占优性质定义与定理（Sec 5.6, P77）1321332.3随机优势定理的特例相等平均值134简单分布函数135单交叉分布136137正态分布变量的比较X和Y都为正态随机变量Y比X有较低的均值，同时具有相同的方差密度函数平移，一阶随机占优，二阶随机占优如果Y比X有较高的方差，Y和X具有相同的均值单交叉，二阶随机占优Y比X有较高的均值，同时具有较低的方差二阶随机占优传递性如果证券收益符合正态分布，那么期望均值分析是合理的一般情形下的EV排序与随机优势排序比较138139随机占优决策小结效用函数不容易确定。如果能找到适合一类具有共同特征的效用函数的决策方式，则决策结果可靠性更高所有

26、人都偏好一阶占优的选择具有非减的效用函数所有厌恶风险的人都偏好二阶占优的选择具有非减的凹效用函数如果资产收益为正态分布，那么均值方差分析在金融中的应用具有合理性通过二阶随机占优来说明Review of Lecture 5140内容结构图141决策分析基本概念与方法效用简介概率简介价值函数期望效用理论风险厌恶随机优势贝叶斯分析经验Bayes分析Bayes计算先验信息与先验概率确定方法层次Bayes分析多准则决策理论与方法序贯决策理论与方法第一部分第二部分第三部分内容结构图142决策分析基本概念与方法效用简介概率简介价值函数期望效用理论风险厌恶随机优势贝叶斯分析经验Bayes分析Bayes计算先验

27、信息与先验概率确定方法层次Bayes分析多准则决策理论与方法序贯决策理论与方法第一部分第二部分第三部分Outline of Lecture 6基本概念损失函数、风险函数、贝叶斯风险贝叶斯分析正规型与扩展型选择合适的规则（方案）信息的价值设计“经济”的信息收集方式案例研究Claxton, K., Neumann, PJ., et al. Bayesian value of information analysis：An Application to a Policy Model of Alzheimers Disease. International Journal of Technology

28、Assessment in Health Care,17:1(2001), 3855.1431441基本概念损失函数145常用的损失函数形式平方损失线性损失“0-1”损失146147147决策规则 决策规则 从补充信息值X 的集合到行动方案集合A的单值对应称为决策规则。记作：随机化决策规则E.g., 若某个决策问题有m个行动方案，有n个补充信息值，则至多有mn个决策规则。148148风险函数风险函数R(,)：损失值l(x), )对所有补充信息值的x数学期望。风险函数是在状态值下，决策规则对全部补充信息值的平均损失。149149贝叶斯风险贝叶斯风险 r() 对决策法则，风险函数r(,)对状态的数

29、学期望，称为决策法则的贝叶斯风险。 贝叶斯风险r()是一个常数，表示决策法则，对一切补充信息值和状态值的平均损失值。150贝叶斯似然矩阵/函数(likelihood matrix function)151贝叶斯决策规则风险函数，贝叶斯风险和贝叶斯规则Bayes 决策规则在给定状态下所有状态下平均例3.41532贝叶斯分析正规型和扩展型154两类问题决策人面临的两个问题：如何选择最佳的决策规则？如何进行试验获得更多的信息，以便修正先验分布并得到后验分布? 进行这样的试验是否值得?决策准则的问题计算信息的价值，进行成本收益分析贝叶斯准则(Bayes Criterion)其他准则最小最大原则(Min

30、max criterion)容许性(admissibility)157例4.5158贝叶斯决策分析正规型(Normal form of analysis)贝叶斯决策准则：如果行动规则 的贝叶斯风险小于行动规则 在同样先验分布 下的贝叶斯风险值，即 ，则定义行动规则 优于行动规则最优决策就是贝叶斯风险最小的决策贝叶斯分析的正规型：选择一个行动规则，使其贝叶斯风险最小随机化行动对贝叶斯决策规则的影响令随机化行动对贝叶斯规则的影响令平方损失函数贝叶斯决策规则161162贝叶斯分析的扩展型Bayes 决策规则163例4.6决策树帮助组织求解过程例4.7例4.8求解贝叶斯决策与贝叶斯风险要点构造贝叶斯决

31、策规则 可以不计算预测密度(如例4.8)针对不同的自然状态，求解贝斯规则的期望损失，再通过先验分布信息来求平均损失，即贝叶斯风险.贝叶斯决策法则、贝叶斯决策风险与先验分布相关166167求解贝叶斯决策规则例1：考虑一个决策问题有两种备选方案 ，两种自然状态 。损失矩阵如下表所示。假设我们可以观察一个随机变量X，则有下面的条件分布矩阵（似然函数分布矩阵）：假设上的概率分布为 ，其中 。求解贝叶斯决策规则。a1a2w105w2100168小结1692.1贝叶斯分析拓展(Sec 4.6，4.7)充分统计量与贝叶斯决策规则170(与参数无关)非正常先验 vs. 贝叶斯风险无穷大Improper pri

32、ors171172例4.10具有部分先验信息贝叶斯分析1731741753贝叶斯决策信息价值176贝叶斯决策信息的价值利用补充信息来修正先验概率，可以使决策的准确度提高，从而提高决策的科学性和效益性。因此，信息本身是有价值的能带来收益。 收益与成本的比较，需要考虑边际收益 问题：如何衡量信息的价值？完全信息价值补充信息价值177完全信息期望价值（EVPI）完全信息：指能够提供状态变量真实情况的补充信息。即在获得补充信息后就完全消除了风险情况，风险决策就转化为确定型决策。设xi 为补充信息值，若存在状态值0，使得条件概率P(0/ xi)=1 ，或者当状态值 0时，总有P(/ xi)=0 。则称信

33、息值xi为完全信息值。(补充信息可靠性100%)178完全信息期望值计算如果补充信息值 xi对每一个状态值都是完全信息值，则完全信息值xi 对状态的期望收益值称为完全信息价值的期望值（expected value of perfect information）,简称完全信息价值，记做EVPI。179例子某工厂计划生产一种新产品，产品的销售情况有畅销（1），滞销（2）两种，据以往的经验，估计两种情况发生的概率分布和利润如下表所示：状态畅销（1） 滞销（2）概率P(i) 0.8 0.2生产(a1) 1.5 0.5不生产(a2) 0 0180补充信息的价值（EVAI） 补充信息值xi 的价值： 决策

34、者掌握了补充信息值 xi前后期望收益值的增加量(或期望损失值的减少量)。补充信息价值：全部补充信息值xi 价值的期望值，称为补充信息价值的期望值。简称补充信息价值，记做EVAI（Expected Value of Additional Information）。181补充信息价值（EVAI）的计算公式1：其中：(x)表示在信息值x下的行动方案，E|x表示在信息值x的条件下对状态值求收益期望值公式2：l(a,)表示决策问题的损失函数贝叶斯风险的变化量182取样成本的考虑成本怎么刻画？成本与贝叶斯风险怎么合成？简化：取样成本与状态无关，与样本值也无关，只与取样次数相关183例：续上例假设观察X的成

35、本是c0. 对任意状态空间上的概率分布，决策者愿意支付的最大c为多少？184EVAI 与EVPI 的关系任何补充信息价值都是非负的，且不超过完全信息的价值。 即：EVPIEVAI0 补充信息不会降低决策的期望收益（或者不会提高决策的期望损失）例4.121863.1抽样贝叶斯决策187抽样的意义抽样检查（抽检）是获得情报信息的重要手段例：为了解一批产品中次品率的情况，可以从这批产品中提出一定数量的样品进行检查，然后对总体进行评估构造决策统计量，该统计量代表抽样情报信息抽样贝叶斯决策利用抽样信息值作为补充信息值，去修正状态变量的先验分布，得到后验分布，再依据后验分布进行的贝叶斯决策188抽样分析的

36、例子某厂生产某种设备，其中一个关键部位的质量不够稳定，其次品率有时为0.05，有时为0.25。该部件按批量生产，每批1500件。据统计，在过去生产的各批部件中，次品率为0.05的占80%该厂对一批部件，可以：在使用前逐个检查，剔除所发现的次品，这样每个部件的检查费为15元也可以整批部件都不检查就用于设备装配，这样在设备最终调试时还得拆换该部件的次品，其检查、拆换费用为每件次品100元还可以从一批部件中先抽取部分样品送交实验室严格检验，根据检验结果再决定检查或不检查。抽样检验费用为每件125元问该厂如何检查该部件？189比较全检和不抽检两种方案1 (次品率0.05)2 (次品率0.25)期望收益

37、0.80.2a1（全检）-22500-22500-22500a2（不检）-7500-37500-13500因此，选择不抽检比全检好。下面再考虑通过抽样补充信息，根据抽检结果决定是否全检或不检1 (次品率0.05)2 (次品率0.25)期望损失0.80.2a1（全检2（不检）0150003000收益矩阵和损失矩阵190抽检一次的情况h1：结果为合格品，h2：结果为不合格品求得： p(h1)=0.91, p(h2)=0.09 p(1 |h1)=0.84， p(2 |h1)=0.16 p(1 |h2)=0.44， p(2 |h2)=0.56决策结果：如果h1发生，则a2(不

38、检)，如果h2发生，则a1(全检)期望损失h1 (0.91)h2 (0.09)a1（全检）126006600a2（不检）24008400191抽检两次的情况h1：全部为合格品，h2：一合格，一不合格， h3：全部为不合格品求得：p(h1)=0.8345，p(h2)=0.151，p(h3)=0.0145p(1 |h1)=0.87， p(2 |h1)=0.13p(1 |h2)=0.5033， p(2 |h2)=0.4967p(1 |h3)=0.14， p(2 |h3)=0.86决策结果：如果h1或h2发生，则a2(不检)，如果h3发生，则a1(全检)期望损失h1(0.8345)h2(0.151)h

39、3(0.0145)a1（全检）130507549.672100a2（不检）19507450.3312900192抽检三次的情况h1：全部为合格品，h2：两合格，一不合格， h3：一合格，两不合格，h4：全部为不合格品求得：p(h1)=0.7703，p(h2)=0.1927，p(h3)=0.0338， p(h4)=0.0032p(1 |h1)=0.8905， p(2 |h1)=0.1095p(1 |h2)=0.5621， p(2 |h2)=0.4379p(1 |h3)=0.1685， p(2 |h3)=0.8315p(1 |h4)=0.031， p(2 |h4)=0.969决策结果：如果h1或h

40、2发生，则a2(不检)，如果h3或h4发生，则a1(全检)期望损失h1h2h3h4a1（全检）1335884322527465a2（不检）164265681247314535193最佳样本容量抽样需要支付费用，费用大小与样本容量有关。需要确定样本容量的一个最佳值。抽样成本和抽样净收益 抽样所支付的费用（Cost of Sampling）称为抽样成本，记作CS。由于抽样成本是样本容量N的函数，抽样成本成本常记为CS(N)。 通常有CS(N)=Cf +Cv N，（N非零） 固定成本： Cf 单位可变成本： Cv 194同样的，抽样信息价值也是样本容量的函数，记为EVSI(N)。抽样信息价值与抽样成

41、本之差称为抽样净收益(Expected Net Gain from Sampling)，记作ENGS(N)。ENGS(N)=EVSI(N)-CS(N)ENGS(N)是抽样贝叶斯决策的重要指标，以此确定抽样调查工作的必要性。当ENGS(N)为正时，抽样分布给决策带来正效益，应该进行抽样分析，反之应否定抽样调查方案195最佳样本容量最佳样本容量196抽检一次的补充情报价值无任何情报情况下的损失选择不抽检，期望损失3000有补充情报下的损失情报为“合格”，期望损失2400，概率0.91情报为“不合格”，期望损失6600，概率0.09期望损失：0.912400+0.096600=2778因此，补充情报

42、价值=3000-2778=222元抽样净值=222-125=97元，抽检值得完全信息价值197抽检两次的补充情报价值无任何情报情况下的损失选择不抽检，期望损失3000有补充情报下的损失情报为“全合格”，期望损失1950，概率0.8345情报为“一合格，一不合格”，期望损失7450.33，概率0.151情报为“全不合格”，期望损失2100，概率0.0145期望损失：2783因此，补充情报价值=3000-2783=217元抽样净值=217-1252=-33元，抽检两次是完全不合理的198抽检三次的补充情报价值无任何情报情况下的损失选择不抽检，期望损失3000有补充情报下的损失情报为“全合格”，期望

43、损失1642，概率0.7703情报为“两合格，一不合格”，期望损失6568，概率0.1927情报为“一合格，两不合格”，期望损失2527，概率0.0338情报为“全不合格”，期望损失465，概率0.0032期望损失：2617因此，补充情报价值=3000-2617=383元抽样净值=383-1253=8元，抽检三次虽然可行，但抽样净值不及抽检一次，因此没有必要例4.142004Case StudyReview of Lecture 6201Outline of Lecture 7信息的价值设计“经济”的信息收集方式案例研究Claxton, K., Neumann, PJ., et al. Bay

44、esian value of information analysis：An Application to a Policy Model of Alzheimers Disease. International Journal of Technology Assessment in Health Care,17:1(2001), 3855.2022033贝叶斯决策信息价值204贝叶斯决策信息的价值利用补充信息来修正先验概率，可以使决策的准确度提高，从而提高决策的科学性和效益性。因此，信息本身是有价值的能带来收益。 收益与成本的比较，需要考虑边际收益 问题：如何衡量信息的价值？完全信息价值补充信

45、息价值205完全信息期望价值（EVPI）完全信息：指能够提供状态变量真实情况的补充信息。即在获得补充信息后就完全消除了风险情况，风险决策就转化为确定型决策。设xi 为补充信息值，若存在状态值0，使得条件概率P(0/ xi)=1 ，或者当状态值 0时，总有P(/ xi)=0 。则称信息值xi为完全信息值。(补充信息可靠性100%)206完全信息期望值计算如果补充信息值 xi对每一个状态值都是完全信息值，则完全信息值xi 对状态的期望收益值称为完全信息价值的期望值（expected value of perfect information）,简称完全信息价值，记做EVPI。207例子某工厂计划生产

46、一种新产品，产品的销售情况有畅销（1），滞销（2）两种，据以往的经验，估计两种情况发生的概率分布和利润如下表所示：状态畅销（1） 滞销（2）概率P(i) 0.8 0.2生产(a1) 1.5 0.5不生产(a2) 0 0208例子c变成-c?209补充信息的价值（EVAI） 补充信息值xi 的价值： 决策者掌握了补充信息值 xi前后期望收益值的增加量(或期望损失值的减少量)。补充信息价值：全部补充信息值xi 价值的期望值，称为补充信息价值的期望值。简称补充信息价值，记做EVAI（Expected Value of Additional Information）。210补充信息价值（EVAI）的计

47、算公式1：其中：(x)表示在信息值x下的行动方案，E|x表示在信息值x的条件下对状态值求收益期望值公式2：l(a,)表示决策问题的损失函数贝叶斯风险的变化量211取样成本的考虑成本怎么刻画？成本与贝叶斯风险怎么合成？简化：取样成本与状态无关，与样本值也无关，只与取样次数相关212例：续上例假设观察X的成本是c0. 对任意状态空间上的概率分布，决策者愿意支付的最大c为多少？213EVAI 与EVPI 的关系任何补充信息价值都是非负的，且不超过完全信息的价值。 即：EVPIEVAI0 补充信息不会降低决策的期望收益（或者不会提高决策的期望损失）例4.122153.1抽样贝叶斯决策216抽样的意义抽

48、样检查（抽检）是获得情报信息的重要手段例：为了解一批产品中次品率的情况，可以从这批产品中提出一定数量的样品进行检查，然后对总体进行评估构造决策统计量，该统计量代表抽样情报信息抽样贝叶斯决策利用抽样信息值作为补充信息值，去修正状态变量的先验分布，得到后验分布，再依据后验分布进行的贝叶斯决策217抽样分析的例子某厂生产某种设备，其中一个关键部位的质量不够稳定，其次品率有时为0.05，有时为0.25。该部件按批量生产，每批1500件。据统计，在过去生产的各批部件中，次品率为0.05的占80%该厂对一批部件，可以：在使用前逐个检查，剔除所发现的次品，这样每个部件的检查费为15元也可以整批部件都不检查就

49、用于设备装配，这样在设备最终调试时还得拆换该部件的次品，其检查、拆换费用为每件次品100元还可以从一批部件中先抽取部分样品送交实验室严格检验，根据检验结果再决定检查或不检查。抽样检验费用为每件125元问该厂如何检查该部件？218比较全检和不抽检两种方案1 (次品率0.05)2 (次品率0.25)期望收益0.80.2a1（全检）-22500-22500-22500a2（不检）-7500-37500-13500因此，选择不抽检比全检好。下面再考虑通过抽样补充信息，根据抽检结果决定是否全检或不检1 (次品率0.05)2 (次品率0.25)期望损失0.80.2a1（全检2（不

50、检）0150003000收益矩阵和损失矩阵219抽检一次的情况h1：结果为合格品，h2：结果为不合格品求得： p(h1)=0.91, p(h2)=0.09 p(1 |h1)=0.84， p(2 |h1)=0.16 p(1 |h2)=0.44， p(2 |h2)=0.56决策结果：如果h1发生，则a2(不检)，如果h2发生，则a1(全检)期望损失h1 (0.91)h2 (0.09)a1（全检）126006600a2（不检）24008400220抽检两次的情况h1：全部为合格品，h2：一合格，一不合格， h3：全部为不合格品求得：p(h1)=0.8345，p(h2)=0.151，p(h3)=0.0

51、145p(1 |h1)=0.87， p(2 |h1)=0.13p(1 |h2)=0.5033， p(2 |h2)=0.4967p(1 |h3)=0.14， p(2 |h3)=0.86决策结果：如果h1或h2发生，则a2(不检)，如果h3发生，则a1(全检)期望损失h1(0.8345)h2(0.151)h3(0.0145)a1（全检）130507549.672100a2（不检）19507450.3312900221抽检三次的情况h1：全部为合格品，h2：两合格，一不合格， h3：一合格，两不合格，h4：全部为不合格品求得：p(h1)=0.7703，p(h2)=0.1927，p(h3)=0.033

52、8， p(h4)=0.0032p(1 |h1)=0.8905， p(2 |h1)=0.1095p(1 |h2)=0.5621， p(2 |h2)=0.4379p(1 |h3)=0.1685， p(2 |h3)=0.8315p(1 |h4)=0.031， p(2 |h4)=0.969决策结果：如果h1或h2发生，则a2(不检)，如果h3或h4发生，则a1(全检)期望损失h1h2h3h4a1（全检）1335884322527465a2（不检）164265681247314535222最佳样本容量抽样需要支付费用，费用大小与样本容量有关。需要确定样本容量的一个最佳值。抽样成本和抽样净收益 抽样所支付

53、的费用（Cost of Sampling）称为抽样成本，记作CS。由于抽样成本是样本容量N的函数，抽样成本成本常记为CS(N)。 通常有CS(N)=Cf +Cv N，（N非零） 固定成本： Cf 单位可变成本： Cv 223同样的，抽样信息价值也是样本容量的函数，记为EVSI(N)。抽样信息价值与抽样成本之差称为抽样净收益(Expected Net Gain from Sampling)，记作ENGS(N)。ENGS(N)=EVSI(N)-CS(N)ENGS(N)是抽样贝叶斯决策的重要指标，以此确定抽样调查工作的必要性。当ENGS(N)为正时，抽样分布给决策带来正效益，应该进行抽样分析，反之应

54、否定抽样调查方案224最佳样本容量最佳样本容量225抽检一次的补充情报价值无任何情报情况下的损失选择不抽检，期望损失3000有补充情报下的损失情报为“合格”，期望损失2400，概率0.91情报为“不合格”，期望损失6600，概率0.09期望损失：0.912400+0.096600=2778因此，补充情报价值=3000-2778=222元抽样净值=222-125=97元，抽检值得完全信息价值226抽检两次的补充情报价值无任何情报情况下的损失选择不抽检，期望损失3000有补充情报下的损失情报为“全合格”，期望损失1950，概率0.8345情报为“一合格，一不合格”，期望损失7450.33，概率0.

55、151情报为“全不合格”，期望损失2100，概率0.0145期望损失：2783因此，补充情报价值=3000-2783=217元抽样净值=217-1252=-33元，抽检两次是完全不合理的227抽检三次的补充情报价值无任何情报情况下的损失选择不抽检，期望损失3000有补充情报下的损失情报为“全合格”，期望损失1642，概率0.7703情报为“两合格，一不合格”，期望损失6568，概率0.1927情报为“一合格，两不合格”，期望损失2527，概率0.0338情报为“全不合格”，期望损失465，概率0.0032期望损失：2617因此，补充情报价值=3000-2617=383元抽样净值=383-125

56、3=8元，抽检三次虽然可行，但抽样净值不及抽检一次，因此没有必要例4.142294Case StudyAbstract230A1. 研究假设、目的或者问题Abstract231A2. 研究方法与理论Abstract232A3. 研究结果Abstract233A其他. 研究含义、意义等Introduction & Literature Review234I1. 描述问题范围，过渡到具体的研究假设、目的或者问题Introduction & Literature Review235I2. 描述问题重要性Introduction & Literature Review236I3. 描述本研究的观点In

57、troduction & Literature ReviewAlthough previous investigations provide some insight into these questions, research in this area generallyfocuses on rather than on Its findings are based on that are often limited to 237I其他. 描述研究空白、差异与贡献Separate Literature Review建立本研究的“坐标系”positioning the study in rel

58、ation to the existing literature in the Introduction, and thereby setting the scene and explaining the motivation for the paper文献回顾不是附说明的参考文献列表focused on the papers which are directly relevant to the studyEmphasize the findings of previous research-not just the research Methodologies and names of va

59、riables studied文献回顾需要为引出研究问题服务 It should be focused on what is needed for the specific study. the development of the theoretical underpinnings for the paper. The literature review should, build a theoretical framework or the theoretical basis. I would normally expect the literature review to lead di

60、rectly to the research questions238Main bodyResearch methods (or the model section)Results and Analyses(or Proportions and Theorems)Discussion &Conclusion239Research methods: Methodological Background240EVPIEVSISampling CostENBSPrior informationLoss function非重点Research methods: Policy model of AD &