(课标专用)天津市2020高考数学二轮复习题型练4大题专项数列的通项、求和问题

1、题型练4大题专项(二)数列的通项、求和问题题型练第56页1.已知等差数列an的前n项和为Sn,且a2=3,S4=16,数列bn满足a1b1+a2b2+anbn=n.(1)求bn的通项公式;(2)求数列的前n项和Tn.解:(1)设首项为a1,公差为d的等差数列an的前n项和为Sn,且a2=3,S4=16,所以解得a1=1,d=2,所以an=1+2(n-1)=2n-1.因为a1b1+a2b2+anbn=n,所以1b1+3b2+(2n-1)bn=n,所以当n时,1b1+3b2+(2n-3)bn-1=n-1,-得,(2n-1)bn=1,所以bn=-,当n=1时,b1=1(首项符合通项),故bn=.-(

2、2)因为bn=-,所以-,所以Tn=1-+-=-.2.已知数列an满足a1=2,an+1=2,nN*.(1)证明:数列1+log2an为等比数列;(2)设bn=,求数列bn的前n项和Sn.(1)证明由an+1=2,两边取以2为底的对数,得log2an+1=1+2log2an,则log2an+1+1=2(log2an+1),所以1+log2an为等比数列,首项为2,公比为2,且log2an+1=(log2a1+1)2n-1=2n.两式相减得Sn=+,(2)解由(1)得bn=.因为Sn为数列bn的前n项和,所以Sn=+,则Sn=+.=1-所以Sn=2-.3.已知等比数列an的公比q1,且a3+a4

3、+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列bn满足b1=1,数列(bn+1-bn)an的前n项和为2n2+n.(1)求q的值;(2)求数列bn的通项公式.解:(1)由a4+2是a3,a5的等差中项,得a3+a5=2a4+4,所以a3+a4+a5=3a4+4=28,解得a4=8.由a3+a5=20,得8=20,解得q=2或q=,因为q1,所以q=2.(2)设cn=(bn+1-bn)an,数列cn前n项和为Sn,由cn=-解得cn=4n-1.由(1)可知an=2n-1,所以bn+1-bn=(4n-1)-.故bn-bn-1=(4n-5)-,nbn-b1=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-

4、2)+(b3-b2)+(b2-b1)+(4n-9)=(4n-5)-+7+3.设Tn=3+7+11+(4n-5)-,n+(4n-5)Tn=3+7+(4n-9)-,-(4n-5)所以Tn=3+4+4+4-,因此Tn=14-(4n+3)-,n又b1=1,所以bn=15-(4n+3)-.4.已知等差数列an的前n项和为Sn,公比为q的等比数列bn的首项是,且a1+2q=3,a2+4b2=6,S5=40.(1)求数列an,bn的通项公式an,bn;(2)求数列的前n项和Tn.解:(1)设an公差为d,由题意得解得故an=3n-1,bn=.(2)-+22n+1,Tn=-+-+(22n+3-8)=22n+3

5、-.-5.已知数列an的各项均不为零.设数列an的前n项和为Sn,数列的前n项和为Tn,且3-4Sn+Tn=0,nN*.(1)求a1,a2的值;(2)证明:数列an是等比数列;(3)若(-nan)(-nan+1)0对任意的nN*恒成立,求实数的所有值.(1)解3-4Sn+Tn=0,nN*,令n=1,得3-4a1+=0,因为a10,所以a1=1.令n=2,得3(1+a2)2-4(1+a2)+(1+)=0,即2+a2=0,因为a20,所以a2=-.(2)证明因为3-4Sn+Tn=0,所以3-4Sn+1+Tn+1=0,-得,3(Sn+1+Sn)an+1-4an+1+=0.因为an+10,所以3(Sn

6、+1+Sn)-4+an+1=0,所以3(Sn+Sn-1)-4+an=0(n当n时,-,得3(an+1+an)+an+1-an=0,即an+1=-an.因为an0,所以=-.又由(1)知,a1=1,a2=-,所以=-,所以数列an是以1为首项,-为公比的等比数列.(3)解由(2)知,an=-.因为对任意的nN*,(-nan)(-nan+1)0恒成立,所以的值介于n-和n-之间.因为n-n-0,当n为奇数时,n-n-恒成立,从而有恒成立.-记p(n)=(n因为p(n+1)-p(n)=-0不符合题意.若0,当n为奇数时,n-n-恒成立,从而有-恒成立.由(*)式知,当n且n-时,有-,所以0,nN*.(1)若2a2,a3,a2+2成等差数列,求数列an的通项公式;于是e1+e2+en1+q+qn-1=-,(2)设双曲线x2-=1的离心率为en,且e2=,证明:e1+e2+en(1)解由已知,Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1,两式相减得到an+2=qan+1,n.又由S2=qS1+1得到a2=qa1,故an+1=qan对所有n都成立.所以,数列an是首项为1,公比为q的等比数列.从而an=qn-1.由2a2,a3,a2+2成等差数列,可得2a3=3a2+2,即2q2=3q+2,则(2q+1)(q-2)=0,由已知,q0,故q=2.