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1、5.3积分变换在解定解问题中的应用 运用积分变换法求解定解问题时，首先依据定解问题，选择适当的变换。选择变换的原则主要是：（1）自变量的变化范围；（2）定解条件的形式。 用积分变换法求解定解问题步骤：1）选择适当的积分变换，对方程取积分变换；2）对定解条件取积分变换；3）求常微分方程的解，即为原定解问题的变换；4）对所得解取逆变换，得原定解问题解。一、傅氏变换解定解问题：例1求解热传导方程的初值问题 的基本解。解：由第四章第三节知：只需求解对方程及初始条件取关于x的傅氏变换，记 FF利用傅立叶变换的微分性质，得这是常微分方程的初值问题，其解为为求原定解问 题解，再对 进行傅氏逆变换。利用卷积性

2、质，由于 F故 为一维热传导方程的基本解。 例2 解： 对x作傅氏变换 记 对方程和初始条件关于x取傅氏变换，有 下面求解常微分方程的初值问题因为两边积分（从0t），得 于是 再对 进行傅氏逆变换 FFFF所以 例3半无界问题 解:将边界条件齐次化 令则 满足 将初始条件作奇延拓，得 构成无界域上的热传导方程的初值问题由例1结果，得 故 例4无界弦振动方程的初值问题 解对x作傅氏变换，记 F得 下面求解常微分方程的初值问题：特征方程： 通解： 由初始条件得 解得所以再求 的傅氏逆变换，利用位移性质和延迟性质，可得 FFF因此，解为二、拉氏变换解定解问题步骤：1）对定解问题进行拉氏变换；2）解相

3、应常微分方程问题；3）求反演。例1半无界波动方程的混合问题 解：对方程及边界条件取关于t的拉氏变换， 有其通解为LL记利用边界条件得 故 1）当 LL求 的逆变换，利用延迟性质 L有 于是由 ，可得 L利用延迟性质，其逆变换为 2）当 L例2无界电报方程的混合问题 其中 解： 根据问题的求解域及定解条件，应取关于t的拉氏变换，记 LL对方程及边界条件取关于t的拉氏变换： 其中 ，即有 通解为由V 的有界性，得 由 ,得 因此利用延迟性质，其逆变换为 LL 由上面的例题可以看出，对积分变换的选择要根据问题的不同和求解的方便，通常对于无界的初值问题，经常采用傅氏变换（针对空间变量），而对于带边界的定解问题，经常采用拉氏变换（针对时间变量），总之积分变换是求解定解问题的有力工具。习 题用积分变换法解下列定解问题 1.2.数学物理方程

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