弹性力学-第四章 应力应变-问题建立

1、第四章 应力应变关系 弹性力学(l xu)问题的建立材料的应力应变的内在联系-材料固有特性，因此称为物理方程或者本构关系总结弹性力学基本方程 讨论求解弹性力学问题的方法解的唯一性 局部(jb)影响原理 叠加原理共六十六页目录4.1广义胡克定律4.2弹性体的应变能函数(hnsh)4.3 弹性力学问题的提法4.4 弹性力学解的唯一性定理 逆解法和半逆解法4.5局部影响原理 解的叠加原理共六十六页静力学静力平衡方程(fngchng) 描述力（应力）关系运动学几何方程变形协调方程 描述变形（应变，位移）关系应力与应变间？有着完全确定的关系是材料的固有特性称作物理方程或本构关系 胡克定律共六十六页应力应

2、变关系属于材料性能 称为物理方程或者本构方程单向拉伸或者扭转应力应变关系可以通过实验确定：这一定律是虎克在大量的材料拉伸、剪切试验研究基础上于1678年正式发表的，它虽然简单却非常重要(zhngyo)，这一定律奠定了弹性理论的物理基础。 复杂应力状态难以通过实验确定4.1 广义(gungy)胡克定律共六十六页 与此相关的是材料(cilio)受拉时的侧向收缩现象。法国科学家泊松（Poisson）指出：材料在一个方向的拉伸必伴随着与之垂直方向的收缩，收缩比：弹性常数中，E拉压弹性模量，简称弹性模量、杨氏（Yong）模量。G剪切弹性模量，简称刚度模量。侧向收缩系数，简称泊松比。4.1 胡克(h k)

3、定理2对每一种材料，它们都是定植。这为试验所证明。对于均匀、各向同性材料，可以证明只有2个独立弹性常数。三个常数E，G， 间存在关系：共六十六页上式表明，物体中一点的3个正应力与3个正应变(yngbin)之间相互牵连，而剪应力与剪应变(yngbin)之间互不相关。广义(gungy)胡克定律逆弹性关系关系4.1 胡克定理3共六十六页 各向同性材料广义(gungy)胡克（Hooke）定律l称为拉梅（Lame）弹性(tnxng)常数4.1 胡克定理4将前三式相加，则有体积应变体积应力又称为应变张量剪应变 共六十六页工程(gngchng)弹性常数与拉梅弹性常数之间的关系为两个独立的弹性(tnxng)常

4、数实验测定：单向拉伸实验可以测出弹性模量E薄壁管扭转实验可以测定剪切弹性模量G4.1 弹性常数5共六十六页各向同性材料主应力状态(zhungti)对应的切应力分量均为零。 所有的切应变分量也为零。所以，各向同性弹性体应力主轴同时又是应变主轴应力主方向和应变主方向是重合的4.1 弹性(tnxng)常数6以应力主轴为坐标轴，则对应的切应力分量均应为零。共六十六页物理意义物体各个方向上的弹性性质完全相同，即物理性质的完全对称。数学反映应力和应变关系(gun x)在所有方位不同的坐标系中都一样。金属材料各向同性弹性体，是最常见的工程材料。弹性力学主要讨论各向同性材料。各向同性( xin tn xn)弹

5、性体4.1 胡克定理7共六十六页4.2 弹性体的应变(yngbin)能函数. 应变能弹性体发生变形时，外力作的功将转化(zhunhu)为弹性体的内能。对于完全弹性体，内能就是物体的应变能设U0为弹性体单位体积的应变能，经推导，得到同时用应力和应变表达的应变能（推导略）共六十六页仅用应力(yngl)表示的应变能函数 将应变(yngbin)能对应变(yngbin)分量求导，能够得到应力. 格林公式 4.2 应变能2共六十六页仅用应变分量表达(biod)的应变能（推导略）可见 U0 恒大于零，即单位(dnwi)体积的应变能总是正的。 4.2 应变能3共六十六页总结弹性力学(l xu)基本理论；讨论已

6、知物理量、基本未知量；以及物理量之间的关系基本方程和边界条件。4.3 弹性力学(l xu)基本方程 弹性力学(l xu)问题的解法共六十六页弹性力学基本(jbn)方程 1. 平衡(pnghng)微分方程2. 几何方程 4.3 基本方程2共六十六页3. 变形(bin xng)协调方程位移作为基本未知量时，变形协调方程(fngchng)自然满足。4.3 基本方程3共六十六页本构方程(fngchng)广义胡克定律 应力表示 应变表示 4.3 基本(jbn)方程4共六十六页边界条件若物体表面(biomin)的面力分量为Fsx、Fsy和Fsz已知则面力边界条件为：若物体表面(biomin)的位移 已知，

7、则位移边界条件为 若物体部分表面面力和部分表面位移已知，则为混合边界条件4.3 基本方程5共六十六页 总结(zngji)：4.3 基本(jbn)方程6已建立的方程反映力学关系的平衡微分方程（3个）反映变形关系的几何方程（6个）反映物理性质的本构方程（6个） 这些方程称作基本方程或泛定方程（15个）共六十六页变形协调方程由几何方程求解位移(wiy)时，需要确定变形是否协调4.3 基本(jbn)方程7共六十六页弹性力学问题的提法已知什么几何性质：形状与尺寸物理性质：E，G 等受载荷情况：体力 Fb面力 Fs物体的约束情况：边界位移 u,v,w求什么应力分量ij ，6个应变分量ij ， 6个位移分量

8、 u,v,w ，3个 一共15个变量怎样求建立变量间的关系(gun x)（一般是微分方程）解方程（求积分）由已知条件确定待定常数4.3 基本(jbn)提法1共六十六页弹性力学的任务(rn wu)就是在给定的边界条件下，就十五个未知量求解十五个基本方程。求解弹性力学问题时，并不需要同时求解十五个基本未知量，可以做必要的简化。为简化求解的难度，仅选取部分未知量作为基本未知量。4.3 基本(jbn)提法2共六十六页在给定的边界条件下，求解(qi ji)偏微分方程组的问题，数学上称为偏微分方程的边值问题。按照不同的边界条件，弹性力学有三类边值问题。第一类边值问题：已知弹性体内的体力和其表面的面力分量为

9、Fsx、Fsy和Fsz，边界条件为面力边界条件。第二类边值问题：已知弹性体内的体力分量以及表面的位移分量，边界条件为位移边界条件。4.3 基本(jbn)提法3共六十六页第三类边值问题：已知弹性体内的体力分量，以及物体(wt)表面的部分位移分量和部分面力分量，边界条件在面力已知的部分，为面力边界条件，位移已知的部分为位移边界条件。称为混合边界条件。以上三类边值问题，代表了一些简化的实际工程问题。若不考虑物体的刚体位移，则三类边值问题的解是唯一的。4.3 基本(jbn)提法4共六十六页边值问题基本方程与边界条件构成了边值问题按边界条件的不同，边值问题分为(fn wi)三类体力面力位移对应边界条件第

10、一类边值问题已知已知面力边界条件第二类边值问题已知已知位移边界条件第三类边值问题已知部分表面已知部分表面已知混合边界条件共六十六页三种直接解法：理 论 上：由15个方程可同时(tngsh)求解15个变量实 际 上：比较困难，也没有必要通常做法：选部分作为基本未知量，列出只含有这些未知量的方程， 先求这些未知量，然后求其它位移解法以位移为基本未知量：位移几何方程应变本构方程应力应力解法以应力为基本未知量：应力本构方程应变几何方程+协调方程位移 混合解法以部分位移和部分应力为基本未知量如何列出只含基本未知量的方程？ “消元”法注：不同于直接解法的是逆解法、半逆解法等共六十六页基本思路导出仅含有3个

11、位移分量u,v,w的方程，即从基本方程中消去应力和应变分量，留3个方程即可求解“消元”方法将应力用应变表示胡克定律将应变用位移表示几何(j h)方程故可将应力用位移表示将用位移表示的应力代入平衡方程得到只含有位移分量的平衡方程位移(wiy)解法共六十六页将几何方程代入应变表示的本构方程得到(d do)由位移分量表达的应力分量 其中4.3 位移(wiy)解法2共六十六页将位移表示的应力分量 代入静力平衡方程得到(d do)以位移表示的平衡方程，称拉梅（Lam）方程： 2为拉普拉斯运算符号共六十六页说明位移解法就是解用位移表示的平衡方程 拉梅方程该方程是静力平衡方程、几何方程、物理方程的综合该方程

12、是关于3个位移变量的微分方程 u(x,y,z), v(x,y,z),w(x,y,z)如果已知的边界条件为位移边界条件问题变为求在内部满足拉梅方程在边界处满足边界条件的位移函数如果已知的边界条件为应力边界条件因前面(qin mian)只给出了用应力表示的边界条件所以下面设法将其用位移表示4.3 位移(wiy)解法4共六十六页得位移函数(hnsh)表达的面力边界条件这一边界条件几乎(jh)不可能实现 4.3 位移解法5共六十六页位移(wiy)解法的基本未知量为3个位移函数基本方程为3个拉梅方程对于位移边界条件，位移解法是十分的合适的。4.3 位移(wiy)解法6共六十六页总之，位移解法以位移为基本

13、未知函数，归结为在给定的边界条件下求解位移表示的平衡微分方程，即拉梅方程。位移分量求解后，可通过(tnggu)几何方程和物理方程求出相应的应变分量和应力分量。位移解法 可以求解 三类 弹性力学边值问题。4.3 位移(wiy)解法7共六十六页应力函数作为基本未知量求解的方法称为应力解法(ji f)。应力解法综述用应力法求解，必须满足平衡微分方程、变形协调方程。 应力解法的基本方程 应力表示的变形协调方程应力(yngl)解法4.3 应力解法1共六十六页代入变形协调方程(fngchng)第一、四式4.3 应力(yngl)解法2可以得到：a)b)c)共六十六页轮换x,y,z还可以得到其余四个类似方程(

14、fngchng)，问题到此可以结束了， 但可以利用平衡方程(fngchng)再将它们简化。4.3 应力(yngl)解法3将平衡方程的一、二式对x,y求一阶偏导，然后相加，再利用平衡方程的第三式，就得到：d)将式d）代入式b)的右边，并注意e)共六十六页轮换x,y,z还可以(ky)得到其余二个类似方程，将式e）与轮换得到的其他二式相加，得到一个重要的公式4.3 应力(yngl)解法4f)将式f）代入式e) ，则有共六十六页这种形式(xngsh)的综合方程（相容方程），称为应力协调方程或拜尔脱拉密-密切尔（Beltrami-Michell）方程 。4.3 应力(yngl)解法5共六十六页对于体力为

15、零或常量的情况，上述方程(fngchng)简化为 在确定应力分量后，则由物理方程确定应变分量，再由几何(j h)方程确定位移分量。由于位移边界条件一般无法改用应力分量及其导数来表示，故位移边值问题和混合问题一般都不能按应力法求得精确解。4.3 应力解法3共六十六页如果应力分量是坐标x,y,z的线性函数，则上式中的各二阶偏导数项为零，即应力分量恒满足相容方程，称此种问题为弹性力学的最简单问题。即在体力不计或体积力为常量时，任何满足平衡微分方程(wi fn fn chn)和应力边界条件的线性函数形式的应力分量表达式，就是问题的精确解答。当然，对于多连通物体，应力解答还应满足位移的单值条件。4.3

16、应力(yngl)解法4共六十六页应力解法的基本未知量为6个应力分量(fn ling)；基本方程为3个平衡微分方程和6个变形协调方程。应力解法适用于面力边界条件。总而言之，在以应力函数作为基本未知量求解时，归结为在给定的边界条件下，求解平衡微分方程和应力表达的变形协调方程所组成的偏微分方程组。 4.3 应力(yngl)解法5共六十六页体力为常量时一些(yxi)物理量的特性弹性力学(l xu)的基本未知量位移、应力和应变等在体力为常量时具有一些特性。掌握这些特性，可以帮助我们分析弹性力学问题。物理量特性4.3 体力为长量时1共六十六页体力(tl)为常量，体积应力和体积应变均满足拉普拉斯（Lapla

17、ce)方程。体积应力函数和体积应变函数为调和函数。位移分量，应变分量和应力分量均满足双调和方程，位移分量，应变分量和应力分量为双调和函数。 4.3 体力(tl)为长量时2共六十六页 解的唯一性原理弹性体受已知体力作用，在物体的边界上， 或者面力已知；或者位移(wiy)已知； 或者一部分面力已知，另一部分位移已知。则弹性体平衡时，体内各点的应力和应变是唯一的；对于后两种情况，位移也是唯一的。4.4 弹性力学(l xu)解的唯一性定理 逆解法和半逆解法共六十六页4.4 唯一性2 解的唯一性原理的证明：设在给定的体力和边界条件下，有两组不同(b tn)的应力、应变和位移分量的解； 它们都应满足前述边

18、值问题的基本方程(fngchng)和边界条件。将两组应力分量的解分别代入平衡微分方程，并对应相减，有a)共六十六页4.4 唯一性3将两组应力(yngl)分量的解分别代入应力协调方程，并相减，有b)共六十六页4.4 唯一性4将两组应力(yngl)分量的解分别代入静力边界条件，并相减，有将两组应力分量的解分别(fnbi)代入位移边界条件，并相减，有c)d)共六十六页4.4 唯一性5由初始无应力的自然状态假设(jish)可知，此时弹性体内的应力和应变均应为零，即两组解的差值应为零。可见，原设的两组解完全相同。于是，证明了解是唯一的。必须指出，解的唯一性定理只有满足小变形条件，适用迭加原理和自然状态假

19、设的前提下，才是正确的。由上述(shngsh)方程组a)、b)、c)、d)可知，这两组解的差值，就相当于弹性体的体力、面力和位移均为零的解。 共六十六页逆解法根据问题的性质，确定基本未知量和相应的基本方程，并且假设一组满足全部基本方程的应力函数或位移函数。然后在确定的坐标系下，考察具有确定的几何尺寸和形状的物体，其表面(biomin)将受什么样的面力作用或者将有什么样的位移。4.4 唯一性6共六十六页半逆解法对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的几何形状，受力特征和变形特点，或已知简单结论，如材料力学解，假设部分应力分量或者部分位移(wiy)分量的函数形式为已知，由基本方程确定其他的未知量，然后

20、根据边界条件确定未知函数中的待定系数。如所作的假设不满足基本方程或不符合所考虑的问题，则需重新设定或修正，直到满足为止。半逆解法系由Saint-Venant提出，故又称为Saint-Venant解法或凑合解法。4.4 唯一性7共六十六页逆解法和半逆解法的应用将在以后的章节中介绍，其求解过程带有“试算”的性质。偏微分方程边值问题求解困难难以确定弹性力学问题的解析(ji x)解显然弹性力学解的唯一性定理是逆解法和半逆解法的理论依据。4.4 唯一性8共六十六页举例： 设：有一半空间体，单位体积重 p=g，在水平边界(binji)上受均布压力 q 作用，求：应力分布及位移分量.解：由已知条件知，体力分

21、量 Fbx=0、Fby=0、Fbz=g， 由于几何形状和载荷对称于z轴，故可假设 u=0,v=0,w=w(z) 采用位移法，由拉梅方程并注意以上情况得 对拉梅方程进行积分，得 式中的常数 A 和 B 要由边界条件确定xzoqh例一 半逆解法(ji f)-位移解法1共六十六页在表面（z=0），有l = m = 0，n = -1。面力Fsx= Fsy=0, Fsz=q代入由位移表示的边界条件，得代入积分结果，得设在距离(jl)表面h处位移等于0，即(w)z=h=0,则有代入后，得位移分布函数的解xzoqh例一 半逆解法(ji f)-位移解法2共六十六页分析最大位移发生(fshng)在边界上，即z=

22、0处将位移解代入由位移表示的应力公式，得例一 半逆解法(ji f)-位移解法3共六十六页由解的唯一性定理可知，如有两组静力等效的力系（主矢向量、主矩均相等）分别作用于同一弹性体的同一部分，则由于它们的分布情况不同而有不同的边界值，从而使弹性体内产生的应力状态也不同。事实上，对于给定的问题，我们往往只知道其边界力的总值，一般很难知道其准确的分布情况。因而，在解弹性力学的基本(jbn)方程时，如何正确选定边界条件，以获得问题的真实解，是一个极为重要的课题。首先对此作出解答的是Saint-Venant所提出的局部性原理或Saint-Venant原理。4. 5 局部影响(yngxing)原理 解的叠加

23、原理共六十六页物体任意一个小部分作用一个平衡力系，则该平衡力系在物体内部所产生的应力分布，仅局限于力系作用的附近区域。在距离(jl)该区域相当远处，这种影响便急剧减小。4.5 局部(jb)影响2共六十六页 局部影响原理可表述为：分别作用于弹性体同一局部表面上的静力等效力系所产生的应力场（或应变场），只在力系直接作用的小区域及其附近才有明显的差别，而在离该区域较远处，这种差别便急剧减小，可忽略不计。也就是说，作用于物体局部表面上的外力系，无论(wln)其分布情况如何，都可用与之静力等效的力系代替。应该指出，这里所谓“局部表面”系指该表面的面积远小于物体的总表面积，且其线性尺寸不超过物体的最小特征

24、(tzhng)尺寸，如板与壳的厚度，杆件横截面的最小尺寸等。现在通过实例来说明Saint-Venant原理的正确性。 4.5 局部影响3共六十六页4.5 局部(jb)影响4共六十六页4.5 局部(jb)影响5共六十六页4.5 局部(jb)影响6共六十六页解的叠加原理小变形 线性 弹性 条件下，作用于物体的若干组载荷产生的总效应（应力(yngl)和变形等），等于每组载荷单独作用效应的总和。4.5 解的叠加共六十六页第四章 小结(xioji)弹性物理关系-本构关系 -广义胡克定律的一般形式 -应变表示(biosh)的本构关系 -拉梅常数 -应力表示的本构关系 -工程弹性常数及与拉梅常数的换算 -应

25、变能及与应力和应变的关系弹性力学问题的建立基本方程（泛定方程）三种边值问题弹性力学求解方法位移解法应力解法解的唯一性定理逆解法和半逆解法圣维南局部影响原理距离决定了影响静力等效的处理方法共六十六页第四章 作业(zuy)4.1 对于(duy)各向同性材料，与下列性质无关的是 。 A. 具有2个弹性常数； B. 材料性质与坐标轴的选择无关； C. 应力主轴与应变主轴重合； D. 弹性常数为3个。4.2 钢制圆柱体直径为d =100mm，外套一个厚度d=5mm的钢制圆筒，如右图所示。圆柱体受轴向压力F = 250kN作用，已知钢的弹性模量E =210GPa，泊松比=0.3，试求圆筒应力。 共六十六页4.3 选择题 a. 弹性力学解的唯一性定理在 条件成立。 A. 具有相同体力和面力边界条件； B. 具有相同位移约束； C. 相同材料； D. 上述3条同时成立。b. 对于弹性力学的基本解法，不要求条件 。 A. 基本未知量必须能够表达其它未知量； B. 必须有基本未知量表达的基本方程； C.