线性代数课件：第二章 矩阵理论基础

1、-1-第二章矩阵理论基础2.4 矩阵的秩与矩阵的等价标准形2.3 可逆矩阵2.2 n阶(方阵的)行列式2.1 矩阵的运算2.5 分块矩阵2.6 线性方程组解的存在性定理Cramer法则-2-n阶(方阵的)行列式在 D 中划掉第 i 行和第 j 列元素而剩下的元素按原来相对位置不变所构成的低一阶的行列式，称为 (i,j) 元素的余子式，记为Mij ,称Aij = (-1)i+j Mij为 (i,j) 元素的代数余子式。定义用式子D表示方阵A的元素按某种规则运算得到的一个数，称为A的行列式。-3-例如：-4-n 阶行列式的值定义如下(递归定义):当 n=1 时，当时，假设对阶行列式已有定义，则定义

2、上式又称按第一行展开。-5-计算下三角行列式按第1行展开按第1行展开例1-6-由定义，可得二阶行列式与三阶行列式的计算都是借助低一阶的行列式(代数余子式)按第一列展开来定义的。对于四阶及四阶以上行列式的展开呢？-7-为什么要研究行列式的性质?推论1如果行列式有一行（列）为零，则行列式等于零。例如性质1行列式按任意一行展开，其值相等。-8-例如性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号。再如，证明-9-推论2 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。例如-10-性质3行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。例如-11-推论3行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此

3、行列式为零。例如推论4 是一个数。-12-性质4 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则可把这两个数拆开，其它元素不变写成两个行列式的和。例如-13-性质5 把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去,行列式的值不变。例1三角形，然后计算行列式的值。只用这种变换，把行列式化为-14-只用 变换或只用 变换一定能把行列式化为上(下)三角形.行列式的值不变.-15-性质6 行列式与它的转置行列式相等。说明 行列式的性质凡是对行成立的，对列也成立， 反之亦然。-16-计算上三角行列式注意！例2-17-则性质7-18-证明-19-20-例2性质8 设A，B都是n阶

4、方阵，则-21-设A是奇数阶方阵，且证明证例3-22-行列式的值等于按任一列(行)展开，错列(错行)展开必为零。 行列式展开定理性质9-23-证明由定理1，行列式等于某一行的元素分别与它们代数余子式的乘积之和。作辅助行列式第i行(展开)展开定理给出了行列式降阶计算的思想。-24-例4计算按定义按第3行展开-25-再验证一下错列或错行展开是否为零?-26-求例5-27-矩阵的转置矩阵由 |A| 的各元素的代数余子式 所构成称为 A 的伴随矩阵。推论5伴随矩阵研究可逆矩阵由行列式展开定理-28-计算 n 阶行列式解将第 列都加到第一列上,得 例6-29-特征1：对于所有行（列）元素相加后相等的行列

5、式，可把第2行至n行加到第一行（列），提取公因子后在简化计算。-30-爪形行列式 例7特征2：第一行，第一列及对角线元素除外，其余元素全为零的行列式称为爪型行列式。-31-范德蒙德(Vandermonde)行列式 例8从最后一行开始,每行减去上一行的 倍.-32-按最后一列展开再提取每列的公因子-33-34-35-练习解：所以根为x =1,2,3.-36- 例9-37-38-计算n 阶行列式解 将 按第一行展开得 例10-39-得递推公式特征3：所求行列式某一行（列）至多有两个非零元素。练习 书P39例11-40-计算n 阶行列式解： 例11-41-42-特征4：除对角线元素外，上三角各元素相等，下三角各元素相等。常用拆分法或数