系统可靠性课件：第二章 常用的寿命分布

1、第二章 常用的寿命分布 第一节 统计方法在可靠性中应用的前提第二节 可靠性特征量 第三节 常用的寿命分布习题7/18/20221中国矿业大学工业工程系传统的假设变异的性质(平均、扩展等)不随时间改变以特定的方式分布，可用一个数学函数。即大家都知道的统计正态分布来描述；7/18/20222中国矿业大学工业工程系工程中变异的特点零部件供应商可能在某个过程中做了小的改动。而导致了可靠性方面的大变化(更好或更坏）可能是有意的或意外的，可能是已知的或未知的。零部件可能是根据诸如尺寸或其他可测量参数的准则选样的，这并不符合大多数统计方法所基于的统计正态分布假定某个过程或参数可能随时间连续地或周期性地变化，

2、故在其一时间获取的统汁数字与其他时间获取的统汁数字可能并不相关7/18/20223中国矿业大学工业工程系某些变异就性质而论往往是确定性的：如弹簧的变形是力的函数，对这种情况运用统计技术不一定总是很适合的；工程中的变异可能会难于进行数学处理。例如：自动凋温器失效会导致某个过程以不同于通过早期测量确定的方式变化，或者操作人员或测试人员也有可能出现失误变异可能是大变异，而不仪仅是连续的；例如电平这样的参数可能在一个范围内变化，也可能变到零7/18/20224中国矿业大学工业工程系结论 工程中的变异很大程度上是由人(如设计者、制造者、操作者及维修者)所引起的这一事实。必须总要把人的因素考虑进去，必须重

3、视能动性、培训、管理 牢记：在任何应用统计方法处理科学和工程问题的过程中，所有的因果关系最终都在科学理论、工程设计、过程或人的行为等方面有所解释。我们必须去寻求变异的原因，因为只有了解原因，才算真正地受控。7/18/20225中国矿业大学工业工程系变异的类型确定性的或因果性的功能性的。它包括诸如操作程序改变、人为错误、校准误差等的影响之类的关系原理上这些关系是可以被考虑到的但是经常并非如此而因果关系并不总是易于识别或量化的随机性的。是各种过程和使用条件的固有变异性的影响。它们可被认为是当所有确定性的和功能性的原因已经被排除后，所遗留的无法解释的变异。（难于解释的变异）7/18/20226中国矿

4、业大学工业工程系变异是正态分布的吗1.截尾数据:零件尺寸、人体尺寸7/18/20227中国矿业大学工业工程系2.选择的结果:产品的分类销售7/18/20228中国矿业大学工业工程系3.倾斜的数据7/18/20229中国矿业大学工业工程系4.双峰数据:人为的调整7/18/202210中国矿业大学工业工程系正态分布?相同的平均值和标准差7/18/202211中国矿业大学工业工程系结论1.大部分有关统计过程控制的教科书和教学都强调把工态分布的应用作为制作图表和决策的基础.2.对处于临界应力使用条件下的机械零件(如飞机和民用工程结构零件)有着典型的设计规定，都要求在最大预计应力和预计强度的较低的3值之

5、间一定要有一个安全系数.(极值分布)3.达到高质量的所谓的“6”方法7/18/202212中国矿业大学工业工程系第二节 可靠性特征量 一、系统失效分布函数 系统（复杂产品）:是完成特定功能的综合体，是若干协调工作部件的有机组合。工作部件:是具有可靠性的数量指标、具有被独立地加以考虑的系统的组合部分 系统失效 :系统丧失规定的功能 7/18/202213中国矿业大学工业工程系环境造成系统失效可分为两类：永久性损坏，如机械损坏 功能故障。所谓功能故障指系统的各种功能出现不利的变化，或受环境条件的影响功能不能正常发挥，一旦外界条件变好，系统功能仍能恢复。 7/18/202214中国矿业大学工业工程系

6、据失效的性质，系统失效又可以分为两类:（1）突然失效。 在大多数情况下，元器件的机械或电器的失效是突然发生的，称为突然失效。突然失效通常使系统完全丧失规定的功能。 （2）退化失效。 由于老化而使得元器件、材料的参数逐渐变化而引起的失效，称为退化失效。退化失效多半仅仅使系统的输出特性变坏，而系统可以继续保持工作能力。7/18/202215中国矿业大学工业工程系失效判据（或失效标准）: 为了判断失效，必须制定判断失效的技术指标. 为了研究系统失效的规律，以下面的实验为例进行分析。系统的工作部件失效并不能引起系统的不可靠 7/18/202216中国矿业大学工业工程系 例2-1 测得某型号的N=110

7、（个）集成电路块的失效时间（从开始工作到失效之间的时间）如表2-1所示。此表是对所测得的数据进行了初步整理，按从小到大的顺序排列后，再进行分组处理，比如分为8组，计算每组中的失效数据的个数（称为频率），记第 组的频率为 ，再除以总数N即得该组的频率 ，列表如表2-2所示。7/18/202217中国矿业大学工业工程系表2-1 110个集成块的失效时间数据 16020026030035039045046048050051053054056058060060061063064065065067069070071073073075077077078079080081083084084085086087

8、0880900920920930940950970980990100010001010103010401050107010701080110011001130114011501180118011801190120012001210122012301240124012601260127012901290130013301380140014301450149015001500153015501570159016401700173017501790180018201870189020502070218022502380275031007/18/202218中国矿业大学工业工程系表2-2 失效数据的频

9、数分布表 组中值频数频率累计频率组 号范 围1540520560.050.052405805605280.250.30380512051005370.340.0644120516051405230.210.85516052005180590.080.93620052405220550.050.98724052805260510.010.99828053205300510.011.00合计1101.007/18/202219中国矿业大学工业工程系 以失效时间 为横坐标，以频率 除以组 距 所得的商 （2-1） 为纵坐标，画出失效频率直方图如图2-1所示。 7/18/202220中国矿业大学工业工

10、程系图2-1 频率直方图7/18/202221中国矿业大学工业工程系 此直方图的面积值正是失效的频率值，全部矩形面积的总和为1，由此可以看出为什么坐标不取频率，而取为频率除以组距的商。从失效频率直方图中，可以看到=110个集成模块的失效时间分布情况：分布范围是从5h到3205h：分布集中在1005h左右为最多；每个小的区间所占整个分布的比例不等。 若将图2-1中的组距分得更小些、组数分得更多一些，比如将组距=400h缩小一倍，此时的频率直方图如图2-2所示。7/18/202222中国矿业大学工业工程系图2-2 频率直方图7/18/202223中国矿业大学工业工程系其图形与图2-1是一致的，只是

11、由于组距缩小了，分得更细了，因此更接近真实情况。可以设想，如果试验个数越来越多，分组越来越细，那么相邻矩形的高度差别就会越来越小，最后折线就趋于一条光滑的曲线，这条曲线就表示失效时间在理论上的分布曲线，称为失效密度曲线。它的数学表达式为： (2-2) 式中 失效密度函数。-概率论中的概率密度函数7/18/202224中国矿业大学工业工程系对于失效密度曲线而言，失效密度曲线与横坐标轴之间的面积等于1。用积分表示为： (2-3) 此式表明，失效时间随机变量在0,范围内取值的概率等于1。7/18/202225中国矿业大学工业工程系若将上例中第1组到第 组所有失效频率累加，称为第 组的累积频率，记为

12、。即 （2-4） 由此可得 。以失效时间 为横坐标，以累计频率 为纵坐标画出的直方图如图2-3，称为失效累计频率图。7/18/202226中国矿业大学工业工程系当数据个数很多，分组又很细，则图形的顶部折线将趋于一条光滑的曲线，这条曲线就表示时间 在理论上的累积分布曲线。其表达式为： (2-5) 或 (2-6)式中 失效累积分布函数或失效概率分布函数，简称失效分布函数。7/18/202227中国矿业大学工业工程系失效分布函数与失效密度函数之间有下述关系： (2-7) (2-8) 7/18/202228中国矿业大学工业工程系图2-3 累积失效分布函数曲线 7/18/202229中国矿业大学工业工程

13、系失效分布函数具有如下性质： 1）为非降函数； 2） ； 3） 。7/18/202230中国矿业大学工业工程系二、系统可靠性指标 常将产品分为可修复与不可修复两类。 对于不可修复的产品常用可靠度、失效率、平均寿命等可靠性指标进行描述； 对于可修复产品常用维修度、可用度、平均修复时间等指标进行描述。 7/18/202231中国矿业大学工业工程系1可靠度可靠度是产品在规定条件下和规定时间内，完成规定功能的概率，一般记为 。它是时间的函数，故也记为 ,称为可靠度函数。由于系统失效与不失效是两个对立事件，因此可借助于系统的失效分布函数来表示系统的可靠度函数。即 7/18/202232中国矿业大学工业工

14、程系可靠度函数具有下述性质： 1）是非增函数； 2） ， ； 3） 。7/18/202233中国矿业大学工业工程系如果用随机变量 表示产品从开始工作到发生失效或故障的时间，其概率密度为 图2-2所示，若用 表示某一指定时刻，则该产品在该时刻的可靠度 可靠性函数 与失效分布函数 及失效密度函数 之间的关系，如图2-4及图2-5所示。7/18/202234中国矿业大学工业工程系图2-4 与的关系7/18/202235中国矿业大学工业工程系图2-5 与的关系7/18/202236中国矿业大学工业工程系2失效率 （1）失效率的定义 衡量系统可靠性的另一个重要的指标是失效率，其定义为：系统工作到时刻 尚

15、未失效的系统，在时刻 后的单位时间内发生失效的概率，称为系统在时刻 的失效率（或故障率），也称为失效函数，记为 。即 （2-9）7/18/202237中国矿业大学工业工程系其含义为：系统失效率近似等于系统在时刻 以后的单位时间 , 内的失效率 与尚在工作的系统数（系统残存数） 之比值。即 （2-10）由失效率的定义可见，失效率 愈大，则系统在时间区间 , 内失效的可能性就愈大，可靠性就愈小。因此，失效率 是表示可靠性大小的局部指标。7/18/202238中国矿业大学工业工程系 失效率 常用的单位是：“ ”、“ ”。对于高可靠性产品常用“ ”作单位，称为一个“菲特”，简记为Fit(Failure

16、 unit)。即1菲特= ，其意义是：1000个产品工作一百万小时，只有1个可能发生失效。7/18/202239中国矿业大学工业工程系 （2）失效率 与可靠度 及失效密度函数之间的关系 由 两边对t微分，得 即 代入式（2-9），得 （2-11）7/18/202240中国矿业大学工业工程系将等式两端对t积分，得 由于初始条件R(0)=1，即当t=0时N个产品全是好的，从而得 （2-12）7/18/202241中国矿业大学工业工程系 此式表明了失效率 与可靠度 之间的关系。 特别是当 = 时，即失效率 为常数时，有 即 为常数时，可靠性 按时间 的指数分布。 7/18/202242中国矿业大学工

17、业工程系又由： 可得 (2-13)此式表明了失效率 、失效密度 及可靠度函数 之间的关系，即系统在时刻 的失效率 是到时刻 尚未发生失效的可靠度R(t)的条件下，在下一个单位时间内可能发生失效的条件概率，从而失效率 可用失效密度 、可靠密度R(t)来表达。7/18/202243中国矿业大学工业工程系3平均寿命 在系统的寿命特征中，最常用的是“平均寿命”。平均寿命，顾名思义就是寿命的平均数，即随机变量寿命的期望值。 对于不可修复系统，系统的寿命是指系统发生失效前的工作（或贮存）时间或工作次数。 对于可修复系统，系统的寿命是指两次相邻失效（故障）之间的工作时间 7/18/202244中国矿业大学工

18、业工程系 例2-2 设测得18台某种电子设备从工作开始到初次失效的时间数据（单位：h）如下： 16, 29, 50, 68, 100, 130, 140, 190, 210, 270, 280, 340,410, 450, 520, 620, 800, 1100 则得这18台电子设备的平均寿命（平均初次失效间隔MTBF）为 式中 为单个值。7/18/202245中国矿业大学工业工程系若子样本较大，即N较大，这时用分组处理，得平均寿命为： （2-14） 式中 数据的个数； 分组数； 第 组的组中值； 第 组的频数； = / 第 组的频率。7/18/202246中国矿业大学工业工程系如果数据愈多，

19、分组愈多，即当 时，平均寿命为 (2-15) 式中 系统失效密度函数。 7/18/202247中国矿业大学工业工程系由 得 故 由于 ，所以 (2-16) 7/18/202248中国矿业大学工业工程系 特别是当失效率 为常数时， = ,平均寿命通常记为 。则即 (2-17) 含义为，在失效率为常数的情况下，平均寿命等于失效率的倒数。7/18/202249中国矿业大学工业工程系 此时，产品按平均寿命工作的可靠性为 = 时， 。 即对于 的情况，产品能工作到平均寿命的仅占37%。 7/18/202250中国矿业大学工业工程系第三节 常用的寿命分布 一、指数分布 在可靠性理论中，指数分布是最基本、最

20、常用的分布，适合于失效率为常数的情况。它不但在电子元器件偶然失效期普遍使用，而且在复杂系统和整机方面以及机械技术的可靠性领域也得到使用。 指数分布常用于描述由于偶然因素冲击，引起系统失效的失效规律 7/18/202251中国矿业大学工业工程系可以证明在 内发生的冲击次数 服从以 为参数的泊松分布，即为泊松过程。其概率分布为 如果在 内无冲击，即冲击次数 =0时的概率，也就是产品的可靠度为从而可得失效分布为 （2-18） 7/18/202252中国矿业大学工业工程系失效密度为 （2-19）若产品寿命 具有失效分布式（2-18），或者具有失效密度式（2-19），则称产品寿命 服从参数为 的指数分布

21、。7/18/202253中国矿业大学工业工程系根据可靠性指标间的相互关系，可求出指数分布场合下的可靠性特征量如下：可靠度： （2-20）失效率： (2-21)平均寿命:MTBT或MTTF= (2-22)寿命方差： （2-23）7/18/202254中国矿业大学工业工程系 综上可知，指数分布的重要特征有： 失效率 为常数，反之，当失效率为常数时，其寿命服从指数分布；平均寿命与失效率互为倒数；平均寿命在数值上等于特征寿命。 此外，指数分布还有一个很重要的性质就是所谓“无记忆性”，即若寿命 服从指数分布7/18/202255中国矿业大学工业工程系则对任意时间 ，有 （2-24）由条件概率公式很容易得

22、到证明。因为7/18/202256中国矿业大学工业工程系 这意味着，若工作到 时刻仍然正常的产品，就像产品由时刻 开始工作一样， 以后，其寿命仍为指数分布。 由于指数分布的失效率不随时间变化，因此对由指数分布的部件组成的系统，不能采用提前替换经过工作考验的部件来提高系统的可靠性。 7/18/202257中国矿业大学工业工程系例2-3 某台仪器，在某种应力条件下，其失效时间服从指数分布。有资料表明，此种仪器在1000h工作时间内将有20%失效，试求其平均寿命。 解 由 得 则平均寿命 7/18/202258中国矿业大学工业工程系二、正态分布 正态分布也称高斯（Gauss）分布，是电子产品可靠性计

23、算中常用的系统寿命分布类型。其失效率函数可以描述耗损失效区的失效率随时间的变化情况。若随机变量 的概率密度函数为 （2-25） 则称 服从正态分布。7/18/202259中国矿业大学工业工程系根据概率密度函数可求得累积分布概率 和可靠度函数 为 （2-26） （2-27）7/18/202260中国矿业大学工业工程系通常正态分布的随机变量X记为 。当 时， 称为标准正态分布，记作 。当样品数目 时，二项分布可近似为正态分布。 和 是正态分布的两个特征参数，它们确定下来了，则整个分布的特征就定下来了。 改变， 一定时，分布曲线沿 轴平移而其形状不改变，如图2-6所示；如果 不变而仅 改变，分布曲线

24、的位置不变，但分散程度有所改变，反映在曲线的形状则是“肥”、“廋”的不同，如图2-7所示。XX7/18/202261中国矿业大学工业工程系图2-6 改变，一定时正态分布曲线7/18/202262中国矿业大学工业工程系图2-7 不变，改变时正态分布曲线7/18/202263中国矿业大学工业工程系正态分布函数有一个主要的特点，即对称性，且在 = 处， 最大。 （2-28）一般，按照式（2-26），计算很复杂和困难，我们将其表达式进行变换，即 令 ， ，从而有 （2-29） 式中， 和 分别为标准正态分布密度函数和累积概率分布函数。7/18/202264中国矿业大学工业工程系因此，当随机变量 呈正态

25、分布时且均值 和标准差 已知，可以将它的分布函数转换为标准正态分布，且特性不变，即 (2-30)假设 服从均值为 ，标准差为 的正态分布，那么在区间 的累积概率值可由下式计算。7/18/202265中国矿业大学工业工程系对上式进行变量代换令 ， ,则有正态分布曲线与 轴所围面积等于1。正态分布的失效率函数 和可靠寿命 为 （2-31）其中， （2-32）7/18/202266中国矿业大学工业工程系例2-4 电源电压在不超过200V，200240V和超过240V这三种情况下，部件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2。设电压 服从正态分布， 。求：电压分别在不超过200V，200240V，超

26、过240V这三种情况下的概率。 解 7/18/202267中国矿业大学工业工程系三、对数正态分布 正态分布虽然应用较广，但由于分布规律的对称性，往往使得正态分布在实际应用中受到一定的限制，例如定应力下材料的疲劳寿命及维修时间都不服从正态分布，即分布曲线不对称。而对数正态分布是描述此类寿命与耐久性的一种好的分布，它解决了对称正态分布在描述式样在未经试验即在t=0时出现失效的不合理性，能使之更符合于实际。7/18/202268中国矿业大学工业工程系 假设随即变量 服从正态分布，则 随机变量服从对数正态分布 ，其概率分布密度函数为 （2-33）失效概率函数 （2-34）7/18/202269中国矿业

27、大学工业工程系或写成标准正态分布形式 （2-35）其中 7/18/202270中国矿业大学工业工程系可靠度 （2-36）失效率函数 （2-37）7/18/202271中国矿业大学工业工程系对数正态分布的数学期望（均值）7/18/202272中国矿业大学工业工程系对数正态分布的方差 （2-38）7/18/202273中国矿业大学工业工程系图2-8 对数正态分布概率密度函数曲线 7/18/202274中国矿业大学工业工程系图2-9 对数正态分布失效率函数曲线 7/18/202275中国矿业大学工业工程系四、泊松（Poisson）分布 二项分布在抽样数很大而较小时，可趋近于泊松分布。 泊松分布是概率

28、论中的一种重要分布。这是只要 为一有限数，再令 充分大，即可得 且称概率分布 （2-39） 为泊松分布，这是一种离散性分布 7/18/202276中国矿业大学工业工程系其数学期望值、方差、可靠度分别为: 在可靠性分析中，若要考虑依时间的演变过程，此时式（2-39）就成为 （2-40） 而且同样可得 式（2-39）中的 称为泊松随机变量，而式（2-40）中的 称为泊松随机过程。7/18/202277中国矿业大学工业工程系例2-5 为了保证设备正常工作，需要配备适量的维修工人(工人配备多了就浪费，配备少了又要影响生产)，现有同类型设备300台，各台工作是相互独立的发生故障的概率都是0.01，在通常情况下，一台设备的故障可由一个人来处理。问至少要配备多少工人，才能保证设备发生故障而不能及时维修的概率小于0.01?7/18/202278中国矿业大学工业工程系解 令 表示同一时刻发生故障的设备台数，则 。设需要配备几个维修工人才能满足题意要求所要解决的问题是确