专题讲座5-一维问题

1、专题讲座5-一维问题1.自由粒子问题自由粒子（处处V=0 ）。在经典理论中它意味着等速运动，但是在 量子力学中这个问题相当微妙。定态薛定谔方程为：力2 d叩=刖, 2m dx2或者d 叩2mE=-k叩，苴中 k三dx 2h用指数形式来表示其一般解：v （x） = Aeix + Be x.对自由粒子没有边界条件去限制k的取值（E的取值）；自由粒子可以具有任何（正的）能量值。加上标准的时间因子，exp（-iEt/h），hk、 t 2 my+ Be-ik x+I我们知道，任何函数以特定的组合（x土讨）依赖变量x和t （对某个 常数Q都代表一个具有固定波形的在孩方向传播的波。波形上一个 固定点（例如，

2、最高点或最低点）对应着宗变量的一个固定值，使得 变量x和t满足_x vt =常数，或者x = + v +常数 既然波形上的每一点都以同样的速度运动，波形的形状在转播的过程 中是不改变的。这样2.93式右边的第一项代表一个向右转播的波， 而第二项代表一个向左的波（能量相同）。既然这两个波的区别仅在于 k前面的正负号，我们也可以写作hk 2中 k （x, t） = Aei（ k 一 2 mt）, 并让k可以取负值以包括向左传播的波：J2mEJk0 n向右传播，k =,hk 0 n向左传播.显然，自由粒子的“定态”是传播着的波；它们的波长是人=2兀/|k|， 按照德布罗意公式（1.39式）它们具有动

3、量p = hk.这些波的速度（t前面的系数除以x前面的系数）是VE = 2vm 量子另一方面，一个具有能量E = （1/2）mv2（纯动能，既然势能V = 0）的经 典自由粒子的速度是V经典2 j8 d% = |A|2 (8).表面看来量子力学波的传播速度只有它所代表的粒子经典速度的一 半！我们马上会回到这个佯谬一这里还有一个更严重的问题需要我们 首先面对：这个波函数是不可归一化的。因为j8 W* 中 d% = A8 k k8对自由粒子来讲，分离变量解并不代表物理上可实现的态。一个自由 粒子不能存在于一个定态；或者，换句话说，不存在一个自由粒子具 有确定能量这样的事情。但是这个并不意味着分离变

4、量解对我们没有用途，因为它们的数 学地位是完全不依赖T它们的物理解释的。含时薛定鄂方程的一般解 仍旧是分离变量解的线性迭加（此时对连续变量k的一个积分取代了 对分立指标n的求和）：e (k )ei (奴-咛t) dk.81中(%, t) = j 8.、顷（引入因子1/J2T是为了方便）现在这个波函数是可以归一化的（对适 当的e（k）。但是必须是对k的一个范围，因此能量和速度也有一个范 围。我们称这样的波为波包。在一般的量子力学问题中，是给出中3,0），求中（%,t）。对自由粒 子的解，仅有的问题是如何确定匹配初始波函数的e（k）:中（%,0） = _ j e（k）eikxdk.8由傅立叶变换“

5、，、1/ 八、，e (k) =j中(%,0) e - ik%d%.例题1 一个自由粒子初始时刻是局域在区间a x a放：然后在r=0释 A,。， 式中A和a是正的实数。求W(x,t)。 解：首先我们需要归一化中(x,0):中(x,0)=若 一 a x a,其余地方,1 = J一8 其次计算8 (k):， 2 -|W (x,0) |2 dx = |Adx = 2a A2 nA = _L2a8 (k)=fa eikxdx = J2a - aeika 一 e-ika 一1eikx2Jk aikaa1sin(ka)1k和 最后把8(k)代回2.100式中：中(x, t)=二广 sin(竺ei(k-去d

6、k.兀 W，2a 8 k探讨极限情况很有启发。如果a非常小，初始波函数为很窄的针 状。在这种情况下，有sin(ka) - ka，因此有8 (k) ra ；丸这是不确定原理的一个例子：如果坐标的弥散很小，动量的弥散(因 此k的)必须很大。在另一种极限下(a很大)，坐标的弥散很大，而a sin(ka)k ka现在，sin z/z的最大值在z = 0，并当z = 兀时为零(这对应k = 兀/a)。 所以对较大的a，8(k)是以k = 0为中心的一个窄峰。此种情况下，有 一个较确定的动量，但是坐标不再很好确定。现在我们回到前面提到的佯谬：表示一个粒子的分离变量解中（以）以一个”错误”的速度传播。严格来

7、讲，这样的问题是不存在的，因为我们发现中不代表一个物理上可实现的态。不过，发现自由粒一 一 一k子的波函数1k 2、中（x, t）=j 8。（ k）e s 氟）dk.、环-8包含有速度的什么信息是令人感兴趣的。基本的思想是：一个波包是 正弦函数的迭加，其振幅由）调制；在一个“包络线，内含有“波纹，。对应粒子速度的不是一个个别波 纹的速度（所谓的相速度），而是包络线的速度（群速度）一这个速 度，取决T波包的本质，可以比组成波包的波纹的速度大或小。对一 个弦波，群速度等于相速度。对水波，当你向水塘扔进一块石头，也 许曾注意到，群速度是相速度的一半（如果你注意一个个别波纹，你 会发现它在后部生成，向

8、前运动越过群体，在前面衰减，而群体则以 个别波纹的一半速度传播）。我们现在要证明的是在量子力学中自由粒子波函数的群速度是相速 度的两倍一正好代表经典粒子的速度。现在的问题是确定一般形式波包中(, t) = _ j 8 e (k)ei(k%-ot)dk J2 兀 8的群速度。(对我们的情况o= ( k2/2m)，但是现在讲的对所有种类的 波包都适用，无论它的色散关系一o对k的依赖关系一如何。)让我们 假定e(k)是在某个k处的一个狭窄分布。(一个宽的分布也是允许的， 但是这样的波包波形变化很快一因为不同的组分有不同的速度一所 以具有一个很好定义的速度的“群”的整体概念就会失去意义。)既 然除了

9、k附近外积分可以被忽略，我们可以在这一点对o (k)做泰勒展 开，并仅保留到一次项：o(k) = o +o(k 一k ),式中o 是o对k的导数在k的值。做变量变换从k到s或-k0 (使积分区间的中心在k0)，我们有 TOC o 1-5 h z 、1，中(,t) =j e (k + s )ei(k0+s) %-(o0 +o0s)t) ds.页80在t=0时， HYPERLINK l bookmark56 o Current Document 、1，中(,0)=8。(k + s)ei (k0+s) %ds,寸我80在以后时刻中 3,t) = _1_ ei(%t+k001)j 8 e (k + s

10、)ei(k0 + s)(%t)ds.、环80除了 变换到(% o t)外，这个积分同中(%,0)的积分是一样的。所以 0中(, t)兰 ei(-o0+k0o)t 中( 一 o t ,0).除了前面的一个相因子(它在任何方面都不影响|T |2)外，这个波包显I然以速度o 0运动：dt(在k=k0取值)。这和普通的相速度相 k是不一样的。在我们情况中，o=2/2m)，所以o /k =/2m)，而 心/dk=(方k/m)，正好是相速度的2倍。这证实了与经典粒子速度相匹 配的是波包的群速度而不是定态的相速度：V经典=群=%2 5 函数势阱狄拉克(Dirak)5函数是原点处一个无限高，无限窄的峰尖，其面

11、积是1：e0,如果x丰0e5(x)= ,且 j 5(x)dx = 1.手,如果x = 0J-家称它为推广函数，或广义函数)。不过，它在理论物理中非常有用。(例如，在电动力学中一个点电荷的电荷密度就是一个5函数。)注 意到5 (x a)是在点a面积为1的一个尖峰。如果你把5 (x a)乘以一个 普通函数f (x)，这与乘以f (a)是一样的，f (x )5 (x 一 a) = f (a )5 (x 一 a),因为除了点。外乘积处处为零。特别有，5 (x - a) dx = f (a).j f (x)5 (x - a)dx = f(a)j一这是5函数最重要的性质：在积分号下它“挑选出” f (x)

12、在a点的值。(当然，积分不必从3到3；重要的是积分要包含点Q，所以对任何 0，从Q f积到Q +就行。)让我们考虑下列形式的势V3)=商 3),其中a为某个正的常数。固然，这是一个模拟势(同无限深方势阱一 样)，但是它十分简单便于处理，可以以最少的数学来阐明基本理论。8函数势阱的薛定鄂方程为力2 d叩_a8 (x)w = By;2m dx2由它可以得到束缚态(E 0)。首先来看束缚态。在x 0区域，V(x) = 0，所以d 叩2mEL = y =K 叩,dx 2力 2式中,2mEK 三 .力(由假设E为负值，所以k是正的实数。)方程的一般解是y (x) = AeK x + BeK x,但是当x

13、 r8时第一项趋于无限大，所以我们必须令A = 0 :y (x) = BeK x,(x 0区域，V(x)同样为零，一般解的形式时Fe-Kx + GeKx ；不过此时 当xr+8时第二项趋于无限大，所以y (x) = FeK x ,(x 0).现在仅需利用在x = 0的适当边界条件把两个函数接合在一起。用 y应满足的标准边界条件：y总是连续的；dy /dx 除了势是无穷大点外是连续的在现在的情况下，第一个边界条件告诉我们F = B，所以.=严七3叫I Be -kx, 3 0)；第二个边界条件不告诉我们任何事情；这是由于V在结合处为无 穷大的例外情况，从图中可以清楚看出函数在X = 0处有一个弯折

14、。另 外，除了 x = 0点外，8函数对我们的问题没有任何影响。显然w的导 数在x = 0的不连续是由8函数决定的。现在来看8函数的作用，作为 一个副产物我们将明白为什么通常情况下dw /dx是连续的。基本思想是对薛定鄂方程从-e 到e积分，然后取e - 0的极限：-如卜 d2Wdx+ 2m -s dx2卜 V (x)w (x)dx =Efs w (x)dx.-s第一个积分是dw /dx，并在两个端点处取值；最后一个积分在s 0 极限下为零，因为它是一个高度有限宽度为零的长条的面积。这样awdx2m一=lirfis V x(w)x dx ) 力2 s 0 -s-s俘+sV dx J一般情况下，

15、右边的极限也是零，这就是为什么在通常情况下dw /dx 是连续的。但是，当V (x)在边界上是无穷大时，这个结论不再成立。 具体有，如果V(x) = -a8 (x)，2.113式给出2 maW (0).力2对现在的情况dW /dx = -Bke-kx, (x 0),所以 dW /dxdW /dx = + Bke+kx, (x 0的散射态如何？当x 0薛定鄂方程为 HYPERLINK l bookmark173 o Current Document d 2W2mE,=-W =- k 叩,dx 2 方 2其中k三E力是实的和正的。一般解是w (x) = Aeikx + Be-ikx,这一次两项都不

16、能丢掉，因为它们都不趋于无穷大。类似的，对x 0), 所以 dw /dx = ik(F - G), dw /dx = ik(Aeikx - Be-m), 对(x V则T _ 1,R _ 0 粒子越过 势垒；如果则7 = 0,夫=1它爬上山坡动能耗尽，然后按原路返 回。而量子散射观象却非常丰富：即使是&(xp - px).2/zmCDp2 + (mCDx)2-x,/?. TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark225 o Current Document 2/zmco2/z利用上面式子，方程2.49可写为 HYPERLINK l bookmark32 o Curren

17、t Document 11a a =H + _,- +加2(1)H =加 a a .I - + 2 J注意Q和次序非常重要，如果在左边，则有+口 1a a =H - _.+ - 加 2特别有所以哈密顿量还可以等价的写成：口1）H 加 a a + 一2）利用a，谐振子的薛定谔方程可写为如下形式:.1)-枷a a_ 土 2户刖.现在，下面是关键步骤：如果寸能够满足能量为E的薛定谔方程 （即HW理），则a满足能量为（E +枷）的薛定谔方程： H （a W） （E + 力）（a W）。证明:+H (a W)力 a a(a W)力 a a a +1 _a2 +r1 a、+ W a+k +2 J+r一 1

18、 网aa +1+_ W _ k+ -2 j _=h3a+=a （H + 力）W a （E + 力）W （E + 力）（a W）.同样可证，a w是能量为（E-枷）的解：H (a W)尬 a a 一(a W)力3aaa1 一 2 JWr. 1 、 一、a 力 3aa -1 - _W=a (H -力 3 )W a (E -力 3 )W- k - +2 J -(E -力3)(a W).所以这是一种生成新解的极好方法，如果我们得到了一个解，通过升 降能量就可以得到其它的解。我们把a叫作阶梯算符，因为它们能使 我们升降能级；a+是升阶算符，a是降阶算符.如果反复应用降阶算符，那又会怎样呢？最终，我们会到

19、达一个 低于零的能量状态，而（根据一般定理EV.）这根本是不存在！在某个地方这个机制必定是失效的。为什么会出现这种情况？我们知道 aW是薛定谔方程的一个新解，但这并不能保证它是归一化的一它可 能是零或者它的平方积分可能是无限大的。事实上它是前者：有一个 最低的阶梯（称为w ）使得a 0*我们可以利用这个确定J2力m3 I dxw (x):0d力一+ m3x W = 0,dwm3w=r x o-这个微分方程很容易解：j也竺xdx = mw 竺x2 +常数， dx 力02力所以，、，m3 “2w （x） = Ae 2h .我们现在对它进行归一化：1 = A2 j e - m3 x2/ h dx =

20、8所以A2 = m3/丸h，因此,、(m3)1/4wo(x)= 1向 Jem3 22 h x *我们把它代入薛定谔方程以确定相应的能量（以方程2.57的形式），h3（a a + 1/2）w = Ew，利用 a w = 0，有：+ -00 0- 0 1E = 2 h现在我们安全地站在梯子的最底部（量子谐振子的基态），从而我们 可以反复应用升阶算符生成激发态，每一步增加能量h 3 :W (x) = A (a ) W ,r 1、 气=n + 2忡,（原则是置常子通揣阶算符时反制%，我需确 定所允许的能量.例题 求出谐振子的第一激发态。解：利用方程J2 力 m3r _ dy力+ m3 xId人1/ 4

21、_m3把 e 2力(m3 r2 m3_ m 3xe 2 方 x力我们可以直接“手算”对它进行归一化：W |2dx = A 2,叵r2m3x2e-13%= A 2,1 丫兀力I力）.1恰好，4=1。我们甚至可以用代数的方法得到归一化常数，不过需要一些精巧的步 骤，请留意。我们知道叩是正比于W H的.a W = c W , a“W = d W+ n n n+1一 n n n1但是比例因子c和d是什么？首先注意到a是a的厄密共轭。nn+ 土所以有：卜(a W )*(a W )dx = J* (a a W )*W dx.一8 士 n - n一8 + 士 n n但是:a a V =叩， a a V =

22、(n + 1W ,+ n n + nn所以：JJ (a V )*(a V )dx = |c J + n + nnJJ (a V )*(a V )dx = d nsnJ/J n+12 J卬J n-12dx = (n + 1)Js V 2dx, -J n2 dx.2 dx = nJ阳n s但是由于寸和V 已是归一化的，可知c |2 = n +1，|d F = n，因此: TOC o 1-5 h z a V = n+1V , a V = nV-+ nV n+1 一 nNn1这样11 , 、V = a V , V =a V =(a )2V ,V 4=3 a+V 3=f (+ )4V 0，1+ 02,.

23、T + 1 ry +0V = ；=a V =,(a )3V ,33 + 2 v3 - 2 +0依此类推。显然有1 ，Vn 一 F (a+ )nV0，2.67例题求出谐振子第n态势能的期待值。解：:V： = i m 2 x2 I = ! m 2 J J v * x叩 dx.-；22 J n n计算这类积分有非常简洁的办法（有关x和p的幂次的）:根据定义（方 程2.47）利用升降阶算符来表示x和p :x = I工(a + a ); p = iy (a - a ) 2 m w +- V 2+-在日前这个例子中，我们对x 2感兴趣:力x2 =1 (a )2 + (a a ) + (a a ) + (a

24、 )22m+ - +-所以(V)=力 j W *(a )2 + (a a ) + (a a ) + (a )2w dx. -4 n + - +- n但是(a )2寸(除了归一化常数外)等于甲，它和w是正交的，同样 (a可 正化于w是。所以这些项被去除；2我们可以利用方程2.65计 算余下的两项：-2V=年(n+n+1)=2 方小+2 .可以看出，势能的期待值正好是总能量的一半(另一半当然是动能)， 这是线性谐振子的一个特征，后面我们还会看到。4.有限深方势阱考虑有限深方势阱：V, a v x v a ,V (x)= a,严)a3其中V是(正的)常数。和8函数势阱一样，这个势允许有束缚态(E 0

25、)。我们首先来看束缚态。在xa区域，势为零，所以薛定谔方程为：力2 d2Wd叩K2w-= Ey ,成 一_K 叩，2m dx2i dx 2其中J-2mEK三是正的实数。一般解是w=4exp(-Kx) + Bexp(Kx)，但是，当xr-8时，解的第一项趋于无穷大，所以物理所许可的解是W (x) = B exp(K x),x -ad叩 =-l 叩, dx 2因此，i是一个正的在-a x a区域，势仍然为零；其一般解是W (x) = Fexp(-kx) + Gexp(Kx)，但是当x 8，第二项趋于无穷大，所 以解为w (x) = Fe-K x ,x a.下一步是加上边界条件：w和dw / dx在

26、-a和a处连续。但是注意 到势能是一个偶函数，不失一般性，我们可以假设解要么是奇函数要 么是偶函数来简化问题。这样做的优点是我们仅需要考虑一侧的边界 条件(比如说在+a处)即可；由于寸(-x) = w(x)，另一侧自动满足边 界条件。这里我们仅讨论偶函数解，你们可自己讨论奇函数解。由于 余弦是偶函数(正弦是奇函数)，所以我们要求的解可以写为：Fe-心，x a,W (x) = D cos(lx),0 x a,W (-x),x 0 )。在势阱左边，V(x) = 0，我们有v (x) = A eikx + B e*,( x -a)其中(和通常一样)k =2mE.在势阱内,hV =-V，v (x)兰

27、C sin(lx) + D cos(lx)(-a x 0.05 nm 0.05 nm解：这是一道标准的透射题，只不过多了一个势垒,按步骤 做就行把势垒表示为0, x 0U ,0 x a = 0.05nma x 2a2a x1U 2,0,在每个区写出薛定鄂方程 TOC o 1-5 h z d叩 2o八+ 即=0, x 0dx 2方 2划 + 空(E - U 卸=0,0 x adx 2方 21d叩2u _-+ (E - U )W = 0,a x 2adx 2方 22d叩2u+即=0,2a xdx 2方 2有题给E =1eV U 2 = 2eV U、= 5eV设；半,k =广丫E),七=；*E)得到

28、解为 HYPERLINK l bookmark185 o Current Document W = Aeik0 x + Be-ik0 x,x 0= Cekx + De-kx,0 x aW = Fek2x + Ge-k2x,a x 2a= Keik,x,2a x(此区域只有透射波(向右的)用波函数连续及导数连续的条件把K和A联系起来，透射几率为T =段AI2在x=0出A + B = C + D,ik0(A - B) = k(C - D)A. (1+ k / ik )/2* B 厂(1-k：/ik0)/2(1k 2 q(1+ kJ ik) 2人 D )Ceka + De-k,a = Feka +

29、Ge-Ka,k (Ceka De-ka) = k (Feka Ge-Ka)12(1+ k /k )e(k2-k1)a/2* (1-k：/k + k1) a/2(1-kJ k1)e - (k1 + k2) a/2 )F (1+ kJ k)e-(k2-k1) a/2 人 G /Fe2k2a + Ge-2k2a = Kei2k0a ,k (Fe2k2a Ge-2k2a ) = ik Kei2k0a20 TOC o 1-5 h z F.(1+ ik /k )e(ikQ-k2)2a/2 e20所以 HYPERLINK l bookmark400 o Current Document 0V K 0(1 i

30、k / k )e(ik()+ 勺)2a / 2 八 0 j027(1 -k /ik )/2)“1+ k /k 即2-匕)a/21021(1+ k /ik )/2八(1-k /k )e(k2+*/210 八 21(1-k /k )e-(k1 + 勺a/2 (1 + k Ik)e-(k2-耻/2) 21(1+ ik /k )e(ik0-k2)2a/20 200 W K (1 ik / k )e(ik0 +k2)2a / 2八 0 JA_f(1+ k /ik )/2、B 厂(1-k / ik)/210(1 -k /ik )/2)“1+ k /k 即2-匕)a/21021(1+ k /ik )/2JI (1-k /k )e(k2+*/210 八 21(1-k /k )e-(匕+ k2)a /2 (1 + k /k)e-(k2-k1)a/2) 21(1+ ik /k )e(ik0-k2)2aK/2、I 0 20A (1+丫 ik0)/2B J (1-kJ ik0)/2.k2 -