高等数学数值函数多重积分课件

1、多元数值函数的积分1.概念、类型与性质2.二重积分3.三重积分4.第一型曲线与曲面积分5.在几何与物理方面的典型应用7.1多元数值函数的积分 -概念、类型与性质1.引例-概念抽象-多元函数积分定义2.多元数值函数积分的基本类型3.可积条件与积分基本性质1.引例-概念抽象-多元函数积分定义 我们已经知道，一元函数定积分的产生，是与很多现实问题密切相关的。 但是一元函数的定义域仅仅是一维的，而我们的世界却是三维的。并且大量的现实对象也是不对称的。 因此不难想到，在现实世界中，多元函数所应用的范围更广。而类似定积分的方法，在高维情况下肯定有十分广泛的用途。 即便是不知道多元函数积分的概念，仅从一元函

2、数定积分的定义和应用，是否可以想到有什么问题可能会用到多元函数的积分方法呢？举几个例子。【例7-1】（求平面薄板的质量问题）设一质量非均匀分布的薄板，将其置于xOy平面上，它所占有的区域为D (图7-1), 在D上任一点P(x,y)处的面密度为这里 且在D上连续.OxyD（图7-1） 把区域D任意分划为n个小区域 (i=1,2,n)， 同时表示该小区域的面积.由于 连续，因此薄板在每个小区域上的质量可以近似的看做均匀分布.（1）一个引例 在每个 上任取一点 ，则该小区域质量的近似值为，整个薄板质量m的近似值为 记 ，所谓 的直径指的是 上任意两点间距离的上确界.当d 0时，每个 的面积将趋于零

3、，并且小区域的数目无限增大，上述近似值就无限接近薄板的实际质量.因此可以把上面和式的极限规定为薄板的质量，即 （1）（2）讨论上面例子 假设上面例子中的物质对象，不是一张平放的薄板。而是如下几种情况： 一条平直的细丝； 一块立体（区域）； 一条可以放在平面上的弯曲细丝； 一条在空间中弯曲的细丝； 一片空间中的曲面。 同样假设知道物质的密度函数，求其整体质量，应该怎样做？（3）多元数值函数积分的定义（i）符号与辅助概念约定： ：根据具体情况表示某空间中的闭集。在实数集中表示一个闭区间；在平面中可以是平面曲线，也可以是一个闭区域；在三维空间中，可以表示空间曲线、曲面、三维闭区域。、注：在教材中，

4、即表示小区域（或闭集合）也表示该区域（或闭集合）的度量（长度、面积、体积）。 尽管这样规定也可以，但稍不注意就可能引起混淆。 ：表示闭集合 的“度量”（或“体积”） -对于曲线（也包括直线），表示长度； -对于曲面（包括平面），表示面积； -对于立体区域，表示体积（设 是可度量的）。：分别表示区域 和 的直径。其中若A是有界闭区域，d(A)是A内任意两点距离中最大者。 （ 或 ）：表示闭集合 的一个有限分划。在已知所分划的闭集合时，就简记为 。则称由这有限个闭集 为元素所组成的集合称为闭集合 的一个分划（这里的分化都是有限分划）。 的有限分划：设有有限个闭集 ，满足如下条件；，分割宽度：设 是

5、 的一个分划，记 称为分划 的宽度（或分割网的网径）。（4）多元数值函数积分的定义：设 是一个可度量的有界闭集，包含在函数 的定义域中，如果即 ，则称函数 在 上可积，并称 是 在 上的积分，记作（2）注：有这个概念定义，还派生如下一些辅属概念- 被积函数，积分（区）域，积分元素（微元），被积表达式， 积分和，积分号。2.多元数值函数积分的主要类型与常用符号表示 下面假设都是在直角坐标系下的表示。根据积分域的情况分类，有如下四大类：（2） 是三维坐标空间中的区域V时，积分记为称为二元函数 在区域D上的二重积分， 称为面积微元。（1）积分域 是xOy坐标平面中的区域D，则表示分划中小块区域 的面

6、积 ，积分表示为称为三元函数 在V上的三重积分， 称为体积微元。（3）当 是平面或空间中一条曲线 时， 表示的是曲线分化中小弧段 的长度 。如果曲线是平面曲线，则函数 是二元函数，具体的积分表示为：如果是空间曲线，函数应是三元函数，积分记为 称为弧长微元。积分称为第一型曲线积分，也称为对弧长的积分。（4）当 是空间中的一块曲面 时， 是三元函数。 表示分划中某个小曲面块 的面积 ，具体的积分表达式为 称为面积微元，该积分称为第一型曲面积分，或对面积的曲面积分。3.多元数值函数积分的基本性质（1）可积的必要条件-被积函数在积分区域内有界（注意，积分区域本身必须是有界闭集）。可积的一个充分条件-被

7、积函数连续。 注意教材中对积分区域“度量”的记法的特殊约定。但是在这里我们为了不引起歧义，还是引入新的符号约定。以 表示积分区域 的“度量”（根据情况分别表示长度、面积、体积）。（2）基本性质（i）（ii）积分与函数的线性运算可交换-即积分是一个线性映射（从哪里到哪里？）。（iii）积分对于积分区域的可加性。（iv）大小的比较（v）积分的估值与 分别是函数在积分区域上的最大和最小值。（vi）中值定理。存在注：除了符号以及涉及到的集合（积分区域与被积函数）不同，其它在形式和关系上，与一元函数定积分的基本性质完全一样。7.2 二重积分的计算1.几何意义2.直角坐标下二重积分的计算3.多重积分的换元

8、法4.极坐标下的二重积分7-2: 3(3，4);4(3，4);5(3，4，5)； 6(2，3，4，6，7); 8(3，4); 9(2，3); 10(2)。第七章第2节作业题1.二重积分的几何意义-曲顶柱体体积的“代数和”2.直角坐标下二重积分的计算（1）二重积分与一元函数定积分在计算方法上的差异。（i）二重积分的区域很不规整；区域分化（面积微元）可能有不同的选择。而一元函数定积分，积分区域是一个区间，区间分划的形式是唯一的 ，就是区间分段。（ii）计算积分，没有原函数可以直接利用。要解决二重积分，以及更高重的积分的计算问题，当然就要针对上面的不同，给出具体的计算规则。（2）计算二重积分的基本规

9、则 注：由于积分区域本身往往不是矩形。所以看上去，分划并不整齐。但是因为函数连续有界，区域边界的面积为0，在取极限的情况下，随着覆盖边界的那些小矩形面积之和趋近于0，这些边界处的积分值也就趋近于0了。（ii）将积分区域分解为-X型、Y型区域的并集：所谓X型域，就是该区域是由两条垂直于X轴的直线与两条以x为自变量的函数曲线围城的区域。类似可知Y型域构成方式。（考察关键区别在哪里！）（i）直角坐标系情况下，用小矩形分划积分区域，面积微元记为 或 （其意义自明）；（iii）将X型与Y型域上的重积分，转化为“两重”相互联系起来的一元函数的定积分。（3）X型（Y型）域上的二重积分的计算。根据二重积分的几

10、何意义，所谓曲顶柱体的体积微元 假设X型区域 如下：（iv）利用积分对区域的可加性，求总的积分。（参考图示7-7）为其体积为而于是二重积分计算就转换为两次一元函数的定积分的计算，即转化为累次积分（二次积分）：注1：Y型域的积分与此类似；注2：有界凸型区域，往往既是X型域也是Y型域，无论哪一种考虑，积分所得结果是一样的，积分时只需考虑哪一种选择使计算更简便；注3：更多重积分的计算方法，与二重积分的考虑方式基本一样，可自行推广。小结：以上过程，是数学中比较典型的方法显示-将复杂的对象转化为相对简单的对象，将新问题的解决转化为对老问题的解决。 新积分的概念基础，依然还是-极限！【例7-2】计算 ，其

11、中D由y轴、直线 y=1及抛物线 围成.Oxyy=x2D1（图7-8）显然，积分域是凸集，可以用两种方法计算，且繁简程度没有什么差别。 而多元函数积分的计算，主要还是归结为一元函数的定积分计算，但也要注意其自身的某些特点。【例7-3】计算 ，其中D是由曲线 所围成的闭区域.（图7-9）Oxy2ABD-11 比较两种顺序的累次积分，观察一下哪一种简明。为什么？ 在某些情况下，不同顺序的累次积分，还不仅仅是计算时的繁简差异。而是涉及到是否可以计算的问题。见下例。Oxyy=xD1（图7-10）1【例7-4】计算 ，其中D由x轴、直线 x=1和y=x围成（图7-10）.解：若先对x后对y积分，则而 不

12、是初等函数，故 无法积出，因此按这种累次积分次序无法算出所求二重积分若换序计算接续【例7-4】【例7-5】计算 ，其中D是下半圆域 （图7-11）.（图7-11）Oxy2D-2利用积分域以及函数某种对称性简化计算。接续【例7-5】解：注意积分区域是关于y轴对称的，对于自变量x，x+x3e y 是奇函数，y可视为关于x的偶函数，因而有 记 于是【例7-6】设D是xOy平面上以曲线 y=x3,直线x=-1和y=1所围成的闭区域（图7-12）,求y=x3D1（图7-12）Oxy1-11D2D3D4 学会观察函数与积分域的特点与关系，利用这些关系和特点适当分解积分域，可以简化积分的计算-不要只是盲目的

13、计算。接续【例7-6】解：如图7-32所示，在第二象限画出曲线 y=-x3，这样就由曲线 y=-x3 和两条坐标轴将D分成了四个子区域，其中D1和D2关于 y 轴对称，而D3和D4关于 x 轴对称 因为函数 f (x,y)=sin(xy) 关于自变量 x 和 y 均为奇函数，所以且从而函数g(x,y)=2x2y关于y是奇函数，关于x是偶函数，所以从而接续【7-6】3.二重积分的换元法 从前面的例子可以看出，重积分计算的一个重要环节是对积分域的分析。是否能够将积分域的几何形状、边界的解析表示简化，对于重积分的计算是十分关键的。 假设在xOy平面上的一个区域比较复杂（或其解析表达式复杂）。一个自然

14、的想法是，做一个变换，使得在另外一个坐标系中，这个积分区域变得比较简明，从而使其边界的解析表示形式简化。 如果存在这样的变换，那么被积表达式会有什么变化呢？（1）-回顾一元函数定积分的换元法。 用积分的一般表示形式，无论是第一类还是第二类换元公式，对于定积分而言，都是如下关系：其中，变换为 ，并且还是，都有例如无论是做变换。这个关系的几何解释是怎样的呢？注意：变换 中，尽管 ，但不是按照对应顺序映成的。（2）多重积分的换元法公式（二重、三重积分）若 则有 ，。注1：如果雅各比矩阵存在，且其行列式恒不为0，则变换F当然是连续，可偏导的；并且变换F还是1-1的，起码在对应的两个积分区域之间。因此还

15、有 。注2：如果区域内有些点处雅各比行列式为0，但是设有变换 这些点组成的集合的面积（或体积-在三维情况）为0，则上述积分变换的结果依然成立。注3：只要将上面的变换公式写成三重积分，甚至n重积分的形式，结论也都是对的。（3）极坐标系情况下的二重积分计算 在二重积分的变换中，将直角坐标变换为极坐标是很常见的情况之一。 设函数的定义域原本是由直角坐标系表示的，如果应用极坐标表示这个区域，直接从几何角度分析，以射线与同心圆族分割，可得用极坐标表示的小区域面积表示为：事实上，由直角坐标到极坐标变换的雅各比行列式所得到的积分微元的变换也是一样的。这在情理之中。注：当极坐标表示的平面积分区域中含有极点，即

16、矢径为0的点，那么对矢径的积分下限，就从0开始。 尽管直角坐标与极坐标之间的对应不都是1-1的，但是在幅角变化不超过一周的情况下，对积分没影响。即面积微元是（图7-17）Oxy12【例7-7】计算 其中D是圆环域（图7-17）.注：在 平面（另一个直角坐标平面），这里的积分区域变换为一个矩形。 所以变换之后的积分是很容易计算的。【例7-8】把二重积分 化作在极坐标系下的累次积分，其中D是由直线y=x , y=2x及曲线x2+y2=4x , x2+y2=8x 所围成的平面区域（图7-18）.（图7-18）Oxy4注：变换之后在直角坐标 平面中的区域为型域：；于是由变量代换公式得：【例7-9】求双

17、纽线(x2+y2)2=2a2(x2-y2)(a0)（图7-19）所围区域的面积.（图7-19）OxyD注：极坐标表示双纽线为在第一象限有（四分之一区域）这时在 坐标平面的积分域为 型域；。于是【例7-10】 （1）计算二重积分 ，其中 D 是1/4圆域 （2）利用（1）的结果求反常积分（图7-20）OxyD1aD2D3（1）做极坐标变换，在坐标平面上积分域为矩形： ，积分结果为（2）考虑图示中的三个积分区域可得：接续【例7-10】解：（1）在极坐标系下，区域D可表示为于是下面计算 ，注意函数 的原函数不是初等函数。（2）构造三个区域显然 （图7-20）由（1）的结果得由于而所以令 ，上式两端趋

18、于同一极限 ，于是得到注：由上面的积分（2），可以得到概率中正态分布函数的密度函数。 这个计算表明，即便被积函数的原函数没有初等表示，也不意味着无法通过积分求得某些定积分值。【例7-11】求球体 被圆柱面 所截得含在圆柱面内的立体体积V.（图7-21）OxyzRRR（图7-22）OxyD注：从几何直观上分析，这是求（考虑对称性）积分域为被积函数为的积分。做极坐标变换，得到在 坐标平面上的积分域为 型域（见图7-22）：附注：上述立体称为维维安尼体，假设在负y那半个平面上再截去这样一个体积，球体所剩下立体体积完全可能是有理数，只要半径是有理数，而与圆周率无关。具体计算如下页所示。接续【例7-11

19、】解：由对称性，只需求得该立方体在第一卦限部分的体积，它的四倍即为所求立方体体积（图7-21）在第一卦限内的体积是一曲顶柱体，其底为区域（图7-22）曲顶为球面 ，故所求体积在极坐标系下于是由上式可知，若用两个柱面 去截球体 ，则所截下的体积为2V，而球体所剩立体体积为接续【例7-11】【例7-12】计算 ，其中D是由曲线xy=1 , xy=2, y=x 及 y=4x 在第一象限围成的区域（图7-23）.（图7-23）OxyDy=xy=4xxy=2xy=1（4）其它的某些变量代换 积分变换没有固定方法，必须多做一些练习，熟悉很多变换的作用，才可能做出合适的选择。（图7-24）Ouv1142D做

20、变换则有接续【例7-12】解： 作变换 ，则对应于D的uOv平面上的区域 （图7-24）由 可得从而由公式（7）便得求出J 注意，在计算 时，若J 不易计算，可由 如在本例中，可先求从而【例7-13】计算 ，其中D为椭圆域：注：做广义极坐标变换，实际是一个线性伸缩变换与极坐标变换的复合积分区域变换为 ，雅各比行列式为做二维变换：并且注：首先考察上述变换是线性变换； 再考虑行列式的几何意义； 最后考察对应关系（1）的几何意义。（1） 问题：可以将这样的变换推广到高维情况吗？ 起码看看三维的情况。然后作对应附录-多元积分变量代换公式的分析。（1）二维空间线性变换下的某些几何关系。设有下面给这个变换

21、关于面积关系转换的一个解释。 设有两个直角坐标系给出二维向量空间表示，一个是 平面，一个是 平面。 上面的（附1）式，可以看做是从前一个平面（空间）到后一个平面（空间）的线性映射。（附1）根据这个映射， 坐标空间中的标准正交基分别对应到 中的向量为和于是 平面中由 （的线段长度为边）所确定的矩形，对应到 平面中。是由所确定的平行四边形。从面积的角度讲，这个线性映射将 平面中面积为 的平行四边形，映射成 平面中面积为的平行四边形。反之，这个映射的逆映射将 平面中面积为 的平行四边形，映射为 平面中面积为的平行四边形。 在计算积分时，积分变换中面积微元的变换公式（1）所反映的就是这种关系。 换句话

22、说，如果我们要用 平面中的面积微元表示 平面中的面积微元，便有如下形式等式：（2）关于面积微元变换的另一个解释。 考虑二维平面向量空间到自身的一个变换。给这个向量空间有一组基，基向量记为 ， 。设因此在给定点，以如下对应方式定义了二维向量空间到自身的一个满秩线性变换，重要的是，这个变换（以 和 的向量组为基）的坐标变换表示矩阵为：；其行列式还是：由这个规定，同样可得 引入符号 （类似还有 等）表示由向量 与 （几何表示的线段为邻边）所确定平行四边形的有向面积。即有xdydydxdvvvr-=（3）一个形式规定带来的方便 7.3 三重积分的计算1.直角坐标系下的计算2.柱坐标系和球坐标系下的计算

23、7-3: 1(3);2(2，4，6); 3(2); 4(4，5);5(2，3); 6(1，3，5);7(1，2，3); 8; 11。第七章第3节作业题1.直角坐标系下三重积分的计算 从二重积分的计算方法不难看出，将高重积分分解为较低重的积分，是问题解决的关键。 现在，我们已经可以计算二重积分了，那么怎样才能将三重积分分解为二重和一重（一元函数）积分呢？当然，二重积分也是变换为两次一重积分的。不过这已经不是问题了。 主要的方法有两种，通俗的讲，就是“先一后二”和“先二后一”。 在直角坐标系下，对积分域的的分划，与二维情况相似，就是分划为长方体，体积微元总是 。（1）坐标面投影法-或“先一后二”法

24、 将积分域V（总假设是有界闭集）到某个坐标平面投影，比如说投影到xOy平面，记为 。 如果满足：从任何一个属于投影区域 的点引垂直于该平面的直线，这条直线与积分域的交集总是一个线段，那么就称这个区域V是xy型域。 yz型与zx型域可类似定义。 一个xy型域，一般都可以表示为：于是三重积分可以表示为（1）上式也约定记为以此清楚地表明“先一后二”的积分顺序。 上述关系式（1）可以由高维体积或赋予物理意义给以解释，比如说物质密度与总质量的关系。（1+）【例7-14】计算 ，其中V是由平面x+y+z=1和三个坐标面围成的闭区域.Oxyz111z =1-x-yy=1-xDxy（图7-26）【例7-15】

25、计算 , 其中Oxyz111Dxy-1-1（图7-27）Oxyz（图7-28）czd 从题设条件，积分域已经十分清楚了。 作为课堂练习。（2）截面法-“先二后一”法。观察左边图7-28，对任意的z，假设阴影部分（记为 ）关于x、y的二重积分容易计算，那么就可以由如下关系：计算三重积分。这个关系还约定记为（2）（2+）【例7-16】计算 其中V是由平面z=x+y , x=0 , y=0 , z= 所围成的立体（图7-29）.（图7-29）zOxyzDz 注：这里的关键，是被积函数中没有自变量x、y出现。 截面法十分简明。接续【例7-16】解： V在z轴上的投影为 ，在 内任一点作平面垂直于z轴，

26、它在V上的截面为Dz，Dz是一个三角形区域，易知Dz的面积是 于是解： 由三重积分的物理意义知而【例7-17】已知椭球V： ，其密度 ，求该椭球体的质量m.注：由积分对被积函数的可加性，可以对函数中每一单项式积分。同样由截面法，计算十分简明。所以同理因此其中 是椭圆 所围图形的面积接续【例7-17】2.柱面和球面坐标系下的三重积分计算（1）三重积分的变量代换-换元法（略-已知）（2）柱坐标下的积分计算（i）柱坐标的说明-平面极坐标加上纵轴z。（ii）将直角坐标变换为柱坐标：雅各比行列式为（图7-33）1OxyzD1-1-11【例7-18】计算 ，其中V是由锥面 及平面 z =1围成的区域（图7

27、-33）.注：先用坐标面投影法，然后对xOy平面做极坐标变换。也就是将投影域变成“矩形”区域。 可以看出，在积分域是旋转体，或与圆有关的区域；被积函数可以表示为关于投影域的变量二次齐次的函数与另一个变量的函数乘积时，用柱坐标计算积分，明显会带来计算方便。（图7-34）Oxyz2【例7-19】计算 其中V是由曲线 绕z轴旋转一周所得曲面与平面z=2围成的空间区域（图7-34）.投影 是半径为2的圆盘，经极坐标变换到 平面是矩形区域 ，纵坐标满足注：教材中的集合等式在逻辑上有问题。（3）球面坐标系下的三重积分计算（i）球面坐标介绍：考虑一个无穷“矩体”其坐标记为（ ）。如果做以下对应就将坐标 解释

28、为xyz直角坐标系中的点。这便是直角坐标系中，点的球面坐标表示。（1） 变换（1），称为直角坐标关于球面坐标的变换。这个变换的雅各比行列式为【例7-20】计算 其中V由曲面 和 围成（图7-37）.（图7-37）OxyzR做球坐标变换，该区域在坐标空间中变换为一个有界矩体：积分可直接变为三重的累次积分。【例7-21】计算其中【例7-22】计算 其中V为球体在第一卦限的部分.注：这个积分的区域转化为球面坐标其计算很简单，值得注意的是-奇函数在对称性域上的积分为0.注：考察这个积分的几种不同的计算方法。分别是（i）直角坐标系-坐标面投影法；（ii）截面法-再利用极坐标变换求其中二重积分；（iii）

29、直接用柱坐标-本质上与第（ii）种解法类似；（iv）用球面坐标-积分域直接变换为矩形区域。接续【例7-22】解法1：利用直角坐标求解，此时积分区域为于是解法2：利用竖坐标为z的平面去截V，得到平面区域此时于是原式=而其中利用极坐标所以原式=解法3：利用柱面坐标求解，此时V为于是原式解法4：利用球面坐标求解，此时于是原式（4）利用三重积分求体积 有了三重积分的概念和计算法，很多体积的计算直接成为对三重积分的积分域的解析。因为【例7-23】求抛物面 z=x2+2y2 与 z=6-2x2-y2 所围立体（图7-38）的体积.（图7-38）DxyxyzO【例7-24】求几何体 （a、b、c均为正数）的

30、体积.注：类似广义极坐标一样，这里可以利用广义球坐标变换-这个变换可以看做两个变换的复合。第一个是简单的线性变换（伸缩变换），再做球面坐标变换。 变换之后的积分区域是 坐标系空间中的一个 型域，并且投影到坐标平面的区域是一个矩形。接续【例7-24】在新坐标系下曲面方程化为解：几何体由曲面 围成，做广义球面变换从而又因所求几何体的体积接续【例7-24】复习题7-2（4）.判断：积分 是否表示密度为 的物体V关于z轴的转动惯量？说明：所谓关于z轴的转动惯量，在直角坐标情况下其计算公式为如果记柱坐标变换为 ， ，则 但是 不是 关于z轴的转动惯量。 另一方面，积分 的表示不协调。因为积分域与积分微元

31、（元素）无关。 7.4 数量值函数的曲线与曲面积分1.第一型曲线积分的计算2.第一型曲面积分的计算7-4:1(2，3，6，8); 4; 5;6(4，5，7，8); 7; 8。7-5: 1(2); 3; 5 ;10。第七章第4、5节作业题1.第一型曲线积分的计算-转换为一元函数的定积分 曲线是一维的，一元函数的积分区域是区间，也是一维的。所不同的是，曲线在弯曲的，分划之后的小弧段长度，不如直线段长度那么直接。但是前面已经分析过弧微分，所以对应于曲线的表示方法，可以想到有如下计算公式：如果曲线L 是函数曲线： 则弧微分曲线积分可变为定积分：特别约定：此类平面曲线称为y型曲线（x型类推）。 但是最常

32、见的平面曲线和空间曲线都使用参数表示，假设平面或空间曲线L,由如下参数表示或根据弧微分的参数表示，曲线积分可以表示为或（对空间曲线积分）有【例7-25】计算曲线积分 ，其中L为圆心在(R,0)，半径为R的上半圆周（图7-39）.OxyR2Rt（图7-39）解法一：将平面曲线作为y型曲线解法二：以圆心角 为参数该曲线表示为参数形式接续【例7-25】所以从而解：L的方程为令 ，可得【例7-26】计算 ，其中L以A(1,0)、B(1,1)、C(0,1)为顶点的三角形边界（图7-40）.这里记号 表示积分是在闭合曲线L上进行.OxyA(1,0)（图7-40）B(1,1)C(0,1)将封闭曲线分为三段：

33、AB是x型曲线x=1；CB是y型曲线y=1；AC即可看做x型也可看做y型曲线。作为y型曲线有 y=1-x.分别计算这三段曲线上的积分做和即可。接续【例7-26】解：由积分的性质得在AB上x=1，故在BC上y=1，故CA直线段方程为y= -x+1，故所以【例7-27】计算 ，其中L为螺线x=cost , y=sint , z=t 上对应于 t 从0到1的一段弧.【例7-28】计算 ，其中L圆：这里的空间曲线不太容易给出简明的参数表示。需要观察被积函数与曲线的特点。该曲线周长恰好是单位圆周长 ，而积分曲线关于三个坐标是对称的，于是有【例7-29】设椭圆柱面 被平面z=y及z=0 所截. 求位于第一

34、、二卦限内所截下部分的侧面积（图7-42）.（图7-42）O3yzx说明：平面曲线上的积分是如下描述的柱面面积。该柱面是以曲线L为准线，平行于z轴的直线为母线，母线在点（x,y）处的高度为接续【例7-29】解：由第一型曲线积分的几何意义，得所求侧面积于是其中L为xOy平面上的半个椭圆，将L用参数方程表示，有2.第一型曲面积分的计算-将曲面积分转化为二重积分（1）曲面的面积与面积微元（i）关于曲面面积的定义问题 曲面的面积不能用内接多面体表面积的极限定义。这里不详细讨论一般曲面面积的定义方式。 我们仅仅假设关于曲面的解析表达式-函数的或是参数表示的-都是可微映射。并且曲面每一点处都存在切平面（与

35、法向量）。 利用这个条件，可以将曲面的面积“定义”为“对应小块切平面面积之和的极限”。（ii）关于面积微元：假设曲面是由参数表示的，这也是最一般地表示方式，即（1）如果曲面是由函数 表示的（这时表示的曲面不能向纵轴上方弯曲），则（1）式便为 实际上，空间曲面的解析表示总是可以看做一个向量值函数（映射）。比如（1）和（2）式，分别是如下向量值函数的分量表示。（对应（1）（对应（2）（2）特别约定：称该曲面为z型曲面-类似有x、y型曲面。 现在考虑下面几个式子的几何意义：（沿着u-曲线的切向量）（沿着v-曲线的切向量） （ 割向量 的近似） 注：这是曲面不是面积曲面 S 的面积或者注意到（对于映射

36、（1）（对于映射（2）面积微元面积微元 这里请注意一些重要关系。【例7-30】求球面 介于平面 z=h（0hR，R为地球半径）处，空气密度 ，这里 是地球表面处空气密度，K为常数， 和K均可通过测量获得试证明，地球上空空气总质量约为【例7-41】在研究山脉形成时，地质学家要计算从海平面耸起一座三所作的功假定日本的富士山形如一个半径为19km，高为4km的直圆锥体，密度为常数3200kg/m3，那么从最初海平面上的一块陆地变为现在的富士山需作多少功？ 解：设山脉为空间区域，P为上任意一点，该点附近物质的密度为f (P)，点P的海拔高度为h(P)，则形成山脉作的功即为增加的势能. 点P处体积微元dV的势能dW=h(P)f (P)gdV，其中g为重力加速度，故总势能，即山脉形成过程中作的总功 接续【例7-41】 将富士山这个“直圆锥体”底面圆心取为坐标原点，使圆锥体顶点位于z轴正半轴上，建立坐标系，则由题设条件知，圆