东北师大《常微分方程》习题解答

1、常微分方程习題解答东北师范大学微分方程教研室高等教育出版社（第二版） # 习题1.21求卜列可分离变量微分方程的通解：ydy=xdx解：积分，得ly2=ix2+c,即x2-y2=c2*2dy-=ynydx解：y二0,y二1为特解，当仔0,时，-=dx,yiny积分，得ln|lny|=x+q,Iny=eCex=cexc工0,即y=ece=eJ-vdx解：变形得edy=exdx积分，得R/=ctanydx一cotxdy=0解：变形得空=竺丄，y=0为恃解，当VO时，竺丄y=曲上dxcotxsinycosx积分,得ln|siny=-ln|cosx|+c】,ln|sinycosx=c,H|Jsinyc

2、osx=eC=c,c工02.求卜列方程满足给定初值条件的解：学=)m(o)=idx解：v=0,y=l为特解，当yO,时，(一-)cly=dx,y-1积分,得In=x+C,-=eceK=cex,c工0II将y(0)=l代入，得c=：0,即y二1为所求的解。x2-l)y+2xr=0,y(0)=l解：字二_2芝_,y=0为特解，当，工0时，2=-一dx,dx-对_ #积分，得一丄=-lnT-l+cv # # # #将y(O)=l代入，得c=1,即)，=lnx2-l+1为所求的解。 /=3/,(2)=0解：y=0为特解，当y=0时，2=3眉1积分，得y3=x+c,y=(x+c)3将y(2)=0代入，得

3、c=2,U卩y=(x2)和y=0均为所求的解。(4)(y2+xy2)dx一(x2+yx2)dy=0,y(l)=-1解：x=O,y=0为特解，当时，匕二.丫一孚冷，=0,11r.1-11-1积分，得一一+ln|M+-ln|y|二5=eCex=cexxyy将y二_1代入，得c=-2,-=-e2e为所求的解。y4.求解方程Xyl-y2dx+y-x2dy=0解：x=1(-1yl),y=1(-1x0)6.求一曲线，使其具有以卜性质：曲线上各点处的切线与切点到原点的向径及x轴可围成一个等腰三角形(以X轴为底)，且通过点(1,2).解：设所求曲线为y二y(x)对其上任一点(工刃的切线方程：Y-y=yX-无)

4、于x轴上的截距为=由题意建立方程:yfx-x=x-0即0=-丄，y(l)=2求得方程的通解为小二CHO再由2=ec得C=ln2,得所求曲线为为Q二27人工繁殖细菌，其增氏速度和当时的细菌数成正比如果4小时的细菌数为原细菌数的2倍，那么经过12小时应有多少？如果在3小时时的细菌数为得1(/个，在5小时时的细菌数为得4X10个，那么在开始时有多少个细菌？解：设I时刻的细菌数为q(l),由题意建立微分方程色二居/0dt求解方程得q二ce再设1=0时，细菌数为佈，求得方程的解为q=qoek,由q=2q即二2%得&二晋。(=qoei2k=qoe4=8g)由条件q(3)=/)e=104,q(5)=qoe5

5、k=4xl04比较两式得鸟=罟，再由水3)=/)严=geF=&你=(/得久=1.25x10习题1.31解下列方程：(2)(y2一2xy)clx+x2dy=0解：方程改写为=2(-)-(-)2dxXX令=丄，有u+x=2u-u2整理为()du=(症0,1)xdxu“一1x积分，得ln|#4|in|c測即=上?一j代回变量，得通解x(y-x)=c”y=0也是方程的解(4)xy-v=xtanx解：方程改写为-=tandxxx人y厶(I人sinurlll厶7dxz小令u=,flx=tanu=即cotudu=(sinu0)xdxcosux积分，得sinu=ex代回变量，得通解sin21=cvx兀+”-y

6、=(x+y)ln_-解：方程改写为-2=(i+2)inAlaxxxx令=丄，有%=(l+w)ln(l+w)xdx当弄0,工一1时积分，得ln(l+z/)=cx代回变量,得通解ln(l+2)=cxXx/=jX_y2+y解：方程改写为=Jl-(-)2+-dxxx令=丄，有X=V1-W2xdx分离变量.JU=(1VMV1)J1一“2%_y=x也是方程的解积分，得arcsinu=Inex代回变量，得通解arcsin丄二Inc儿2解下列方程:(2x-4y+6)dx+(x+y-3)dy=0解：方程改写为字=47二6dxx+y3令严+40+0-3二0解得a二小=2作变换x二：+1,y二可+2有礬切7%+匚再

7、令t亠et八尸dit4/2上方程可化为U+(=(i(工1,2)北+it # # #积分，得（“2）（）2C+f(s)e5ds皿一Vf0,对充分大的召，当XX|时，有l/(x).故ICI+l/(s)l必y(x)4,2-2=0解:因为(y+y)(y-y)=O,所以y=-y或y=y.由y=_y得y=Cex；由$=)，得y=CM.因此原方程的通解为y=Cex.(2)8y,3=27y解：令p=y可得8/,=27儿此式关于x求导数整理得24冬=27dx77于是2=pX+C从而原方程的通解为y2=(X+C)3.另外,y=0也是原方程的解.y2(y,2+l)=l解：首先，y=l是方程的解.令y=则于是dx=J

8、=dy=fJ=dt,从而x=f-?J=d/+C=V?一cJJl_f2由此可得原方程的通解为即(x+C)2+y2=.x2yy=(y-xyY解：方程关于y,y,y是齐次的，作代换y=丿沁可把方程降一阶，其中z是x的新的未知函数故 y”=(疋+z2)把”XX的表达式代入方程并消去）=严，得x2(zr+z2)=(l-xz)2，或x2z*+2xz=1这是线性方程，它的左边可以写成（x2z）9=l9由此得x2z=x+C,或z=-+4IccJ=J(+=ln|x|-+lnC?XX.X原方程的通解是y=eM=JnIMF/WnG或此外，方程还仃解y=0.习题2.11.试绘出下列各方程的积分曲线图：(1)y=aa为

9、常数);(2)y=w/=|i；dy(4)=_dx5=解:(1)由于/(x,y)=a,不依赖于X和y,所以线素场的线素均平行,其斜率为a.从而可以根据线素场线素的趋势，大体描出积分曲线.如图（1）所示.(2)由于f(x,y)=x2,不依赖于y,因而，在直线土長=k上线素场的线素都平行，其斜率为函数f（x,y）横坐标的平方.于是，横坐标的绝对值大，线素场的方向越陡.从而，可以根据线素场线素的趙势，大体上描出积分曲线.如图（2）所示.（3）由于/（如），）=卜|,不依赖于尤，因而在直线y=k（k为常数）上，线素场的线素都平行，斜率为纵坐标的绝对值，故当），0时，其积分曲线如图（3）所示；曲线如图（4

10、）所示越 图(4)由于f(x.y)=-,不依赖于y,所以，万线素场的线素都平行，其斜率为右端函数f(x,y)横坐标平方的倒数的相反数.于是，横坐标越大，线素场的方向越平缓从而，可以根据线索场线素图的趋势，大体上描出积分曲线如图(5)所示.(5)fy,因而在直线x=k(k为常数)上，线素场的线素都平行,故当兀0时,其积分曲线如图(6)所示；当xvO时，其积分曲线如图(7)所示. # # 试画出方程=x2-y2dx在xoy平面上的积分曲线的大致图像解：这个方程是不可积的，但易于画出它的线素场在同一以原点为对称中心的双曲线上，图(8)线素场的线素都平行其斜率等于双曲线实半轴氏的平方于是，实半轴越匕，

11、线素场的方向越陡从而，根据线素场线素的趋势，大体上可以描出积分曲线如图(8)所示试用欧拉折线法，取步长力=0.1,求初值问题dy?丁=对+八dxXD=1的解在x=1.4时的近似值.解令=1,儿=1则M=xo+O=1丄y,=1+20.1=1.2;x2=+01=12y2=12+2.65-0.1=1.465;x3=x2+0.1=1.3,y3=1.465+3.5860.1=1.824;x4=乃+0.1=14儿=1.824+5.0170.1=2.326.习题2.21试判断方程字=xtanx在区域dxR:-1x1,0y;R.:-1a1,-y0,一在整个xoy平yo,在除去y0 x轴外的整个xoy平面上xo

12、y平而上初值解存在且唯一 # # # #3讨论方程字=y了在怎么样的区域中满足定理2.2的条件并求通过ax2(0,0)的一切解.解：右端函数对y的偏导数些=丄显然它在任何一个不包含X轴d.v2(y=0)上的点的有界闭区域中是有界的，因此在这种区域中解是存在唯一的.即，只有通过y=0上的点可能出现多个解的情况(方程右端的连续性保证在任何有界区域中，解是存在的).原方程分离变量得 # # # #上式两端取积分得 23y=x-cy其中（x-c）no此外有特解y=0因此过点（0,0）有无穷多个解（如图（9）所示）.TOC o 1-5 h zQxCy=C0,xC4.试用逐次逼近法求方程=x-v2满足初值

13、条件y（o）=o的近似解dx%（兀），卩（兀）,0（X），03解：久（x）=y（0）=0(P(x)=0+(5-0)cls=x2TOC o 1-5 h zo2(p2(x)=0+s-(yj2)2Vs=y-箱牙5(p,(x)=0+s-(丄$2_丄芒尸炖=丄兀2_J_x5+!J8!3Jo22022016044005.试用逐次逼近法求方程字=y2_/满足初值条件y（0）=1的近似解：dx久(X),0(x),(p2(x)解%a)=y(0)=i(P(x)=0+(1-s)ds=1+X-X33(X)=1+fl+5-53)2-s2ls=+X+X2-X4一二X5+X1.r23615636.试证明定理2.2中的n次近

14、似解久（x）与精确解仇切有如卜的误差估计 2他(x)-如)卜誥討X厂证:由0(x)=儿+f(s、(p(s)ds及迭代列久(Q=)d0。)=儿+f(s3)dsH=1,2,(p(x)-(p)(x)Mx-x0MNnG+1)!対-0”+1M5JJ/G，卩($)-/(几(s)W$wMNz5+1)!/|严2(n+2)!11由归纳法可知，对任意川次近似解，估计式|久(切-俠兀)|成立7.利用上面的估计式估计：(1)4题中的三次近似(2)5题中的二次近似03在X=丄和兀=1时的误差；20(x)在兀=+时的误差.解：(1)显然初值问题z7y=y(0)=0在区域R:Lvldx111|y|i上存在唯一解，由解的存在

15、唯-性定理知，解的定义区间为其中/?0=min(仏上-),M=maxxy2=2这里d=1,方=1,M(.v.yfeZ?(.v,y)/e从而0=丄，即 #2得解的定义区间为|x|则由误差估计公式|y/r(x)-y(x)|MN”S+l)!k-r+,其中W是李普希兹常数因为=|-2y|2,可取N=乙.22141|y3Cv)-y(x)|(-)=9o39卜3（n）a）|s旨（i）“=亍（2）显然初值问题=V2-x2,y(O)=l在区域R:xU|y-l|l上存dx在唯一解，由解的存在唯一性定理知，解的定义区间为其中=min(,),M=maxy2-x2=4.这里a=1,b=l,从而九=丄，即Mg)eR4得解的定义区间为|x|(x.yieR1一4，则由误差估计公式|y/r(x)-y(x)|MN”S+l)!k-r+,其中W是李普希兹常数因为|2y|2,可取N=2,则有49*1|y2(x)-y(A-)|(-)31248.在条形区域axb.|y