数值分析（解答）

1、精选优质文档-倾情为你奉上精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专心-专注-专业精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业华中科技大学研究生课程考试试卷开卷闭卷公共课专业课数值分析课程名称：_ 课程类别 考核形式2007.5.28学生类别_考试日期_学生所在院系_学号_姓名_任课教师_一、填空题（每空2分，共20分）1、计算，给出了两种运算顺序，（A）从左到右相加，（B）从右到左相加，应选择运算顺序（ B ）可使计算结果接近于真值。2、由个插值条件是否可唯一确定一个次数不超过的插值多项式？（ 不一定 ）3、在-1，1区间上，令，则点应取为（ n次chebyshev 多项式的零点），可使达到

2、极小。4、设是区间0，1上权函数为的最高项系数为1的正交多项式族，其中，则，。5、Newton-cotes 求积公式的精确程度是否一定能随着其代数精度的提高而提高？（不一定）6、用显式Euler 法解初值问题，为保证绝对稳定性，步长应在范围（0，0.2）内选取。7、设A是一个正交矩阵，则=（ 1 ）。8、设，当时，必有分解式，其中为下三角矩阵，当其对角线元素满足条件时，这种分解是唯一的。二、（15分）求一个次数不高于4的多项式，使它满足，并写出其余项表达式。解：构造重节点的差商表差商一二三四0011200111011010-1-1故其余项表达式为：，三、（10分）求，使达到最小。解：由于题中积

3、分达到最小，实际上是在上求，使其成为的最佳平方逼近多项式，故满足正规方程组：其中，故有： 解得，四、（10分）求在-1，1上的二次最佳一致逼近多项式。（注：Chebyshev 三次多项式为）解：设所要求的二次最佳一致逼近多项式为，依题意，必有：即有：由于是首一的三次项式，因此，据Chebyshev 多项式的性质（Th3.6）可知从而五、（10分）作适当变换，把积分化为能应用点Gauss-Chebyshev求积公式的积分。当取何值时，能得到积分的准确值？并计算它。解：令，则能应用Gauss-Chebyshev 求积公式，由于点Gauss-Chebyshev求积公式的代数精度是，是二次多项式，因此

4、应用两点以上的Gauss-Chebyshev 求积公式便可得到积分的准确值，据两点Gauss-Chebyshev 求积公式，六、（10分）证明：线性二步法当时方法为二阶的，当时方法为三阶的。解：设，则当时，故方法为二阶的，当时，故方法为三阶的。七、（15分）设线性方程组的系数矩阵为：问求解此方程组的Jacobi 迭代，Gauss-seidel 迭代是否收敛？为什么？SOR方法中的松驰因子的最优选择为多少？试比较Jacobi 迭代，Gauss-seidel 迭代以及SOR方法的收敛速度。（对称正定三对角矩阵，最优松弛因子公式）解：不难验证A是否定对称的三对角矩阵，由得列，由定理6.26知，因，SOR方法最优松驰因子为，故Jacobi迭代，Gauss-seidel 迭代均收敛。而，因可见采用最优松驰因子的SOR方法收敛速度比Jacobi 迭代和G-S迭代收敛速度快得多，而G-S迭代又比Jacobi 迭代收敛速度快。八、（10分）证明简化Newton公式，收敛的一个充分条件是：；又设在内有单根，证明，其中。解：令，则|（在的领域内）