2.1 合情推理与演绎推理1

1、PAGE PAGE 6合情推理教学目标结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用教学重点，难点归纳推理和类比推理的特点及其创新性和不严谨性教学过程 我们生活中有很多谚语，特别是关于农耕的，例如“瑞雪兆丰年”“邋遢冬至干净年”，以及一些看云识天气的方法，这些都是我们的祖先根据多年的观察总结归纳出来的经验这些经验就是人们根据长期的实践经验进行归纳的结果.农民观察天气，生物学家会去观察鸟类，心理学家会去观察行为和表情，比如说你们也会观察，总结出我上课写在黑板右侧的总是错的，或者我微微一笑，说明接下来就是一个具有挑战性的

2、问题当然一个对数学感兴趣的数学家就会去观察一些数字一问题情境数学教育家G波利亚在其名著数学与猜想中对哥德巴赫猜想的推理过程进行了模拟演示：首先，波利亚说明：归纳法常常从观察开始一个生物学家会观察鸟类的生活，一个晶体学家会观察晶体的形状，一个对数论有兴趣的数学家会观察整数1,2,3,4,5,的性质这一段叙述说明：归纳从观察开始，而观察要有归纳的动因，即要有感兴趣、需研究的问题，归纳推理研究问题、发现规律的手段接着，波利亚说：假如你想要观察鸟的生活并有可能获得有益的结论的话，那么你就应当对鸟稍有熟悉，对鸟感兴趣，甚至你应当喜欢鸟同样，假如你要考察数，你就应当对它们感兴趣，并且对它们颇为熟悉，你应当

3、会区别偶数和奇数，你应当知道平方数1,4,9,14,25,以及素数2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,这里，波利亚想要传达的意思是：对你感兴趣的问题你还需要对相关的知识有一定的了解，也即应该从你对这一课题中已经熟悉的、掌握的内容开始你的探究波利亚又说：即使只有这一点朴素的知识，你也可能观察到一些东西比方说你可能会碰到这样几个关系：371031720131730并注意到它们之间的类似之处它会使你想到：3,7,13,和17都是奇素数，10,20,30都是偶数这三个偶数都能够表示为两个奇素数之和，那么其他偶数又怎么样呢？上述过程说明了归纳推理的非常重要的特征：从特殊情形开始，并且所有

4、的特殊情形都要具有类似之处，这个类似之处正是归纳发现的基础波利亚接着说：那么其他偶数又怎么样呢？它们也有类似的性质吗？当然头一个等于两个奇素数之和偶数是633看看超过6的数，我们发现8351037551257143117716313511这样下去总是对的吗？波利亚想告诉我们的是，对从几个特殊情形经过归纳推理得到的结果不能轻信，需要进一步验证只有在较多的归纳检验证实的基础上得到的结论才能使我们更有信心最后，波利亚说：无论如何，所看到的这些个别情况，至少可以启发我们提出一个一般性的命题：任何一个大于4的偶数都是两个奇素数的和至此，实现了归纳推理的目标：一个一般性的结论（猜想）当然，波利亚还进一步说

5、明了证明的必要性从波利亚的这个案例我们可以发现，对归纳推理的教学应该突出说明以下几点：1、要使学生认识到归纳推理不是盲目的、毫无目的的尝试，科学发现更不是纯属偶然的巧合，必须有一定的内因的驱动和信念的支撑2、归纳推理的三个特点：从特殊开始的推理；由归纳推理得到的结论仅仅“似真”；归纳推理是一种创造性的推理3、归纳推理的思维规程大致为：猜测一般性结论概括、推广实验、观察【活动一】1观察下列等式，从中可以得出怎样的一般规律？猜想：任何一个正整数都能表示为四个数的平方和2在数列中，通过计算，试猜想这个数列的通项公式猜想3前个正整数的和为，前个正整数的平方和1234561361015211514305

6、591从表中发现，于是猜想 归纳推理要具备下述几个要素：1多个特例综合分析；特例共性的发现：要存在某种相似性；共性的概括：猜想归纳推理需要大量的原始数据，这是一个漫长的过程，在大数据时代，电脑已部分取代了这个过程，例如分析你的上网数据，分析你的喜好进行广告推送但我们还有另外一种常用的推理方法在高中数学学习中，指数函数与对数函数的类比，等差数列和等比数列的类比，平面几何和立体几何的类比，圆和椭圆和双曲线抛物线的类比，实数与虚数的类比等（G.波利亚的类比）类比实数的加法与乘法，并列出它们类似的性质在实数的加法与乘法之间，可以建立如下的对应关系：加（） 乘（）加数、被加数 乘数、被乘数和 积等等，它

7、们具有下列类似的性质：加法的性质乘法的性质试将平面上的圆与空间的球进行类比圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合圆 球弦 截面圆直径 大圆周长 表面积圆面积 球体积圆的性质球的性质圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长与球心距离相等的两截面圆相等；与球心距离不等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆较大圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点球的切面垂直于过切点的半径；经过球心且垂直于切面的直线必经过

8、切点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心经过切点且垂直于切面的直线必经过球心例如三角形的性质可以往几个方向类比：一般化为四边形，特殊化为正三角形，升维度为三棱锥，改平面为曲面等【活动二】1选两个相关知识进行类比2已知圆的方程是，则过圆上一点的切线方程为猜想新命题：1类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠2类比推理的一般步骤：（1）找出两类事物之间的相似性或者一致性（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）【活动三】1设,为实数，满足，求的最大值解：设，

9、则，即，将，两式相加得根据以上解答过程进行类比，尝试解决下题：设,为实数，满足，求的最大值（2010年江苏高考第13题）设，由此可以求出，而2010江苏高考数学卷中的题目就体现出多种形式的类比思想。例如：（1）“题目内容”类比解答第12题与苏教版必修5第11页第3题基本类似（2）“提问形式”类比解答题第18题第3问定点问题已在江苏高考中连续3年出现，但问法又有一点点不同，从证明圆过定点到求定点坐标，再到直线过轴上一定点，提法略有不同，解法基本相同（3）“新旧知识”类比解答题第20题是典型的信息题，这种类型在高考中特别是上海的高考中较为常见，有利于学生拓宽视野，开放思想（4） “解题方法”类比关

10、于方法的类比事实上是高考中的重点，为了摒弃“题型+方法”的传统教育方式，江苏省的命题专家可谓费尽心思，像前文中讲述过的填空第13题就非常好2前个正整数的和为，前个正整数的平方和，左右两边相加，得，消去等号两边的，得既然能用上面方法求出，那么是否可以用类似的方法求出？左右两边分别相加，得由此知上面的案例说明：（1）数学发现活动时一个探索创造的过程这是一个不断地提出猜想、验证猜想的过程合情推理和演绎推理相辅相成，互相为用，共同推动着发现活动的进程（2）合情推理是富于创造性的或然推理，在数学发现活动中，它为演绎推理确定了目标和方向，具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用（3）演绎推理是形式化程度较高的必然推理，在数学发现活动中，它具有类似于“实验”的功能，它不仅为合情推理提供了前提，而且可以对猜想作出“判断”和证明，从而为调控探索活