14.2.1平方差公式17

1、14.2乘法公式（第一课时）一内容和内容解析内容平方差公式内容解析“平方差公式”是人教版义务教育数学教科书（八年级上册）第14.2“乘法公式”的第一课时. 平方差公式是在学习了有理数运算、整式的加减、一次方程及不等式及整式乘法等知识的基础上继续学习的，是多项式相乘的延伸与升华，是以后数学学习的基础，在数学的运算与化简中有着广泛的应用。平方差公式是多项式乘法中的一种特殊形式，即多项式与多项式相乘，其结果为，把这种特殊形式作为公式，今后遇到这种形式的多项式相乘时，可直接写出结果，简化其运算过程，这就是平方差公式这个核心概念的本质。从多项式乘法到乘法公式是从一般到特殊的认知过程，平方差公式的结构与特

2、征的学习与研究对学习完全平方公式具有一定的指导意义。从几个具体的多项式乘法的运算，经过观察，比较，抽象概括岀一般的形式，并通过符号推理获得公式的符号表示及语言表述。体现了抽象、概括的数学基本思想。综上的分析，本节课的教学重点：平方差公式的抽象过程及对公式的结构、特征的理解，并能运用公式进行简单的运算.目标和目标解析1.目标（1）理解、掌握平方差公式，能运用公式进行简单的运算；（2）经历平方差公式的探索过程，体会从具体到抽象的研究问题的方法，在验证公式时体会数形结合思想。发展学生的符号感和抽象概括、推理能力；（3）通过公式的应用，使学生养成仔细认真的做事习惯.2.目标解析学生在经历“特例归纳猜想

3、验证用数学符号表示”这一数学活动过程中，体会平方差公式的结构、特征及公式中字母的广泛含义，理解平方差公式的意义，掌握运用平方差公式解决问题的方法.并在练习中，对发生的错误做具体分析，加深对公式的理解.在数学活动的过程中，积累数学活动经验，增强符号感，培养学生抽象、概括、归纳、推理能力. 通过几何图形说明公式的意义，体会数形结合的思想，在解决问题过程中养成独立思考及与他人合作交流的习惯.三教学问题诊断分析学生在进行多项式乘法运算时常常会确定不好某些项、项的符号及漏项等问题因此，学习平方差公式的困难在于对公式的结构、特征以及公式中字母的广泛含义的理解。找准哪个数或式相当于公式中的“第一个数”a，找

4、准哪个数或式相当于公式中的“第二个数”b,有时会有困难因此，教学中引导学生分析公式的结构特征，并运用变式训练揭示公式 的本质特征，以加深学生对公式的理解本节课的教学难点：平方差公式的变式应用.教学条件支持分析借助多项式乘法的相关法则，加深对乘法公式概念本身的理解，为平方差公式的推导提供服务，借助多媒体的使用，帮助学生直观的感受平方差公式的几何意义，通过多媒体展示学生的典型的解法及解题时出现的问题，作为范例进行指导，使学生们互相借鉴.五、教学过程设计（一）.复习引入问题：在上节的学习中我们学习了多项式的乘法，知道了多项式乘多项式的法则，根据所学知识计算下列多项式的积.（1）（x+1）（x-1）=

5、 ；（2）（m+2）（m-2）= ；（3）（2x+1）（2x-1）= 师生活动：学生计算，三位学生到黑板上板书，小组内互相交流、互评，学生讲解。设计意图：通过对特殊的多项式与多项式相乘的计算，既复习了旧知，又为下面学习平方差公式作了铺垫.（二）.探究新知问题：观察以上算式及其计算结果，你发现规律了吗？师生活动：先由学生进行独立观察、思考，然后，同学们合作交流.最后，教师引导学生回答发现的规律：相乘的两个多项式中，一个多项式可看成两个数的和，另一个多项式可看成是这两个数的差，其结果是这两个数的平方差.即： .教师引导学生一起运用多项式的乘法来验证这个结论是否正确.之后，教师揭示这个运算规律作为平

6、方差公式使用，今后遇到时，可直接写出计算结果.1.平方差公式：.设计意图：1.让学生体会由具体到一般的抽象的过程，即观察，比较，抽象，概括，推理的过程;2.让学生感受从一般到特殊的认识规律，引出乘法公式-平方差公式问题3：在平方差公式中，观察其结构有哪些特征？特征为：1.左边是两个二项式相乘，其中“a与a”是相同项，“b与-b”是相反项；右边是二项式，相同项的平方减去相反项的平方，即；2.字母a和b，代表一个数或代表一个字母或代表一个代数式.师生活动：结合上面的3个练习，让学生说明3个算式中，哪些式子相当于公式中的a和b，明确公式中a和b的广泛含义，归纳得出：a和b可能代表数或式设计意图：通过

7、观察平方差公式，体验公式的简洁性并通过分析公式的本质特征掌握公式在认清公式的结构特征的基础上，进一步剖析a、b的广泛含义，使学生在公式的运用中能得心应手，起到事半功倍的效果问题4：你能用文字语言表示平方差公式吗？师生活动：学生回答问题，有不全面的学生之间互相补充，最后教师完整的简洁的给出其语言表达.语言表述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差设计意图：通过语言的表述，将符号语言转化为文字语言加深学生对公式的理解，同时发展学生的数学语言的表达能力2平方差公式几何意义问题5：如图1所示，计算它的阴影部分面积，你有什么好方法吗？师生活动：教师提出问题，学生独立思考，然后小组合作交流，

8、学生代表发言.大部分同学都能想到分别计算两个矩形的面积再求和,即：；教师追问，哪位同学有补充？部分学生能想到先分别求出两个正方形的面积再求差,即：；教师继续追问，还哪位同学有补充？学生可能短时间想不出来，教师启发学生思考，可以不可以把小矩形剪下来补在大矩形的短边上呢？同学们思考一会后教师给出图2，此时可以整体计算其面积，即：.最后教师引导学生，不同的方法算的都是同一个图形的面积，结果应该是相等的.由此可得：=从而验证了=的成立设计意图：通过学生独立思考、小组合作及教师引导启发学生完成此项活动,利用这些图形面积的相等关系,进一步从几何角度验证了平方差公式的正确性,渗透了数形结合的思想，让学生认识

9、到平方差公式的几何意义，使学生更好地理解这一公式(三)应用举例、巩固练习例1 运用平方差公式计算：（1）（3x +2）（3x2）；（2）（- x + 2y）（- x2y）师生活动：师生共同分析解答，教师板书（1），一名学生到黑板板书（2），其它学生写在练习本上；教师和学生一起审核学生的解法（公式中的a和b运用的是否准确）；其它学生的典型解法或出现的问题投影展示，教师引导解决.在（1）的讲解过程中引导学生明确本题中哪一个数或式子相当于公式中的a和b. 然后依照公式，写出平方差，再化简得出结果. 在展示（2）的过程中，注意学生是否能按上述做法讲述出来，还有没有其它解法。解：（1） （2） (- x

10、 + 2y)( -x - 2y)=(-x)2 - (2y)2 = x2- 4y2设计意图：让学生熟悉公式的结构特征，找准a ,b.也可用不同方法计算，以体现学生的创造性练习1 判断下列计算是否正确,若不正确，如何改正.（1）（x+2）（x2）= x2 - 2 （ ）（2）（2a+3b）（2a3b）= 2a23b2 （ ）（3）（x 3b ）（x 3b）=x2-9b2 ( ) （4） （ ）（5） （ ）(6)（3a2）（3a2）= 9a24 （ ）师生活动：学生独立思考，教师提问。对错误问题相互交流，教师引导，纠正错误。设计意图：通过学生常出现的错误，作具体的分析，加深学生对公式的结构理解，准

11、确的运用公式。问题6：从以上的几道题中，你认为运用公式时应注意哪些地方？师生活动：学生回答，并相互补充，教师综合学生所说归纳出以下几点：1.先看是否具备公式特征；2.找准哪些数或式子相当于a, 找准哪些数或式子相当于b；3.存在相同项和相反项；4.公式中的a,b可以是数，字母，单项式，多项式；5.不要忘记写右边的平方.设计意图：让学生熟悉公式结构特点，找准a,b。通过此过程，突破本节课难点例2：计算：（1）； （2）98102师生活动：师生共同分析：得出（1）中前两个多项式的积可以直接用公式，而后两个多项式的积不满足公式特征，则不能用。（2）是两个数乘积的简便运算，这两个因数恰好都可以分解成1

12、00与2的和或差。此题对一部分学生来说有一定难度，要注意引导学生并及时总结规律。设计意图：一个题是平方差公式与一般多项式乘法的综合，不能用公式的仍按多项式乘法法则进行；另一题是把相乘两数转化成两数和与两数差的乘积形式，此题体现了转化的思想和数式通性，宗旨，使学生增强知识应用的灵活性练习2：运用平方差公式计算：（1） （2） （4） 师生活动：学生独立思考、练习，教师巡视指导，而后，小组内师生交流，最后教师将学生的解答规范的及典型错误的投影出来，引导学生进行讲评.设计意图：通过练习、指导，使学生进一步理解、掌握平方差公式，并灵活运用解决有关计算问题 (四).归纳小结问题7：这节课你有哪些收获？还

13、有什么困惑？设计意图：从知识和情感态度两个方面加以小结，使学生对本节课的知识有一个系统全面的认识（五）.课后作业 1.（全体都做）教科书第112页，习题14.2 中 第1题2.（部分学生）补充.计算：（1） （2） （3）19982002设计意图：作业分层处理有较大的弹性，体现作业的巩固性和发展性原则，尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，让不同的人在数学上得到不同的发展六、目标检测一、选择题：1下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）A.B.C. D.二、填空题：2计算： ；3计算：；4(_4b)(_+4b)=9a216b2三、计算：5. 6； 75347 8.设计意图：对本节重

14、点内容进行检测，及时了解教学目标的达成情况本节课我从复习旧知入手，在教学设计时提供充分探索与交流的空间，使学生经历观察，猜测、推理、交流、等活动。（1）学生刚接触这类乘法，对于公式中的字母a、b用其他代数式替换，学生很难理解，所以就让学生记忆左边为两数的和乘以两数的差，在这两个二项式中有一项(a)完全相同，另一项(b与-b)互为相反数。右边为这两个数的平方差即完全相同的项的平方减去符号相反的平方。公式中的a,b不仅可以表示具体的数字，还可以是单项式，多项式等代数式。 提醒学生利用平方公式计算，首先观察是否符合公式的特点，这两个数分别是什么，其次要区别相同的项和相反的项，表示两数平方差时要加括号。 2、我知道培养学生数形结合思想方