n元一次方程非负整数解的个数——教学设计

1、非负整数解的个数教学设计1.教学目标：学会利用隔板法解决相同元素分配问题。通过设计问题情境，构造隔板模型，将复杂的问题简单化，抽象问题具体化，从而实际解决问题。2.学情分析： 前面几节课学习了两个基本计数原理，排列与组合中的几种常见题型。本节课是在学习了排列与组合知识的基础上进行研究并解决相同元素的分配问题。学生整体基础较好，上课积极发言。3.重点难点：重点：利用隔板法解决相同元素分配问题。难点：构造隔板模型，会灵活应用隔板法，从而实际解决问题。4.教学过程活动1【导入】一课前思考将5个不同的小球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少放入1个小球，共有少种放法？将5个相同的小球放入4个不同的盒子中

2、，每个盒子至少放入1个小球，共有多少种放法？设计意图：提问学生，通过题让学生体会解决不同元素分配问题所使用的方法，然后引出题进而解决相同元素分配的问题。由题引出例题1。活动2【讲授】二例题讲解例题1：将10个大小小形状完全相同的小球放入编号为1,2,3的3个盒子中，每个盒子至少放入1个小球，共有多少种放法？设计意图：例题1与课前的思考变式进行对比，如果采用变式的解题思路先将每个盒子放入一个小球，剩余7个小球，由题可知7个球可以任意放入3个盒子，这样需要讨论的情况就比较多，显然麻烦，然后引导学生去考虑更加简单快捷的思考方式。再给出几个符合题意的分配方法和几种不符合题意的分配方法，学生会发现这个问

3、题其实就是在10个相同小球间形成的9个空插入2个板，与顺序没关，因为球相同，只与个数有关。答案是：。从而引出处理相同元素分配问题所使用的方法隔板法。活动3【讲授】三概念引入在n个相同元素间插入（m-1）个板，形成m段，这种方法叫做隔板法。注意条件：n个元素必须相同 所分的每组中至少一个元素总结：n个相同小球放入m(mn)个不同盒子中，每个盒子至少一个球的放法数为：设计意图：通过前面例题的讲解给出隔板法的方法，要强调使用隔板法的注意条件。然后在通过由特殊到一般总结出n个相同小球分配到m个不同盒子中，每个盒子至少一个球的放法数，以便于学生解题的方便。活动4【讲授】四变式讲解变式1：将10个大小小形

4、状完全相同的小球放入编号为1,2,3的3个盒子中，每个盒子可任意放球（允许空盒），共有多少种放法？总结：n个相同的小球放入m个不同的盒子中，允许有的盒子没有球的放法数为：设计意图：让学生分小组进行讨论，然后提问其中3组学生代表让他们给出自己小组讨论出来的结果，并解释。此过程可以提高学生们的集体合作能力。这个时候我们就会发现其实该题可以看成将13个相同小球放入3个不同盒子中，每个盒子至少一个球的问题，利用隔板法，在13个相同小球形成的12个空中插入2个板即可解决，答案是：。这是对例题1的变式，构造隔板模型，会灵活应用隔板法。然后在通过由特殊到一般总结出n个相同小球分配到m个不同盒子中，允许有的盒

5、子没有球的放法数，以便于学生解题的方便。变式2：将10个大小小形状完全相同的小球放入编号为1,2,3的3个盒子中，要求每个盒子放的球的个数不小于其编号数，共有多少种放法？设计意图：继续让学生分小组讨论，然后提问其中2组学生代表让他们给出自己小组讨论出来的结果，并解释。经过讨论我们发现此题有两种解决办法，一是可以把每个盒子中先放入1,2,3个球，剩余4个球任意放入3个盒子中，然后利用变式1的结论解决。二是每个盒子中先放入0,1,2个球，剩余7个球每个盒子至少放入1个球，直接应用隔板法进行解决，答案是：。两种思路均可，都是解决相同元素分配问题可以直接应用隔板法或者转化成应用隔板法的问题。活动5【测

6、试】五课堂练习1.20个三好学生名额分给7个班级，每班至少1个名额，有多少种不同的分配方案？（用组合数表示）2.某单位订阅了30份相同的学习材料，发给3个部门，每个部门至少发放9份材料，共有多少种不同的发放方法？总结：相同名额分配问题，类似相同球放盒里问题，都采用隔板法。设计意图：找同学到黑板前板书，及时发现学生出现的问题，加强对隔板法的练习。给出相同名额分配问题，类似相同球放盒里问题，都采用隔板法。活动6【讲授】六例题讲解例题2：方程的正整数解的个数？总结1：方程（nr）的正整数解的个数为：总结2：方程的非负整数解的个数为：设计意图：引导学生n元一次方程正整数解的个数能否用隔板法解决，分析4

7、个未知数的取值最小值是1。然后提问学生是否有思路，进而发现可以将10看成10个相同小球，4看成4个不同的盒子，要求每盒至少1个球，在10个相同小球间形成的9个空中，插入3个板，答案是。也就是说求n元一次方程正整数解的个数可以转化为隔板法放球的问题。然后总结出n元一次方程正整数解的个数和非负整数解（将没有元素问题转化为至少一个元素问题）的个数。活动7【讲授】七方法讲解考虑n个1与（r-1）个0组成的所有排列，每个排列与方程的一个解按照如下方式对应起来：=排列中第一个0左边的1的个数，=第一个0和第二个0之间1的个数，=第二个0个第三个0之间1的个数，如此到=最后一个0右边的1的个数。再以n=6，

8、r=4举例，给出一个排列（1，1，0，0，1，1，1，0，1）对应着方程的一个解=2，=0，=3，=1总结：由n个1与（r-1）个0组成的排列共有：设计意图：求n元一次方程非负整数解的个数可以使用例题2总结出来的总结2利用隔板法，也可以使用本思路，让学生拓宽解题思路。活动8【讲授】八变式讲解变式1：方程的非负整数解的个数？设计意图：此题在使用隔板法之前应用到了分类加法原理，对进行分类讨论，由于得数3比较小，所以分两类即可。时，转化为3个相同球放入9个盒子中，允许有空盒子的问题，放法数为。时，转化为1个小球放入9个盒子中，允许有空盒的问题，放法数为：，则共+ =174，在考察灵活应用隔板法的过程中考察学生对两个基本计数原理的应用。活动9【总结】九课堂总结课堂小结：会利用隔板法解决相同元素问题。 注意使用隔板法的条件。 将没有原始问题转化为至少一个元素问题。活动10【课后作业】1某校召开学生会议，要将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，若每班至少1个名额，有多少种不同分法？2. 将20个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子，允许有盒子为空，但球必须放完，有多少种不同的方法？3. 12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，要求放入球的个数不得少于编号数，共有多少种不同的放法？ 4. 某运输公司有7个车队,